II BOB. FERMIONLAR VA BOZONLAR UCHUN TO`LQIN FUNKSIYALAR Faraz qilaylikki sistemadagi ikkita zarracha bir kvant holatda turgan bo`lsin.
Avvalo fermi-zarralardan iborat sistemani qaraymiz. Faqatki sistemadagi ikkita zarracha bir kvant holatda turibdi, ya’ni . Bu ikkita zarracha uchun barcha kvant sonlar bir xil bo`lib, ular faqat spini bilan farqlanadi.
Ikkita koeffitsient bir xil bo`lib to`lqin funksiya nolga aylanadi. Shu bilan birga quyidagi aniqlanish kiritilgan.
Aynan zarrachalar sistemasida bir kvant holatda ikki yoki undan ortiq zarrachalarni uchratish mumkin emas.
Bu Pauli prinsipi bo`lib , bu prinsip kvant mexanikasi shakllanishiga qadar Pauli tomonidan tajribalarga asoslanib topilgan edi.
Ko`p hollarda Pauli prinsipini kvaziklassik yaqinlashish atamalaridan foydalanib ta’riflash ma’qulroq.
Hajmi bo`lgan fazo sohasining har bir yacheykasida berilgan spin orientatsiyasiga ega birdan ortiq zarracha bo`lishi mumkin emas.
Statistik fizikadan ma’lumki, Pauli prinsipi spini yarim butunga karrali bo`lgan aynan zarrachalardan tashkil topgan sistemalarning statistikasini belgilaydi.
2.1. Fermionlar va bozonlar uchun to`lqin funksiyalar. Pauli prinsipi. O`zaro tasirlashmaydigan N ta aynan zarrachalardan iborat sistemani qaraymiz. Statsionar holatlar uchun Shredinger tenglamasi quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi.
Bunday tenglamaning yechimi
Bu yerda , ... lar zarrachalar bo`lishi uchun bo`lgan holatlarning kvant sonlari. Har bir alohida zarrachaning holatini ifodalovchi kvan sonlarining
to`plami funksiyalar 1ta zarracha uchun Shiredinger tenglamasining
yechimi hisoblanadi.
(2.1.3)
Ammo ( 2)- funksiya simmetriya talablarini qanoatlantirmaydi.
Umumiy holda u simmetrik va antisimmetrik funksiyalar sirasiga kirmaydi.
(2.1.1)-tenglama chiziqli bo`lgani uchun, (2.1.2)-ko`rinshdagi yechimlar superpozitsiyasi uning yechimi bo`la oladi.Talab etilayotgan simmetriyaga ega bo`lgan to`lqin funksiyani olish uchun to`lqin funksiyasiyalarning mos superpozitsiyasini olish kerak.
Oddiylik uchun faqat ikkita o`zaro ta’sirlashmaydigan zarrachalardan iborat
sistemani qaraylik.
,
(2.1.4)
Bu yerdagi 1 va2 indekslar zarrachalarning 2 turli holatini bildiradi.
va (2.1.5)
To`lqin funksiyalar sistemaning bitta energiyasini ifodalaydi. Bu funksiyalardan ikkita simmetriyalashgan kombinatsiyalarni tuzish mumkin. Bu kombinatsiyalar sistemaning bir energiya qiymatini ifodalaydi:
= ,
= (2.1.6)
Birinchi to`lqin funksiya zarrachalarni almashtirishga nisbatan simmetrik, ikkinchisi esa anti simmetrikdir. va doimiyliklar normalash shartidan topiladi. Agar ( ) va ( ) ni normalasak,
va ni d d =1 shartdan foydalanib normalasak, ikkala xolda
va = bo`ladi.
Shuning uchun normalashgan va simmetriyalashgan funksiyalarni
= (2.1.7)
Ko`rinishda yozish mumkin. Ixtiyoriy sondagi ta’sirlashmaydigan zarrachalar uchun (3) va (4) – tenglamalarni birlashtiramiz. Simmetrik funksiyalar bilan ifodalanadigan sistemalar uchun:
(2.1.8)
Bu yerda yig’indiga yig’ish N! ga teng bo`lgan almashtirishlarga asosan olib boriladi. Antisimmetrik funksiyalarga esa zarrachalar uchun
(2.1.9)
va normalashgan simmetriyalangan to`lqin funksiyalar mos ravishda N ta o`zaro ta’sirlashmaydigan bozon va fermionlarning holatini ifodalaydi.
Endi agar aynan zarrachalardan tashkil topgan zarrachalar o`rtasida o`zaro ta’sir mavjud bo`lsa sistemaning to`lqin funksiyasi qanday o`zgarishini ko`ramiz.
Faqatki u vaqtga bog’liq bo`lsin.
Aniq to`lqin funksiya superpozitsiyalaridan biri sifatida yozilishi mumkin.
,
(2.1.10)
va koeffitsientlar i-simmetrik va k-antisimmetrik holatlarga mos keluvchi vaqtga bog’liq ehtimollik amplitudalarini bildiradi.
O`zaro ta’sir sistemada o`tishlarni vujudga keltiradi.
Ehtimollik o`zaro ta’sirlashuvchi zarrachalar sistemasini tavsiflovchi to`lqin funksiya ma’lum simmetriyaga ega bo`lgan o`zaro ta’sirlashmaydigan zarrachalarning to`lqin funksiyalari orqali ifodalanar ekan.
(2.1.5) - va (2.1.6)- to`lqin funksiyalar bir qator muhim natijalarni olishga imkon beradi.
Avvalo fermi zarrachalardan iborat sistemani qaraymiz. Faraz qilaylikki sistemadagi ikkita zarracha bir kvant holatda turgan bo`lsin.
Avvalo fermi-zarralardan iborat sistemani qaraymiz. Faqatki sistemadagi ikkita zarracha bir kvant holatda turibdi, ya’ni . Bu ikkita zarracha uchun barcha kvant sonlar bir xil bo`lib, ular faqat spini bilan farqlanadi.
U holda (2.1.6) –dagi ikkita koeffitsient bir xil bo`lib to`lqin funksiya nolga aylanadi. Shu bilan birga quyidagi aniqlanish kiritilgan.
Aynan zarrachalar sistemasida bir kvant holatda ikki yoki undan ortiq zarrachalarni uchratish mumkin emas.
Bu Pauli prinsipi bo`lib , bu prinsip kvant mexanikasi shakllanishiga qadar Pauli tomonidan tajribalarga asoslanib topilgan edi.
Ko`p hollarda Pauli prinsipini kvaziklassik yaqinlashish atamalaridan foydalanib ta’riflash ma’qulroq.
Hajmi bo`lgan fazo sohasining har bir yacheykasida berilgan spin orientatsiyasiga ega birdan ortiq zarracha bo`lishi mumkin emas.
Statistik fizikadan ma’lumki, Pauli prinsipi spini yarim butunga karrali bo`lgan aynan zarrachalardan tashkil topgan sistemalarning statistikasini belgilaydi.
Pauli prinsipi yordamida ko`p elektronli atomlar va murakkab yadrolarning qonuniyatlarini o`rganish imkoni mavjud.
Quyidagi masalani qaraymiz. Sistema N ta aynan zarrachalar bo`lmish bozonlardan tashkil topgan bo`lsin, bozonlarning har biri berilgan vaqt momentida to`lqin funksiyasi bo`lgan kvant holatda bo`lib, u quyidagicha normalashgan.
(2.1.11)
Bu holda sistemaning o`rtacha energiyasini aniqlaymiz. Bunday zarrachalar sistemasi gamiltonianini quyidagi ko`rinishda ifodalaymiz:
(2.1.12)
Bu yerda
- i- bozonning energiya operatori.
- i – va j – bozonlarning o`zaro ta’sir energiyasi operatori.
Birga normalashgan bozonlar sistemasining to`lqin funksiyasi bu vaqtda quyidagi ko`rinishga ega:
(2.1.13)
Bu holda sistemaning o`rtacha energiyasi
(2.1.14)
Bozonlar aynanligidan foydalanib va N>>1 ekanligini e’tiborga olsak:
(2.1.15)
Agar zarrachalar o`zaro ta’sirlashmasa, u holda va energiyaning o`rtacha qiymati
(2.1.16)
