Mundarija: I. Kirish II. Asosiy qism

3-teorema. segmentda aniqlangan funksiyaning aniqmas Lebeg integrali chegaralangan to`la o`zgarishga ega va

Isbot. segmentni nuqtalar bilan ixtiyoriy ravshda ta qismga bo`lib, har bir qismda qiymati songa teng bo`lgan pog`onali funksiyani tuzamiz. U holda ushbu

tengsizlikka ega bo`lamiz. Agar yarim segmentlardan eng kattasining uzunligi istagancha kichik qilib olinsa hamda son ushbu funksiyalar ketma-ketligini olib quyidagi funksiyani tuzamiz:

Ko`rinishda tanlansa, u holda yig`indi istalgancha yaqin qilinishi mumkin. Demak,
(4)
Bu tengsizlikda, haqiqatda , tenglik munosabati o`rinli ekanligini ko`rsatamiz. Buning uchun funksiyaga deyarli yaqinlashuvchi pog`onali

U holda funksiyaning tuzilishiga asosan deyarli bo`lgan nuqtalarda va deyarli bo`lgan nuqtalarda munosabatlarga ega bo`lamiz. Bundan

Tenglik kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan , funksiyaning tuzilishiga asosan ushbu tengsizlik o`rinli asosan bundan va (4) dan tenglik kelib chiqadi.
2-teoremani kuchaytirish maqsadida quyidagi ta`rifni kiritamiz
1-ta`rif . segmentda biror o`lchovli funksiya aniqlangan bo`lsin. Agar nuqtada munosabat bajarilsa, u holda bu nuqta funksiyaning Lebeg nuqtasi deyiladi
4-teorema . Agar nuqta funksiyaning Lebeg nuqtasi bo`lsa u holda bu nuqtada Lebeg aniqmas integrali
Оshibka! Istоchnik ssыlki nе naydеn.
ning hosilasi ga teng.
Isbot. Ravshanki,

Yoki

Teorema shartiga ko`ra nuqta funksiyaning Lebeg nuqtasi bo`lganligi sababli bu tengsizlikdan da tengllik kelib chiqadi
5-Teorema. Agar funksiya segmentda jamlanuvchi bo`lsa, u holda segmentning deyarli har bir nuqtasi funksiyaning Lebeg nuqtasidir.
Isbot. funksiyaning segmentda jamlanuvchi ekanligidan va har qanday ratsional son uchun funksiyaning jamlanuvchi ekanligi kelib chiqadi. U holda funksiya ham jamlanuvchi bo`ladi. Bundan ushbu
munosabatning deyarli har bir nuqtada o`rinli ekanligi kelib chiqadi. Agar bu munosabat bajarilmagan nuqtalar to`plamini bilan belgilasak u holda uning o`lchovi nolga teng ekanligi ravshan bo`ladi. Teorema shartiga ko`ra funksiya segmentda jamlanuvchi bo`lgani uchun ushbu

To`plamning ham o`lchovi nolga teng ekanligi kelib chiqadi. Demak,

To`plamning ham o`lchovi nolga teng. Endi to`plamning barcha nuqtalari funksiyaning Lebeg nuqtasi ekanligi ko`rsatilsa, teorema isbot etilgan bo`ladi. Shuni ko`rsatamiz.
Buning uchun sonni va ixtiyoriy nuqtani olib, ratsional sonni shunday tanlaymizki, uning uchun
(6)
Tengsizlik bajarilsin u holda tengsizlik bajariladi. Berilgan songa qarab, sonni shunday tanlaymizki, bo`lganda (5) munosabatga asosan ushbu
Tengsizlik o`rinli bo`ladi. Bundan (6) tengsizlikka muvofiq demak , bo`lib bundan sonining ixtiyoriyligidan nuqtaning Lebeg nuqtasi ekani kelib chiqadi.
4-va 5-teoremalardan bevosita quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. Agar funksiya segmentda jamlanuvchi bo`lib, bo`lsa, u holda segmentning deyarli har bir nuqtasida .