Мулоҳазалар. Рост ва ёлғон мулоҳазалар. Мулоҳаза инкори. Мулоҳазаларни қўшиш ва кўпайтириш Режа

Унар мантиқий амаллар(1-жадвал)

х	u0	u1	u2	u3
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Берилган иккита х ва y ўзгарувчи элементар мулоҳазалар учун жами тўртта бир-биридан фарқли қийматлар сатрлари комбинациялари тузиш мумкин бўлгани сабабли барча турли бинар мантиқий амаллар сони га тенг. Мумкин бўлган барча турли бинар мантиқий амаллар (b_i=b_i(х,y), i= 0,…,12) натижалари 2- жадвалда (чинлик жадвалида) келтирилган.

Бинар мантиқий амаллар( 2-жадвал)

х	Y	b0	b1	b2	b3	b4	b2	b6	b7
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1
х	Y	b8	b9	b10	b11	b12	b13	b14	b12
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1

Мантиқий амаллами юқоридаги усул билан ўрганишни давом эттириб, берилган учта х, y, z ўзгарувчи элементар мулоҳазалар учун ҳаммаси бўлиб саккизта (2³=8) бир-биридан фарқли қийматлар сатрлари комбинациялари тузиш мумкинлигини ва, шу сабабли, турли та тернар мантиқий амаллар борлигини таъкидлаймиз. Таркибидаги ўзгарувчи элементар мулоҳазалари тўртта бўлган турли мантиқий амаллар эса та.

Асосий мантиқий амаллар бешта бўлиб, улардан бири унар, тўрттаси эса бинар амалдир. Улар қуйида баён этилган.
2. Мантиқий амаллар алгебраси
2.1.Инкор амали.
Инкор амали мулоҳазалар мантиқининг энг содда амалларидан бири бўлиб, у унар амалдир, яъни инкор амали битта элементар мулоҳазага нисбатан қўлланилади.
2-таъриф. Берилган х элементар мулоҳаза чин бўлганда ё қиймат қабул қилувчи ва, аксинча, х ёлғон бўлганда ч қиймат қабул қилувчи мураккаб мулоҳаза х мулоҳазанинг инкори деб аталади,
“Берилган мулоҳазанинг инкори унга инкор амалини қўллаб ҳосил қилинди” деб айтиш мумкин. Инкор амали 1- жадвалда ифодаланган u₂ амалидан иборат бўлуб, унга ўзбек тилидаги “эмас” сифатдоши мос келади. Берилган х мулоҳазанинг инкори каби белгиланади. мулоҳаза “х эмас” деб ўқилади. Инкор амалини белгилашда “¬” белги ҳам қўлланилиши мумкин. Бу ҳолда х мулоҳазанинг инкори ¬х шаклда ёзилади. х мулоҳазанинг инкори учун чинлик жадвали 3- жадвал бўлади (1- жадвалнинг х ва у₂ устунларига қаранг). 3- жадвални инкор амалининг эквивалент таърифи сифатида ҳам қабул қилиш мумкин.
2-мисол. “Бугун ҳаво совуқ.” деган элементар мулоҳаза х билан белгиланган бўлса, унинг инкори “Бугун ҳаво совуқ эмас.” кўринишдаги мураккаб мулоҳазадан иборатдир. ■

3-жадвал

х	й
ё	ч
ч	ё

2.2.Конъюнкция (мантиқий кўпайтма амали).

Энди иккита мулоҳазага нисбатан қўлланилиши мумкин бўлган бинар амаллардан бири ҳисобланган конъюнкция (мантиқий кўпайтма) амалини ўрганамиз.

3-таъриф. Берилган х ва у элементар мулоҳазалар чин бўлгандагина ч қиймат қабул қилиб, қолган ҳолларда эса, ё қиймат қабул қилувчи мураккаб мулоҳаза х ва у мулоҳазаларнинг конъюнкцияси деб аталади.
“Берилган мулоҳазаларнинг конъюнкцияси бу мулоҳазаларга конъюнкция амалини қўллаб ҳосил қилинди” деб айтиш мумкин. Конъюнкция амали 2-жадвалда ифодаланган b₁ амали бўлуб, унга ўзбек тилидаги “ва” боғловчиси мос келади. Берилган х ва у элементар мулоҳазалар устида бажариладиган конъюнкция (мантиқий кўпайтма) амалини белгилашда “˄” ёки “&” белги қўлланилади, яъни бу амал натижасида ҳосил бўлган мураккаб мулоҳаза х˄у (ёки х&й) кўринишда белгиланади. Мантиқий кўпайтма амалини ифодаловчи “˄” ёки & белги баъзан ёзилмаслиги (масалан, х ва у ўзгарувчи мулоҳазаларнинг мантиқий кўпайтмаси хy кўринишда ифодаланиши), баъзан эса, нуқта (•) белгиси билан алмаштирилиши (х•y кўринишда ёзилиши) мумкин. х˄у (х&y, х•y, хy) мулоҳаза "х ва y" деб ўқилади. х ва у элементар мулоҳазаларнинг х˄y коаъюнкцияси учун чинлик жадвали 4- жадвал бўлади (2- жадвалнинг х, y ва b₁ устунларига қаранг).
3-мисол. “2 сони тоқ ва тубдир." кўринишдаги мураккаб мулоҳаза чиндир. Чунки берилган мулоҳаза иккита "2 сони тоқдир.” ва “2 сони тубдир." элементар мулоҳазалар конъюнкцияси сифатида қаралиши мумкин ҳамда бу иккита элементар мулоҳазаларнинг ҳар бин чиндир. ■
4-мисол. “10 сони 2 га қолдиқсиз бўлинади” ва “7>9.” мураккаб мулоҳаза ёлғон, чунки бу мулоҳаза иккита “10 сони 2га қолдиқсиз бўлинади.” ва “7>9.” элементар мулоҳазалар конъюнкцияси сифатида қаралса, бу иккита элементар мулоҳазалардан бири, аниқроғи, “7>9.” мулоҳаза ёлғондир.
4- жадвал

х	y	х˄y
ё	ё	ё
ё	ч	ё
ч	ё	ё
ч	ч	ч

2.3.Дизъюнкция (мантиқий йиғинди амали).

Мулоҳаза мантиқида ишла­тиладиган яна бир бинар амал, дизъюнкция (мантиқий йиғинди) амали бўлиб, унга ўзбек тилидаги “ёки” боғловчиси мос келади.

Шуни таъкидлаш жоизки, “ёки” боғловчисидан ўзбек тилида икки хил маънода фойдаланилади. Бу сўз, биринчи ҳолда, рад этувчи “ёки”, иккинчи ҳолда эса рад этмайдиган “ёки” маъносида ишлатилади. “Ёки” боғловчиси рад этувчи маънода ишлатилганда боғланаётганлардан фақат биттаси, рад этмайдиган маънода ишлатилганда эса боғланаётганларнинг ҳеч бўлмаганда бири рўёбга чиқиши назарда тутилади. Масалан, “Бугун якшанба ёки мен кинога бораман.” мураккаб мулоҳазани олайлик. Агар ҳақиқатдан ҳам бугун якшанба бўлса ва мен кинога борсам, у ҳолда бу мулоҳаза чинми, ёлғонми? Агар юқоридаги мулоҳаза ёлғон деб ҳисобланса, у ҳолда “ёки” боғловчиси рад этувчи маънода, чин деб ҳисоблаганда эса “ёки” рад этмайдиган маънода ишлатилган бўлади.
Агар х ва у мулоҳазаларнинг иккаласи ҳам ёлғон бўлса, у ҳолда “ х ёки у ” мулоҳазаси, шубҳасиз, ёлғон бўлади. х чин ва у ёлғон бўлган ҳолда ёки х ёлғон ва у чин бўлганда, “х ёки y” мулоҳазани чин деб ҳисоблаш керак, бу эса ўзбек тилидаги “ёки” боғловчисининг рад этмайдиган маъносига тўғри келади. Табиийки, ҳар иккала х ва у мулоҳазалар чин бўлганда “х ёки у ” мулоҳаза чин бўлади.
4-таъриф. Берилган х ва у элементар мулоҳазалар ёлғон бўлгандагина ё қиймат қабул қилиб, қолган ҳолларда эса, ч қиймат қабул қилувчи мураккаб мулоҳаза х ва у мулоҳазаларнинг дизъюнкцияси деб аталади.
“Берилган мулоҳазаларнинг дизъюнкцияси бу мулоҳазаларга дизъюнкция амалини қўллаб ҳосил қилинди” деб айтиш мумкин. Дизъюнкция амали 2-жадвалда ифодаланган b₇ амали бўлиб, унга ўзбек тилидаги рад этмайдиган маънода ишлатиладиган “ёки” боғловчиси мос келади. Дизъюнкция амалини белгилашда “˅” белгидан фойдаланилади. Берилган х ва у элементар мулоҳазанинг дизъюнкцияси “х˅ y” каби ёзилади ва “х ёки у ” деб ўқилади.
Берилган х ва у элементар мулоҳазаларнинг х˅ y дизъюнкцияси учун чинлик жадвали 2- жадвал бўлади (2- жадвалнинг х, у ва b₇ устунларига қаранг).

2- жадвал

х	y	х˅ y
ё	ё	ё
ё	ч	ч
ч	ё	ч
ч	ч	ч

2-мисол. “10 сони 2га қолдиқсиз бўлинади ёки 7>9.” мураккаб мулоҳаза чин, чунки берилган мулоҳаза иккита “10 сони 2га қолдиқсиз бўлинади.” ва “7>9.” элементар мулоҳазалар дизъюнкцияси сифатида қаралиши мумкин ҳамда бу иккита элементар мулоҳазалардан бири, аниқроғи, “10 сони 2га қолдиқсиз бўлинади.” мулоҳазаси чиндир.


2.4.Импликация амали.
Навбатдаги амални ўрганиш мақсадида қуйидаги мисолни қараб чиқамиз.
6-м и с о л. Қуйидаги мулоҳазаларни кўрайлик:

1. 
   “Агар 2х2=10 бўлса, у ҳолда 6х7=42 бўлади.”;
   
2. 
   “Агар 30 сони 2 га қолдиқсиз бўлинса, у ҳолда 2 жуфт сон бўлади.”;
   
3. 
   “Агар 3=2 бўлса, у ҳолда 12+2=17 бўлади.”;
   
4. 
   “Агар 4х3=13 бўлса, у ҳолда 9+3=13 бўлади.”.
   

Булар мураккаб мулоҳазалар бўлиб, уларнинг ҳар бири иккита элементар мулоҳазадан “агар ... бўлса, у ҳолда ... бўлади” кўринишдаги қолип (андоза, боғловчилар) асосида тузилган.
2-таъриф. Берилган х ва у элементар мулоҳазаларнинг биринчиси чин ва иккинчиси ёлғон бўлгандагина ё қиймат қабул қилиб, қолган ҳолларда эса, ч қиймат қабул қилувчи мураккаб мулоҳаза х ва у мулоҳазаларнинг импликацияси деб аталади.
“Берилган мулоҳазаларнинг импликацияси бу мулоҳазаларга импликация амалини қўллаб ҳосил қилинди” деб айтиш мумкин. Импликация амали 2-жадвалда ифодаланган b₁₃ бинар амалдир.
Импликация амалини белгилашда “→”(ёки “ => ”) белгидан фойдаланилади. Шуни таъкидлаш керакки, импликация амали бажарилганда берилган элементар мулоҳазаларнинг ўрни, яъни улардан қайси биринчи ва қайси иккинчи бўлиши муҳимдир. Берилган х ва у элементар мулоҳазанинг импликацияси “х→у ” каби ёзилади ва “агар х бўлса, у ҳолда у (бўлади)” деб ўқилади. х→у импликацияни “х дан у га импликация” деб ҳам юритишади. Сўзлашув тилида х→у импликацияни “х бўлса, у бўлади”, “агар х бўлса, у вақтда у бўлади”, “х дан у ҳосил бўлади”, “х дан у келиб чиқади”, “y, агар х бўлса”, “х у учун етарли шарт” ва бошқача ўқиш ҳолатлари ҳам учрайди. х ва у элементар мулоҳазанинг х→у импликацияси учун х мулоҳаза асос (шарт, гипотеза, далил), у мулоҳаза эса х асоснириг оқибати (натижаси, хулосаси) деб аталади. х ва у мулоҳазаларнинг х→у импликацияси учун чинлик жадвали 6- жадвал бўлади (2- жадвалнинг х, у ва b₁₃ устунларига қаранг).
Импликация учун чинлик жадвалининг дастлабки иккита сатри ёлғон асосдан ёлғон хулоса ҳам, чин хулоса ҳам келиб чиқиши мумкинлигини англатади. Бошқача қилиб айтганда, “ёлғондан ҳар бир нарсани кутиш мумкин”.
Импликация учун чинлик жадвалидан кўринадики, 2- мисолдаги мулоҳазаларнинг иккинчиси ёлғон бўлиб, қолганлари чиндир.
Эквиваленция амали.

6-жадвал

x	y	x→у
yo	yo	ch
yo	ch	ch
ch	yo	yo
ch	ch	ch

Математик мантиқда кўпчилик мураккаб мулоҳазалар берилган элементар мулоҳазалардан “... зарур ва етарлидир”, “... зарур ва кифоядир”, “фақат ва фақат “шунда ва фақат шундагина, қачонки бажарилиши етарли ва зарурдир” каби қолип (андоза, боғловчилар) воситасида тузилади.

6-таъриф. Берилган х ва у элементар мулоҳазаларнинг иккаласи ҳам бир хил қиймат қабул қилгандагина ч қиймат қабул қилиб, улар турли қиймат қабул қилганда эса ё қиймат қабул қилувчи мураккаб мулоҳаза х ва у мулоҳазаларнинг эквиваленцияси деб аталади.

“Берилган мулоҳазаларнинг эквиваленцияси бу мулоҳазаларга эквиваленция амалини қўллаб ҳосил қилинди” деб айтиш мумкин. Эквиваленция амали 2- жадвалда ифодаланган b₉ бинар амалдир. Эквиваленция амалини белгилашда “↔” (ёки “<=>”) белгидан фойдаланилади. Берилган х ва у элементар мулоҳазанинг эквиваленцияси х↔у (ёки х<=>у) каби ёзилади ва “х эквивалент y” деб ўқилади. х ва у мулоҳазанинг х↔у эквиваленциясига “х бўлса (бажарилса), у бўлади (бажарилади) ва у бўлса, х бўлади” деган мулоҳаза мос келади. Демак, х ва у элементар мулоҳазанинг х↔у эквиваленцияси иккита х→у ва y→х импликацияламинг (х→у)˄(у→х) конъюнкцияси кўринишида ҳам ифодаланиши мумкин. Шунинг учун эквиваленция икки томонли импликациядир. х↔у эквиваленцияга “ х дан у келиб чиқади ва у дан х келиб чиқади” деган мулоҳазани ҳам мос қўйиш мумкин. Бошқача сўзлар билан айтганда, х↔у эквива­ленцияга математикада зарурий ва етарли шартни ифодаловчи тасдиқ мос келади. 7-жадвал

х	y	х↔y
ё	ё	ё
ё	ч	ё
ч	ё	ё
ч	ч	ч

Берилган х ва у мулоҳазаларнинг эквиваленцияси х↔у учун чинлик жадвали 7- жадвал бўлади (2- жадвалнинг х, у ва b₉ устунларига қаранг).
6-мисол. Ушбу тасдиқларни текширамиз: х=”Берилган натурал сон 3 га қолдиқсиз бўлинади.”, y = “Берилган натурал соннинг ўнли саноқ системасидаги ёзувини ташкил этувчи рақамлар йиғиндиси 3 га қолдиқсиз бўлинади.”. Бу х ва у мулоҳазаларнинг ҳар бири элементар мулоҳаза бўлиб, уларнинг х↔у эквиваленцияси мураккаб мулоҳаза сифатида қуйидагича ифодаланиши мумкин: “Берилган натурал соннинг 3 га қолдиқсиз бўлиниши учун унинг ўнли саноқ системасидаги ёзувини ташкил этувчи рақамлар йиғиндиси 3 га қолдиқсиз бўлиниши етарли ва зарурдир.”.
Юқорида келтирилган инкор, конъюнкция, дизъюнкция, импликация ва эквиваленция амалларининг чинлик жадваллари асосий чинлик жадваллари деб юритилади.