Muhandislari instituti fan: oliy matematika

Silindrik sirtlar

---

Silindrik sirtlar

---

Silindrik sirtlar

---

Silindrik sirtlar

---

Silindrik sirtlar

---

Silindrik sirtlar

---

Markazi koordinatalar boshida bo‘lgan
𝑟
radiusli sfera tenglamasi
𝑥
2
+ 𝑦
2
+ 𝑧
2
= 𝑟
2
Sfera

---

Markazi 
𝑀
0
(𝑥
0
, 𝑦
0
, 𝑧
0
)
nuqtada bo‘lgan
𝑅
radiusli sfera tenglamasi
𝑥 − 𝑥
0
2
+ 𝑦 − 𝑦
0
2
+ 𝑧 − 𝑧
0
2
= 𝑅
2
Sfera

---

Ellipsoid 
deb, koordinatalarning kanonik sistemasidagi
tenglamasi
𝑥
2
𝑎
2
+
𝑦
2
𝑏
2
+
𝑧
2
𝑐
2
= 1
ko‘rinishda bo‘lgan ikkinchi tartibli sirtga aytiladi. 
Xususan, agar 
𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑅
bo‘lsa, markazi
koordinatalar boshida bo‘lgan
𝑅
radiusli sferani olamiz. 
𝑎, 𝑏, 𝑐
sonlar
ellipsoidning yarim o‘qlari
deyiladi. Agar 
yarim o‘qlar har xil bo‘lsa, ellipsoid 
uch o‘qli ellipsoid 
deyiladi. Ellipsoidning koordinata o‘qlari bilan kesishgan
nuqtalar
ellipsoidning uchlari
deyiladi.
Ellipsoid

---

Koordinatalar kanonik sistemasining o‘qlari ellipsoidning simmetriya
o‘qlari, koordinatalar boshi – uning
simmetriya markazi
, 
koordinatalar tekisliklari esa
simmetriya tekisliklari
bo‘ladi.
Ellipsoidning
𝑥𝑂𝑦: 𝑧 = 0
tekislik bilan kesimini o‘rganamiz. Bu kesim
Ellipsoid
sistema bilan beriladi va kanonik tenglamasi quyidagicha 
bo’lgan ellipsdan iborat bo‘ladi.

---

Ellipsoid

---

Bir pallali giperboloid
deb, koordinatalarning kanonik
sistemasidagi quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan sirtga
aytiladi
𝑥
2
𝑎
2
+
𝑦
2
𝑏
2
−
𝑧
2
𝑐
2
= 1
Koordinatalar kanonik sistemasining o‘qlari bir pallali
giperboloidning
simmetriya o‘qlari
, koordinatalar boshi –
uning
simmetriya markazi
, koordinatalar
tekisliklari esa
simmetriya tekisliklari
bo‘ladi.
Giperboloid

---

Bir pallali giperboloidning
𝑥𝑂𝑧: 𝑦 = 0
tekislik bilan
kesimini olamiz. Bu kesim
Giperboloid
sistema bilan beriladi va kanonik tenglamasi quyidagicha 
bo’lgan giperboladan iborat bo‘ladi.

---

Bir pallali giperboloidlar

---

Ikki pallali giperboloid
deb, koordinatalarning kanonik
sistemasidagi quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan sirtga
aytiladi
𝑥
2
𝑎
2
+
𝑦
2
𝑏
−
𝑧
2
𝑐
2
= −1
Koordinatalar kanonik sistemasining o‘qlari bir pallali
giperboloidning
simmetriya o‘qlari
, koordinatalar boshi –
uning
simmetriya markazi
, koordinatalar
tekisliklari esa
simmetriya tekisliklari
bo‘ladi.
Giperboloid

---

Bir pallali giperboloidning
𝑥𝑂𝑧: 𝑦 = 0
yoki
𝑧 = ℎ
tekislik
bilan kesimini olamiz. Bu kesim
Giperboloid
sistema bilan beriladi va kanonik tenglamasi quyidagicha 
bo’lgan ellipsdan iborat bo‘ladi.

---

Elliptik paraboloid 
deb, koordinatalarning kanonik
sistemasidagi quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan sirtga
aytiladi
𝑥
2
𝑎
2
+
𝑦
2
𝑏
2
= 2𝑧
Paraboloid

---

Elliptik paraboloidning
𝑧 = ℎ
gorizontal tekisliklar bilan
kesimida ellipslar hosil bo‘ladi:
Paraboloid
Elliptik paraboloidning
𝑥 = ℎ
va
𝑦 = ℎ
vertikal tekisliklar
bilan kesimida parabolalar hosil bo‘ladi:

---

Giperbolik paraboloid 
deb, koordinatalarning kanonik
sistemasidagi quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan sirtga
aytiladi
𝑥
2
𝑎
2
−
𝑦
2
𝑏
2
= 2𝑧
Paraboloid

---

Giperbolik paraboloidning
𝑧 = ℎ
gorizontal tekisliklar
bilan kesimida giperbolalar hosil bo‘ladi:
Paraboloid
Elliptik paraboloidning
𝑥 = ℎ
va
𝑦 = ℎ
vertikal tekisliklar
bilan kesimida parabolalar hosil bo‘ladi:

---

Elliptik silindr
deb, koordinatalarning kanonik
sistemasidagi quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan sirtga
aytiladi
𝑥
2
𝑎
2
+
𝑦
2
𝑏
2
= 1
Agar a=b=R bo‘lsa, 
𝑥
2
+ 𝑦
2
= 𝑅
2
doiraviy silindr hosil
bo‘ladi.
Silindrik sirtlar

---

Giperbolik silindr
deb, koordinatalarning kanonik
sistemasidagi quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan sirtga
aytiladi
𝑥
2
𝑎
2
−
𝑦
2
𝑏
2
= 1
Silindrik sirtlar

---

Parabolik silindr
deb, koordinatalarning kanonik
sistemasidagi quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan sirtga
aytiladi
𝑥
2
= 2𝑝𝑦
Silindrik sirtlar

---

Elliptik konus
deb, koordinatalarning kanonik
sistemasidagi quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan sirtga
aytiladi
𝑥
2
𝑎
2
+
𝑦
2
𝑏
2
−
𝑧
2
𝑐
2
= 0
𝑥
2
𝑎
2
−
𝑦
2
𝑏
2
+
𝑧
2
𝑐
2
= 0
−
𝑥
2
𝑎
2
+
𝑦
2
𝑏
2
+
𝑧
2
𝑐
2
= 0
Ikkinchi tartibli konus

---

Agar 
𝑎 = 𝑏
bo‘lsa, u holda doiraviy konus hosil bo‘ladi. 
Konusning
𝑧 = ℎ
gorizontal tekisliklar bilan kesimida
ellipslar hosil bo‘ladi (
ℎ = 0
bo‘lganda konus nuqtaga
aylanib qoladi):
𝑥
2
𝑎
2
+
𝑦
2
𝑏
2
=
𝑧
2
𝑐
2
Konusningning
𝑥 = ℎ
va
𝑦 = ℎ
vertikal tekisliklar bilan
kesimida giperbolalar hosil bo‘ladi:
𝑦
2
𝑏
2
−
𝑧
2
𝑐
2
= −
ℎ
2
𝑎
2
𝑥
2
𝑎
2
−
𝑧
2
𝑐
2
= −
ℎ
2
𝑏
2
Ikkinchi tartibli konus

---

Ikkinchi tartibli sirtlar

---

Foydali adabiyotlar
ro’yxati
01
02
Claudio Canuto, Anta Tabacco. Mathematical 
Analysis I, (II). Springer-Verlag, Italia, Milan, 
2008 (2015).
Б.А.Худаяров Математика. I
-
қисм
. 
Чизиқли алгебра ва
аналитик геометрия. Тошкент, “Фан ва технология”, 
2018. -
284 с.
03
04
Б.А.Худаяров “Математикадан мисол ва масалалар тўплами” 
Тошкент “Ўзбекистон” 2018 йил. 304 б.
Э.Ф.Файзибоев
, 
З.И.Сулейменов
, 
Б.А.Худаяров “Математикадан
мисол ва масалалар тўплами”, Тошкент, “Ўқитувчи” 2005 й. 254 б.

---

Foydali adabiyotlar
ro’yxati
05
06
Ф.Ражабов ва бошқ. “Олий математика”, 
Тошкент “Ўзбекистон” 2007 йил. 400 б.
П.Е.Данко ва бошқалар. “Олий математика мисол ва
масалаларда” Тошкент, “Ўқитувчи” 2007 йил. 136 б.
07
Б.A.Худаяров Сборник индивидуальных заданий по математики. 
Ташкент. “Ўқитувчи” 2018 г. 168 с.

---

E`TIBORINGIZ 
UCHUN
RAHMAT!
Savollar uchun
[e-mail] 
@ertuhtasin
www.tiiame.uz