Muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent axborot texnologiyalari universiteti hisob (calculus) mth1218 I va II tur sirt integrallari 28 mavzu

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
HISOB (CALCULUS)
MTH1218
I va II tur sirt integrallari
28
MAVZU
Tadjibayeva Shaxzadaxan Ergashevna
Oliy matematika kafedrasi katta o`qituvchisi
REJA

• I tur sirt integrali va uning tatbiqlari
• II tur sirt integrali va uning tatbiqlari

I tur sirt integrali va uning tatbiqlari

Fazoda boʻlakli silliq L yopiq chiziq bilan chegaralangan S silliq sirtni qaraymiz.
Bu sirtni boʻlaklarga boʻlamiz va bu boʻlaklarning yuzalarini ham deb belgilaymiz. S sirtning har bir nuqtasida uzluksiz funksiya berilgan boʻlsin. Sirtning har bir boʻlagidan
nuqtalarni tanlaymiz(1-shakl) va yigʻindi tuzamiz:
1-shakl
Bu yigʻindi I tur sirt integralining integral yigʻindisi deb ataladi. Sk boʻlaklarning diametrini bilan belgilaymiz.
Agar integral yigʻindining dagi chekli limiti, S sirtni boʻlaklarga boʻlinish usuliga va har bir boʻlakdan nuqtalarni tanlash usuliga bogʻliq boʻlmagan holda mavjud boʻlsa, bu limit funksiyadan S sirt yuzi boʻyicha olingan integral yoki I tur sirt integrali deyiladi.
(1)
Agar S sirt oshkor koʻrinishda tenglama bilan berilgan boʻlib, bu funksiya oʻzining xususiy hosilalari bilan Dxy sohada uzluksiz boʻlsa, u holda I tur sirt integralni hisoblash uni ikki karrali integralga keltirish bilan amalga oshiriladi:
Bu yerda Dxy soha S sirtning tekislikdagi proyeksiyasidir.
Agar S sirt tenglamasi yoki
tenglamalar bilan berilgan boʻlsa, I tur sirt integralini hisoblash mos ravishda quyidagi formulalar bilan amalga oshiriladi:
Agar integral ostidagi funksiya boʻlsa, I tur sirt integrali
S sirt yuzini aniqlaydi(oʻng tarafdagi integral ikki karrali integral yordamida sirt yuzini hisoblash).
Agar integral ostidagi funksiya S moddiy sirt boʻyicha massa taqsimlanishining har bir nuqtasidagi zichligini bildirsa, u holda I tur sirt integrali S sirtning massasini aniqlaydi:
Moddiy sirtning koordinata tekisliklariga nisbatan statik momentlari quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:
Moddiy sirtning ogʻirlik markazi :
Moddiy sirtning Ox, Oy, Oz koordinata oʻqlariga va koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari

Хоssаlаri:

Misol

Hisoblang: , bu yerda S –
tekislikning birinchi oktantdagi
qismi.
Yechish. Avval S sirtning oshkor tenglamasini tuzib olamiz.
,
bu yerda Dxy berilgan S sirtning Oxy tekislikdagi proyeksiyasini aniqlaydi, ya’ni, , va
chiziqlar bilan chegaralangan uchburchak
sohasi.
Oxirgi integral Dxy uchburchak soha yuzini beradi va u 3 ga teng. Demak,

II tur sirt integrali

Agar S sirtning ixtiyoriy M0 nuqtasidan oʻtuvchi va L chegara bilan kesishmaydigan har qanday yopiq kontur olinganda ham, M0 dan chiqib uni aylanib M0 ga qaytilganda normalning yoʻnalishi dastlabki yoʻnalishda qolsa, u holda S sirt ikki tomonli sirt deyiladi. Aks holda bir tomonli sirt deyiladi. Demak, ikki tomonli sirtning bitta nuqtasida normal yoʻnalishni tanlash bilan biz sirtning barcha nuqtalaridagi yoʻnalishni tanlagan boʻlamiz.
M0
2-shakl
A
B
D
C
Uch oʻlchovli fazoda L kontur bilan chegaralangan
S silliq sirt berilgan boʻlsin. Uning hаr bir nuqtаsidаn shu sirtga normal oʻtkazamiz va mumkin boʻlgan yoʻnalishdan birini olamiz. S silliq sirt tenglamasi oshkor funksiya bilan berilgan, ya’ni z funksiya Oxy tekislikning D sohasida uzluksiz va uzluksiz
xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Bu holda normalning yo‘naltiruvchi kosinuslari:
Agar normal Oz oʻqi bilan oʻtkir burchak hosil
qilsa, ya’ni boʻlsa, S sirtning “yuqori” tomonini tanlab olgan boʻlamiz. Aksincha, boʻlsa, S sirtning “quyi” tomonini tanlagan boʻlamiz.
Ikki tomonli silliq yoki boʻlakli silliq sirt berilgan boʻlib, uning tomonidan biri, ya’ni sirtning “yuqori” - musbat tomoni tanlangan boʻlsin. Bu sirtning har bir nuqtasida uzluksiz funksiya aniqlangan boʻlsin. Sirtni ixtiyoriy boʻlakli silliq chiziqlar bilan n ta ixtiyoriy
boʻlaklarga boʻlamiz va ulardan ixtiyoriy
nuqtalar tanlaymiz. Bu nuqtalardagi funksiya qiymati ni hisoblaymiz. Sirt boʻlaklarining Oxy tekislikdagi proyeksiyalarini
deb belgilaymiz va integral yig‘indi tuzamiz.
Bu integral yigʻindining dagi chekli limitiga II tur sirt integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
Xuddi shu kabi, va
integrallarni ta’riflash mumkin, bu
yerda soha mos ravishda Oxz va Oyz tekisliklarga proyeksiyalanadi
Agar silliq yoki boʻlakli silliq S sirt tenglamasi
oshkor funksiya bilan berilgan boʻlib,
funksiya S da uzluksiz funksiya boʻlsa, va sirtning yuqori(ya’ni ) tomoni tanlangan boʻlsa, u holda
(10)
Bu yerda Dxy - S sirtning Oxy tekislikdagi proyeksiyasi. Oʻng tomondagi ikki karrali integral mavjud boʻlsa, II tur sirt integrali ham mavjud boʻladi.
S sirtning quyi( ) tomoni boʻyicha integral hisoblash formulasi:
(11)
Xuddi shu kabi,
formulalar oʻrinli.
Umumiy II tur sirt integrali deb quyidagi integrallarga aytiladi:
(14)
(15)
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
Tadjibayeva Shaxzadaxan Ergashevna
Oliy matematika kafedrasi katta o`qituvchisi
E’TIBORINGIZ UCHUN RAXMAT!