Muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent axborot texnologiyalari universiteti qarshi filiali telekommumikatsiya texnologiylari va kasbiy ta'lim

O'ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYLARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI QARSHI FILIALI

TELEKOMMUMIKATSIYA TEXNOLOGIYLARI VA KASBIY TA'LIM
FAKULTETI TT-12-22 GURUH TALABASI ISMATOV SHOXRUXNING

FIZIKA

FANIDAN
3-MUSTAQIL ISHI
BAJARDI: ISMATOV.SH
QABUL QILDI: ODILOV. Y
QARSHI-2022
Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni taqribiy yechishning Runge-Kutta usuli

Differensial tenglamalarni yuqori bo’limlardagidek aniq yechimini topish juda kamdan kam hollardagina mumkin bo’ladi. Amaliyotda uchraydigan ko’plab masalalarga aniq yechish usullarini qo’lashning iloji bo’lmaydi. Shuning uchun bunday differensial tenglamalarni taqribiy yoki sonli usular yordamida yechishga to’g’ri keladi.

Taqribiy usullar deb shunday usullarga aytiladiki, bu hollarda yechimlar biror funktsiyalar (masalan, elementar funktsiyalar) ketma-ketligining limiti ko’rinishida olinadi.
Sonli usullar - noma’lum funktsiyaning chekli nuqtalar to’plamidagi taqribiy qiymatlarini xisoblash usullaridir. Bu xollarda yechimlar sonli jadvallar ko’rinishida ifadalanadi.
Hisoblash matematikasida yuqorida keltirilgan bu guruhlarga tegishli bo’lgan ko’plab usullar ishlab chiqilgan. Bu usullarning bir-birlariga nisbatan o’z kamchiliklari va ustunliklari mavjud. Muhandislik masalalarini yechishda shularni hisobga olgan holda u yoki bu usulni tanlab olish lozim bo’ladi. Biz shundan Runge-Kutta usulini ko’rib chiqamiz.

Runge – Kutta usuli

Runge – Kutta usuli ko’p jixatdan Eyler usuliga o’xshash, ammo aniqlik darajasi Eyler usuliga nisbatan yuqori bo’lgan usullardan biridir. Runge – Kutta usuli bilan amaliy masalalarni yechish juda qulay. Buning sababi, bu usul orqali noma’lum funktsiyani xi+1 dagi qiymatini topish uchun uning xi dagi qiymati aniq bo’lishi etarli.
Runge – Kutta usulini uning aniqlash darajasi bo’yicha bir nyecha usullarga ajratadilar. Shulardan amaliyotda eng ko’p qo’llanadigani to’rtinchi darajali aniqlikdagi Runge – Kutta usulidir.
Birinchi tartibli differensial tenglama y’=f(x,y) uchun x=xi da y=yi (i=0,1,2, ...n) qiymatlar ma’lum bo’lsin. Bu erda “ui” boshlang’ich shart ma’nosida bo’lmasligi ham mumkin.
Tenglamaning yechimi qidirilayotgan kesma [a,b], xi=x0+ih (i=0,1,2,...n) nuqtalar bilan bir-biriga teng “n” ta bo’lakka bo’lingan.
Noma’lum funktsiya “u” ni x=xi+1 dagi qiymati yi+1= y(xi+1) ni topish uchun quyidagi ketma-ket hisoblash jarayonini amalga oshirmoq lozim bo’ladi:
K1(i)=hfi(xi,yi)
K2(i)=hfi(xi +h/2, yi+K1(i)/2)
K3(i)=hfi(xi +h/2, yi+K2(i)/2) (7.5.1)
K4(i)=hfi(xi +h, yi+K3(i))

Funktsiyaning orttirmasi yi ni quyidagi formuladan topiladi

yi=(K1(i)+2 K2(i)+2 K3(i)+ K4(i)) / 6 (7.5.2)

Bu erda h=(b-a)/n – integrallash qadami. i ni har bir qiymati uchun (7.5.1) va (7.5.2) dagi amallarni bajaramiz va noma’lum funktsiya “u” ni qiymatlarini (tenglamaning yechimini) quyidagi formuladan topamiz.

yi+1=yi+ yi , (i=0,1,2, ...n) (7.5.3)
Runge – Kutta usuli bilan differensial tenglamani yechishda jadval tuzilsa hisoblash jarayoni birmuncha osonlashadi. Jadvalni tuzish tartibi quyidagicha:
I. (2) va (3) ustunlarga x va u ning kerakli bo’lgan qiymatlari yoziladi.
II. “x” va “u” larning qiymatlarini ((2)-va (3)-ustunlardan) u’=f(x,y) tenglamani o’ng tarafiga qo’yiladi va natijalarni (4) ustunga (satrlari mos ravishda) qo’yiladi.
III. Topilgan f(x,y) qiymatlarini integrallash qadami “h” ga ko’paytiriladi va natijalar (5) ustunga yoziladi.
IV. K1(0) ni 1 ga, K2(0) va K3(0) larni 2 ga, K4(0) ni 1 ga ko’paytirib ularni (6) ustunga yozamiz.
I-IV jarayonni Ki ni (i=0,1,2, ...n) har bir qiymati uchun takrorlaymiz. (6)-ustunni qiymatlarining yig’indisini hisoblab, natijani 6 ga bo’lamiz va u=(1/6) (K1(i)+2 K2(i)+2 K3(i)+ K4(i)) ni
topamiz. Va nihoyat yi+1=yi+ yi topiladi. YUqorida keltirilgan hisoblash tartibini [a,b] kesmani barcha nuqtalari uchun takrorlaymiz.
1-Jadval
X U u’=f(x,y) K=hf(x,y) u

1 2 3 4 5 6

x0 y0 f(x0 ,y0) K1(0) K1(0)
x0+h/2 y0+K1(0)/2 f(x0+h/2; y0+K1(0)/2) K2(0) 2K2(0)
0 x0+h/2 y0+K2(0)/2 f(x0+h/2; y0+K2(0)/2) K3(0) 2K3(0)
x0+h y0+K3(0) f(x0+h; y0+K3(0)) K4(0) K4(0)

x1 y1=y0+ y0

f(x1 ,y1) K1(0) K1(0)
x1+h/2 y1+K1(1)/2 f(x1+h/2; y1+K1(1)/2) K2(0) 2K2(0)
1 x1+h/2 y1+K2(1)/2 f(x1+h/2; y1+K2(1)/2) K3(0) 2K3(0)
x1+h y1+K3(1) f(x1+h; y1+K3(1)) K4(0) K4(0)

2 x2 y2=y1+ y1

Misol.
Runge-Kutta usuli yordamida quyidagi differensial tenglamaga qo’yilgan
boshlang’ich masalaning
y’= , u(1)=0 yechimi [1;1,5] kesmada h=0,1 qadam bilan topilsin.
Yechish. Yechimlar va xisobiy qiymatlar 2-jadvalda keltirilgan.
2-Jadval
i xi yi f(xi, yi) K=hf(xi, yi) y1

0 1
1,05

1,05
1,1 0
0,05
0,057262
0,115907 1
1,145238
1,159071
1,310740 0,1
0,114524
0,115907
0,131074 0,1
0,229048
0,231814
0,131074
0,115323
1 1,1
1,15
1,15
1,20 0,115323
0,180807
0,188546
0,263114 1,309678
1,464447
1,477905
1,638523 0,130968
0,146445
0,147791
0,163852 0,130968
0,292889
0,295581
0,163852
0,147215
2 1,2
1,25
1,25
1,3 0,262538
0,344416
0,352591
0,443953 1,637563
1,801066
1,814146
1,983005 0,163756
0,180107
0,181415
0,198301 0,163756
0,360213
0,362829
0,198301
0,180805
3 1,3
1,35
1,35
1,4 0,443388
0,524495
0,551073
0,660028 1,982135
2,153696
2,166404
2,342897 0,198214
0,215370
0,216640
0,234290 0,198214
0,430739
0,443281
0,234290
0,216087
4 1,4
1,45
1,45
1,50 0,659475
0,776580
0,785532
0,912824 2,342107
2,521146
2,533493
2,717099 0,234211
0,252115
0,253349
0,271710 0,234211
0,504229
0,506700
0,271711
0,252808
5 1,5 0,912283

Adabiyotlar:

1. Салохиддинов М. С., Насриддинов Г. Оддий дифференциал тенгламалар. Тошкент. Ўқитувчи. 1994.1