Muhammad al-xorazimiy nomidagi toshkent axborot texnologiyalar universiteti mustaqil ish

xos qism to‘plami deyiladi. to‘plam to‘plamning xos qism to‘plami bo‘lishi yoki ko‘rinishda belgilanadi.
Ta’kidlash kerakki, yoki deb yozish mumkin emas (qiyoslang: haqiqiy son bo‘lsa, u holda yoki yozuv not’g‘ri). Shuning uchun, bu holatni ifodalash maqsadida, har qanday to‘plam “o‘zi o‘zining xosmas qismi” degan iboradan foydalaniladi.
To‘plamlar nazariyasida bo‘sh to‘plam har qanday bo‘sh bo‘lmagan to‘plamning qism to‘plami deb qaraladi, ya’ni . Tabiiyki, bo‘sh to‘plamning quvvati nolga teng, ammo bo‘sh to‘plamni yagona element sifatida saqlovchi to‘plamning quvvati birga tengdir, ya’ni , lekin .
Qandaydir tasdiqning o‘rinli bo‘lishidan boshqa tasdiqning o‘rinli bo‘lishi kelib chiqsa, bu holat deb belgilanadi. Masalan, . Agar va tasdiqlar uchun va bo‘lsa, bu tasdiqlar o‘zaro ekvivalent tasdiqlar deb ataladi. va tasdiqlarning o‘zaro ekvivalentligi deb belgilanadi (masalan, [14] kitobning mulohazalar algebrasi qismiga qarang).

Sodda to'plam nazariyasidan farqli o'laroq, to'plam nazariyasining aksiomatik rivojlanishida qabul qilingan munosabat, "narsalar" ning "to'plamlar" deb atalishini yoki a'zolik munosabati nimani anglatishini bilish shart emas. Yagona tashvish silsilasini va a'zolik munosabatlar haqida taxmin xususiyatlari bor. Shunday qilib, to'plamlarning aksiomatik nazariyasida to'plam va a'zolik munosabatlarigaegallashtirilmagan atamalardir . Bu tushunchalar haqida qabul qilingan taxminlar nazariyaning aksiomalari deyiladi. Aksiomatik to'plam teoremalari-bu aksiomalardan mantiq tizimi tomonidan taqdim etilgan natijaviy qoidalar yordamida olinadigan so'zlar bilan birgalikda aksiomalardir. Aksiomalarni tanlash mezonlari quyidagilardan iborat: (1) izchillik—bayon va uni inkor etish teoremalari sifatida keltirib chiqarish mumkin emas; (2) asoslilik—aksiomalar to'plamlar haqidagi intuitiv aqidalarga muvofiq bo'lishi kerak; va (3) Kantor majmui nazariyasining boyligi—istalgan natijalarini teorema sifatida keltirib chiqarish mumkin.

Zermelo-Fraenkel aksiomalari

To'plam nazariyasining birinchi aksiomatizatsiyasi 1908-yilda nemis matematigi Ernst Zermelo tomonidan berilgan. Yuqorida keltirilgan paradokslarni Cardinality va transfinite sonlari bo'limida tahlil qilib, u Cantorning paradoksidagi barcha to'plamlar to'plami kabi "juda katta" to'plamlar bilan bog'liq degan xulosaga keldi. Shunday qilib, Zermelo tuzgan aksiomalar to'plamlarning mavjudligini tasdiqlash yoki nazarda tutish bilan cheklanadi. Oqibatda, uning tizimida ulardan ma'lum ziddiyatlarni keltirib chiqarish uchun zohiriy yo'l yo'q. Boshqa tomondan, paradokslar qisqa klassik majmui nazariyasi natijalari olingan bo'lishi mumkin. Zermelo ning aniq nazariyasi bu yerda keyinchalik matematiklar tomonidan taklif o'zgartirishlar va takomillashtirishni o'z ichiga bir shaklda muhokama qilinadi, asosan Thoralf Albert Skolem, metalogic bir Norvegiya kashshof, va Ibrohim Adolf Fraenkel, Isroil matematik. Set nazariyasiga oid adabiyotlarda Zermelo-Fraenkel set nazariyasi va qisqartirilgan ZFC ("C" tanlov aksiomasi kiritilganligi sababli) deb ataladi. Qarang
Zermelo-Fraenkel aksiomalari
Zermelo-Fraenkel aksiomalari jadvali.

Zeno's paradox

mantiq tarixi: Set nazariyasi
Birinchi-tartibi fragment tashqari, Principia Mathematica murakkab nazariyasi matematiklar uchun juda murakkab edi...
Yaxshi shakllangan formulalarni yaratish uchun sxemalar
ZFC "kengayish aksiomasi" sodda to'siq nazariyasida bo'lgani kabi, to'plam faqat uning a'zolari tomonidan belgilanadi degan fikrni bildiradi. Bu faqat tenglik aniqki zarur mulk lekin a'zolik nisbatan haqida taxmin shuningdek emas, deb ta'kidlash lozim.
"Bo'sh to'plam aksiomasi" bilan belgilangan to'plam bo'sh (yoki null) to'plamdir.

"Aksiomaning ajralish sxemasi" ni tushunish uchun katta tushuntirish talab qilinadi. Zermelo asl tizimi taxmin, shu jumladan, deb, a formula S bo'lsa(x) majmui a barcha elementlari uchun "aniq" deb, keyin elementlari aniq s uchun a o'sha elementlar x bo'lgan majmuini mavjud(x) ushlab. Bu endi tushunish printsipi sifatida tanilgan abstraktsiya tamoyilining cheklangan versiyasidir, chunki u formulalarga mos keladigan to'plamlarning mavjudligini ta'minlaydi. Bu tamoyilni cheklaydi, ammo, ikki yo'l bilan: (1) to'plamlarning mavjudligini so'zsiz tasdiqlash o'rniga uni faqat oldindan mavjud to'plamlar bilan birgalikda qo'llash mumkin va (2) faqat "aniq" formulalar ishlatilishi mumkin. Zermelo faqat "aniq" ta'rifini taklif qildi, ammo skolem (1922) tomonidan oddiygina ZFC formulasi deb ataladigan aniq ta'rif bilan tushuntirish berildi. Zamonaviy mantiq vositalaridan foydalanib, ta'rif quyidagicha bo'lishi mumkin:

I. har qanday x va y o'zgaruvchilari uchun x, y va x = y formulalardir (bunday formulalar atom deb ataladi).

II. Agar s va T formulalar bo'lsa va x har qanday o'zgaruvchi bo'lsa, unda quyidagilardan har biri formuladir: Agar S, keyin T; S agar va faqat t bo'lsa; S va T; s yoki T; s emas; barcha x uchun, s; ba'zi x uchun, T.
Formulalar (i) ning (atom) formulalari bilan boshlanadigan va (II) da ruxsat etilgan konstruktsiyalar orqali davom etadigan rekursiv (sistematik qadamlarning chekli sonida) quriladi. "Not (x) emas, balki)," masalan, formula hisoblanadi (qaysi x uchun qisqartiriladi), va " har bir y uchun shunday bir x mavjud, y), y) formula hisoblanadi. "Ba'zi x uchun" yoki "barcha x uchun" iboralaridan biri kiritilmasdan formulada kamida bir marta sodir bo'lsa, o'zgaruvchi formulada erkindir. Masalan, "har bir y uchun x, y uchun" formulasi x bo'yicha shartdir. Haqiqatan ham, kompyuterni atomik formulalarni yaratish va ulardan mantiqiy bog'lanishlar ("not", "and" va boshqalar) yordamida tobora murakkablashib borayotgan boshqa formulalarni yaratish uchun dasturlash mumkin.) va operatorlari ("barcha uchun" va "ba'zi uchun"). A formula nazariyasi bir talqin belgilangan faqat ma'no kasb; ya'ni, qachon (1) a nonempty yig'ish (talqin domen deb ataladi) o'zgaruvchilar qiymatlari oralig'i sifatida belgilangan (shunday qilib, muddatli majmui bir ma'no beriladi, viz., domen bir ob'ekt), (2) a'zolik munosabat bu fotoalbomlarda uchun belgilangan, (3) mantiqiy bog'liqliklar va operatorlari kundalik tilida sifatida talqin etiladi, va (4) tenglik mantiqiy munosabat domen ob'ektlar orasida tenglik bo'lishi olinadi.
Ifoda "x bo'yicha holat "qaysi x bepul formula uchun shunchaki uyat bo'ladi; nisbiy bir talqin qilish, bunday formula x bo'yicha shartni zo'rlab qilsa. shunday qilib,, bu intuitiv talqini" bo'linishi axiom diagramma " bo'ladi: bir qator berilgan va x bo'yicha shart, S(x), qaysi holat bir majmuini tashkil ushlab bir o'sha elementlar. Mavjud to'plamlarning ayrim elementlarini ajratib olib, to'plamlar mavjudligini ta'minlaydi. Buni ajratishning aksiomali sxemasi deb atash o'rinli, chunki u aslida s(x) ning har bir tanlovi uchun bitta—aksiomalarni hosil qilish uchun sxemadir.

To'plamlarni murakkablashtirish uchun aksiomalar

Ajratishning aksioma sxemasi konstruktiv sifatga ega bo'lsa-da, Kantor majmui nazariyasining ba'zi kerakli xususiyatlari o'rnatiladigan bo'lsa, mavjud to'plamlardan to'plamlarni qurishning keyingi vositalari kiritilishi kerak. Jadvaldagi uchta aksioma—juftlashish aksiomasi, birlashma aksiomasi va hokimiyat majmui aksiomasi bu xildir.
Aksiomalardan beshtasini (2-6) foydalanib, sodda to'siq nazariyasining turli xil asosiy tushunchalari (masalan, birlashma, kesishish va Kartezyen mahsuloti; munosabatlar tushunchalari, ekvivalentlik munosabati, buyurtma aloqasi va funktsiyasi) ZFC bilan aniqlanishi mumkin. Bundan tashqari, Naif set nazariyasida erishish mumkin bo'lgan bu tushunchalar haqidagi standart natijalar ZFC teoremalari sifatida isbotlanishi mumkin.

Cheksiz va tartibli to'plamlar uchun aksiomalar

Agar i to'plamlar aksiomatik nazariyasining talqini bo'lsa, i tomonidan belgilanganidek, "to'plam" va "to'plam" ga ma'no berilganda aksiomadan kelib chiqadigan jumla true yoki false hisoblanadi. Agar har bir aksioma i uchun to'g'ri bo'lsa, u holda i nazariyaning modeli deyiladi. Agar modelning domeni cheksiz bo'lsa, bu haqiqat domenning har qanday ob'ekti "cheksiz to'plam" ekanligini anglatmaydi."Ikkinchi ma'noda an cheksiz majmui alohida ob'ektlar bir cheksizlik bor, buning uchun i domen D a ob'ekt d' in d bunday d'ed tutadi, deb (e turoqdabo'lib talqin uchun). Shu paytgacha muhokama qilingan aksiomalar aksiomalar bo'lgan nazariyaning har qanday modeli sohasi aniq cheksiz bo'lsa-da, har bir to'plam cheklangan modellar ishlab chiqilgan. Klassik to'plam nazariyasining, shu jumladan haqiqiy sonlar va cheksiz tub sonlar nazariyalarining to'la rivojlanishi uchun cheksiz to'plamlarning mavjudligi zarur; shu tariqa "cheksizlik aksiomasi" kiritilgan.
Mavjudligi noyob minimal to'plami ω bo'lgan xususiyatlari bildirdi ichida axiom of infinity bo'lishi mumkin isbotlab berdi; uning alohida a'zolarining bor Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}, ... . Bu elementlar 0, 1, 2, 3, ... bilan belgilanadi va natural sonlar deyiladi. Bu termin uchun asos Peano postulates aslida asoslangan (Italiya matematigi Juzeppe Peano tomonidan 1889 yilda chop etilgan besh o'zgarish), arifmetik uchun baza bo'lib xizmat qilishi mumkin bo'lgan, majmui nazariyasi teoremalar sifatida isbot mumkin. Shunday qilib yo'l Real raqamlar barcha kutilgan xususiyatlarga ega shaxslarning ZFC doirasida qurish uchun asfalt bo'ladi.
Tanlov aksiomasining kelib chiqishi(jadvaldagi axiom 8) Cantorning "buyurtma" o'zboshimchalik to'plamlariga ega bo'lish muhimligini tan olish edi, ya'ni har bir to'plam uchun buyurtma berish munosabatini aniqlash uchun. To'plamga yaxshi buyurtma berishning fazilati shundaki, u har bir element uchun matematik induksiyaga o'xshash jarayon (transfinit induksiya) bilan xususiyatni ushlab turish vositasini taklif qiladi. Zermelo (1904) har qanday to'siqni yaxshi buyurtma qilish mumkinligini birinchi isbotladi. Uning isboti "tanlov aksiomasi" deb nomlangan set-teoretik printsipni qo'lladi, ko'p o'tmay, bu yaxshi buyurtma teoremasiga teng deb ko'rsatildi.

1^ Rassel (Bertrand Arthur William Russell, 1872-1970) – mashhur ingliz faylasufu, 1950 yilda adabiyot sohasida Nobel mukofotiga sazovar bo‘lgan.

2^ Paradо́ks (grekcha παράδοξος so‘zi kutilmagan, tushunarsiz, g‘ayrioddiy, taajjubli ma’nolarini beradi) – mantiqiy nuqtai nazardan formal ravishda to‘g‘ri fikrlab bir-biriga zid bo‘lgan natijalarni hosil qilish.

3^ Aksioma – isbotsiz qabul qilinadigan tasdiq.

4^ Sermelo (Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, 1871-1953) – olmon matematigi.

5^ Frenkel (Adolf Abraham Halevi Fraenkel,