Muhammad al-Xorazimiy nomida Toshkent axborot texnalogiyalari universiteti ki fakulteti

Nyuton binomial koeffitsientlari, binom koeffitsientlarining xususiyatlari, Paskal uchburchagi

Turli n uchun binomial koeffitsientlarni taqdim etish Paskalning arifmetik uchburchagi deb ataladigan jadval yordamida amalga oshiriladi. Jadvalning umumiy ko'rinishi:

Darajasi ko'rsatkichi

Binominal koeffitsientlar

0

C00

1

C10

C11

2

C20

C21

C22

3

C30

C31

C32

C33

⋮

…

…

…

…

…

…

…

…

…

N

Cn0

Cn1

…

…

…

…

…

Cnn-1

Cnn

Tabiiy holdan, Paskalning bunday uchburchagi dürbün koeffitsientlari qiymatlaridan iborat:

Darajasi ko'rsatkichi	Binominal koeffitsientlar
0								1
1							1		1
2						1		2		1
3					1		3		3		1
4				1		4		6		4		1
5			1		5		10		10		5		1
⋮		…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
N	Cn0		Cn1	…	…	…	…	…	…	…	…	…	Cnn-1		Cnn

Uchburchakning tomonlari birliklarning qiymatiga ega. Ichkarida qo'shni tomonlarning ikki raqamini qo'shganda olingan raqamlar mavjud. Qizil rangda ta'kidlangan qiymatlar to'rtta va ko'k oltitasi sifatida olinadi. Qoida uchburchakning bir qismi bo'lgan barcha ichki sonlar uchun amal qiladi. Koeffitsientlarning xususiyatlari Nyuton dürbünü yordamida tushuntiriladi.

Nyuton binomi formulasini isbotlash

Nyuton binomi stavkalari uchun adolatli bo'lgan tenglik mavjud:

• 
  koeffitsient boshidan va oxiridan teng ravishda ajratiladi va quyidagi formuladan ko'rinib turganidek tengdir C_np=C_nn-pp=0, 1, 2, …, n;
  
• 
  C_np=C_np+1=C_n+1p+1;
  
• 
  binom koeffitsientlari 2 binomial darajasi ko'rsatkichi darajasida, ya'ni C_n0+C_n1+C_n2+...+C_nn=2n;
  
• 
  binominal koeffitsientlarni teng tartibga solishda ularning summasi g'alati joylarda joylashgan binomial koeffitsientlar yig'indisiga teng.
  

Turlarning tengligi a+b_n=C_{n 0a*n}+C_n1*an-1*b+C_n2*an-2*2b+...+C_nn-1*a*bn+C_nn*bn adolatli hisoblanadi. Uning mavjudligini isbotlaymiz.

Buning uchun matematik indüksiyon usulini qo'llash kerak.

Dalil uchun bir nechta fikrlarni bajarish kerak:

1. 
   Qachon degradatsiyasi tenglik tekshirish n=3. Bizda shunday (a+b)³=a+ba+ba+b=a²+ab+ba+bⁿa+b==a²+2ab+b²a+b=a³+2a²b+ab²+a²b+2ab+b³==a³+3a²b+3ab²+b³=C₃₀a³+C₃₁a²b+C₃₂ab²+C₃₃b³
   
2. 
   Agar tengsizlik to'g'ri bo'lsan-1, unda turning ifodasi a+b_n-1=C_n-10·a_n-1·C_n-11·a_n-2·b·C_n-12·a_n-3·b₂+...+C_n-1n-2·a·b_n-2+C_n-1n-1·b_n-1
   

bu adolatli hisoblanadi.

3. 
   a+b_n-1=C_n-10·a_n-1·C_n-11·a_n-2·b·C_n-12·a_n-3·b₂+...+C_n-1n-2·a·b_n-2+C_n-1n-1·b_n-12-bandga asoslangan tenglik isboti.
   

Ishonchli

Ifoda

a+b_n=a+ba+b_n-1==(a+b)C_n-10·a_n-1·C_n-11·a_n-2·b·C_n-12·a_n-3·b₂+...+C_n-1n-2·a·b_n-2+C_n-1n-1·b_n-1

Qavslarni ochish kerak, keyin biz olamiza+bn=Cn-10·an+Cn-11·an-1·b+Cn-12·an-2·b2+...+Cn-1n-2·a2·bn-2++Cn-1n-1·a·bn-1+Cn-10·an-1·b+Cn-11·an-2·b2+Cn-12·an-3·b3+...+Cn-1n-2·a·bn-1+Cn-1n-1·bn

Mahsulotlar va etkazib beruvchilarning lentasini yanada aniqroq qurish uchun

a+bn==Cn-10·an+Cn-11+Cn-10·an-1·b+Cn-12+Cn-11·an-2·b2+...++Cn-1n-1+Cn-1n-2·a·bn-1+Cn-1n-1·bn

Bizda shunday Cn-10=1va Cn0=1keyin Cn-10=Cn0. Agar Cn-1n-1=1va Cnn=1keyin Cn-1n-1=Cnn. Kombinatsiyalarning xususiyatlarini qo'llashda Cnp+Cnp+1=Cn+1p+1biz turlarning ifodasini olamiz

Cn-11+Cn-10=Cn1Cn-12+Cn-11=Cn2⋮Cn-1n-1+Cn-1n-2=Cnn-1

Olingan tenglik bilan almashtiramiz. Buni olamiz

a+bn==Cn-10·an+Cn-11+Cn-10·an-1·b+Cn-12+Cn-11·an-2·b2+...++Cn-1n-1+Cn-1n-2·a·bn-1=Cn-1n-1·bn

Keyin Nyutonning bioniga o'tishingiz mumkin a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+...+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn.

Dürbün formulasi isbotlangan.

Nyuton Binomi-misollar va muammolarni hal qilishda foydalanish

Formuladan foydalanishning to'liq tushunchasi uchun misollarni ko'rib chiqing.

Misol 1

(a+b)⁵ Nyuton Binomi formulasidan foydalanib , ifodani kengaytirish.

Qaror

Paskal uchburchagida beshinchi daraja bilan binominal koeffitsientlar aniq 1, 5, 10, 10, 5, 1. Ya'ni, a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5biz kerakli ajralish nima ekanligini bilib olamiz.

Javob: a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

Misol 2

Nyuton binomi koeffitsientlarini turning ayrışmasının oltinchi a'zosi uchun toping a+b10.

Qaror

Vaziyatga ko'ra, bu bor n=10, k=6-1=5. Keyin bionomik koeffitsientni hisoblashga o'tishingiz mumkin:

Cnk=C105=(10)!(5)!·10-5!=(10)!(5)!·(5)!==10·9·8·7·6(5)!=10·9·8·7·61·2·3·4·5=252

Javob: Cnk=C105=252

Quyida ko'rsatilgan raqam bilan ifodalashning bo'linishini isbotlash uchun dürbün tomonidan ishlatiladigan bir misol.

Misol 3

5n+28·n-1Tabiiy son bilan ifodalashning ma'nosi n16qoldiqsiz bo'linadi.

Qaror

Nyuton dürbünü shaklida ifoda 5n=4+1nqilish va foydalanish kerak. Keyin buni olamiz

5n+28·n-1=4+1n+28·n-1==Cn0·4n+Cn1·4n-1·1+...+Cnn-2·42·1n-2+Cnn-1·4·1n-1+Cnn·1n+28·n-1==4n+Cn1·4n-1+...+Cnn-2·42+n·4+1+28·n-1==4n+Cn1·4n-1+...+Cnn-2·42+32·n==16·(4n-2+Cn1·4n-3+...+Cnn-2+2·n)

Nyuton dürbününün formulasi tabiiy uchun n bu ko'rinishga ega  , qaerda  - n dan k ga kombinatsiyalarni ifodalovchi bionomik koeffitsientlar, k=0,1,2,…,n, va"!"bu faktorial belgisi).

Misol uchun, qisqartirilgan ko'paytirishning "kvadrat miqdori" turining ma'lum formulasi   Nyuton dürbününün maxsus ishi bor n=2.

Nyuton dürbününün formulasining o'ng tomonida joylashgan ifoda (a+b)^{n deb ataladi}va ifoda  (k+1)parchalanishning uchinchi a'zosi, k=0,1,2,..., n.

Nyuton binomining koeffitsientlari, bionomik koeffitsientlarning xususiyatlari, Paskal uchburchagi.

Paskal Uchburchagi.

Turli uchun binomial stavkalari n arifmetik deb ataladigan jadval shaklida tasavvur qilish qulay Paskal uchburchagi. Umumiy holda, Paskal uchburchagi quyidagi shaklga ega: 

Paskalning uchburchagi tabiiy ravishda Nyuton dürbün koeffitsientlari shaklida keng tarqalgan :

Paskal uchburchagi tomonlari birliklardan iborat. Paskal uchburchagi ichida yuqoridagi ikkita tegishli sonni qo'shib olingan raqamlar mavjud. Misol uchun, o'nta qiymat (qizil rangda ajratilgan) to'rt va oltitaning yig'indisi (ko'k rangda ajratilgan) sifatida olinadi. Bu qoida Paskal uchburchagini tashkil etuvchi barcha ichki sonlar uchun amal qiladi va Nyuton dürbün koeffitsientlarining xususiyatlariga bog'liq.

Binomial koeffitsientlarning xususiyatlari.

Nyuton dürbün stavkalari uchun quyidagi xususiyatlar amal qiladi:

• 
  ajralishning boshidan va oxiridan teng bo'lgan koeffitsientlar bir-biriga teng  , p = 0,1,2,..., n;
  
• 
  ;
  
• 
  binomial koeffitsientlar yig'indisi Nyuton dürbünün darajasiga teng darajada ko'tarilgan 2 soniga teng:  ;
  
• 
  hatto joylarda turgan binomial koeffitsientlar yig'indisi g'alati joylarda turgan binomial koeffitsientlar yig'indisiga teng.
  

Birinchi ikkita xususiyat-kombinatsiyalar sonining xususiyatlari.

Nyuton dürbününün formulasini isbotlash.

Biz Nyuton binomi formulasini isbotlaymiz, ya'ni tenglik adolatini isbotlaymiz  .

1. 
   Keling , n = 3 uchun ba'zi n uchun ajralish adolatini tekshirib ko'raylik . 
   

Ular to'g'ri tenglik oldilar.

2. 
   Tenglik n-1 uchun to'g'rideb hisoblang, ya'ni tenglik adolatli  .
   
3. 
   Ikkinchi nuqta taxminiga asoslangan tenglik to'g'ri ekanligini isbotlaymiz .
   

Boraylik! 

Qavslarni ochish 

Guruhlash shartlari 

Shunday qilib , keyin  ; chunki , keyin  ; bundan tashqari, kombinatsiyalar xususiyatidan foydalanib , biz olamiz 

Ushbu natijalarni yuqoridagi tenglikka almashtirish   Nyuton dürbününün formulasiga keling  .

Bu Nyuton binomining formulasini isbotladi.

Nyuton Binomi-misollar va muammolarni hal qilishda foydalanish.

Nyuton dürbününün formulasi ishlatiladigan misollar uchun batafsil echimlarni ko'rib chiqing.

Misol.

Nyuton dürbünü formulasiga ko'ra, ifoda (a+b)^{5 ning ayrışmasını yozing}.

Qaror.

Beshinchi darajaga mos keladigan Paskal uchburchagi chizig'iga qarang. Binomial koeffitsientlar raqamlar bo'ladi 1, 5, 10, 10, 5, 1. Shunday qilib, bizda bor  .

Misol.

Nyuton dürbün koeffisiyenti, ifodani buzishning oltinchi a'zosi uchun toping  .

Qaror.

Bizning misolimizda n = 10, k = 6-1=5. Shunday qilib, biz kerakli bionomik koeffitsientni hisoblashimiz mumkin: 

Xulosa qilib aytganda, Nyuton binomidan foydalanish, so'zning muayyan songa bo'linishini isbotlashga imkon beruvchi misolni ko'rib chiqing.

Misol.

N – tabiiy raqam bo'lgan ifoda qiymati 16 tomonidan qoldiqsiz bo'linishini isbotlang.

Qaror.

Keling, Nyuton dürbününün formulasini qanday qilib ishlatishimiz haqida birinchi atamani tasavvur qilaylik : 

Olingan mahsulot asl ifodani 16-ga ajratishni tasdiqlaydi.

Xulosa:

Xulosa qilib shularni aytish mumkunki Nyuton binomi - ikki qoʻshiluvchi yigʻindisining ixtiyoriy butun musbat darajasini qoʻshiluvchilar darajalari yigʻindisi koʻrinishda ifodalovchi formula bo’lib bu anchagina ossalashtirilgan hisoblash usuli ekan. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qilishi hisoblash vaqtini ancha ossonlashtirar ekan. Ayniqsa Nuyuton binomi ikki qo’shiluvchining darajasi katta bo’lganda ancha samarali usul ekan.

Foydalanilgan adabiyotlar va internet saytlari:

1. 
   Kombinatortika va ehtimollar nazariyasi.
   
2. 
   Vikipediya uz
   
3. 
   "Nyuton Binomi" [elektron resurs] - URL: http://wiki.laser.ru/be/bse/001/008/082/931.html
   
4. 
   https://hozir.org
   
5. 
   Buyuk sovet Ensiklopediyasi TSB, 1964. [Elektron resurs] - URL: https://litlife.club/books/106169/read?page = 11
   
6. 
   O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2017-yil 6-apreldagi “Umumiy o‘rta va o‘rta maxsus, kasb-hunar ta’limining davlat ta’lim standartlarini tasdiqlash to‘g‘risida”gi № 187- sonli Qarori
   
7. 
   M.A. Mirzaahmedov, Sh.N. Ismailov, A.Q. Amanov, B.Q.Xaydarov, Matematika 11, darslik, Toshkent, 2018