Муҳаммад ал хоразмий номидаги

 
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ 
УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН СЛОЖНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ ПРИ 
ОДНОРОДНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
 
Ш.Б Корёгдиев
 
Ташкентский университет информационных технологий имени Мухаммада 
ал
-
Хоразмий
В данной статье приводится вычислительный алгоритм для расчета 
пластин сложных конфигураций при однородно напряженном состоянии. 

---

88 
(1.2) 
(1.1) 


=
























+




+




+




+








+



+


S
j
i
j
i
j
i
j
i
S
i
y
i
xy
i
x
dS
x
y
y
x
r
y
y
r
x
x
r
dS
y
M
y
x
M
x
M
0
2
3
2
1
2
2
2
2
2












(
)
(
)
(
)
0
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
)
1
(
2
~
~
~
~
~
~
,
2
,
1
,
1
,
2
3
,
2
,
2
2
,
1
,
1
1
,
5
,
5
,
6
,
4
,
6
,
4
,
6
,
4
=








+
+
+
+
+








−
+
+
+
+
+


dS
r
r
r
dS
S
j
i
j
i
j
i
j
i
S
j
i
i
i
i
j
i
i




















0
*
=
−
Eu
u
A

Задача статического расчета устойчивости пластин сложных форм 
сводится к метод Бубнова
-
Галеркина [3].
Как было отмечено в работе [1], непосредственное применение метода 
Бубнова
-
Галеркина к решению уравнения приводит к вычислительным 
сложностям. Поэтому, используя способ, примененный в [1], получим:
где 

- 
наименьшее критическое значение, подлежащее определению;
(1.3) 
Уравнение (1.2) можно переписать в матричной форме:
0
=
−
u
B
u
A



(1.4) 
где 
пл
ij
y
ij
ij
a
a
a
A
−
=
=
}
{
~
(1.5) 
ij
ij
ij
b
D
h
b
B
=
=
}
{
~
}
{
i
ij
u
u
=


=
G
ij
y
ij
dG
P
a
; 

=
G
ij
пл
ij
dG
P
a
*
; 

=
G
ij
ij
dG
R
b
; 
(
)
(
)
(
)
j
i
j
i
i
j
i
i
ij
P
,
5
,
5
,
6
,
4
,
6
,
4
,
6
,
4
~
~
1
2
~
~
~
~
~
~











−
+
+
+
+
=
;
(1.6) 
(
)
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
ij
r
r
r
r
r
r
r
r
r
P
,
5
,
5
3
,
5
,
6
,
6
,
5
2
1
,
5
,
4
,
4
,
5
3
1
,
6
,
4
,
4
,
6
2
1
,
6
,
,
6
2
,
4
,
4
1
*
~
~
1
~
~
1
~
~
2
~
~
1
~
~
2
~
~
~
~
~
~
~
~





















+






+
+






+
+
+
+
+
=
(
)
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
r
r
r
R
,
2
,
1
,
1
,
2
3
,
2
,
2
2
,
1
,
1
1
,
~
~
~
~
~
~
~
~








+
+
+
=
(1.7) 
Если 
r
1
=1, r
2
=r
3
=0
, то пластина сжимается усилиями 
N
x
Если 
r
2
=1, r
1
=r
3
=0
, то пластинка сжимается усилиями 
N
у
; 
Если 
r
1
=r
2
=1, r
3
=
0 если пластинка сжата усилиями
N
x
и 
N
y
и т.д..
i
i
i
i
,
4
,
3
,
2
,
1
~
,
~
,
~
,
~




определяются по формулам (1.3)
Для вычисления двухкратных интегралов была использована n
-
точечная 
квадратурная формула Гаусса [2].
Нахождение же минимального критического значения 

 
в уравнении 
(1.4) сведем к виду:
(1.8) 
где 
А
*
 
= А В
-1
, В
-1
- 
обратная матрица; 
Е 
- 
единичная матрица.
Матрица 
А
*
не всегда будет симметричной, вследствие чего 
целесообразно ортонормировать в (1.4) линейно
-
независимую систему 
b
a
y
y
x
x
y
x
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
=


=



=


=


=


=














,
~
,
~
,
~
,
~
,
~
2
2
,
6
2
,
5
2
2
2
,
4
,
2
,
1

---

89 
координатных функций 

i
(х,у)
по бигармоническому оператору 
А
и 
В
. 
Алгоритм построения ортонормированной системы 

i
(х,у),
удовлетворяющие 
граничному условию (1.6) приведен в [3].
Для решения уравнений типа (1.8) существует множество методов, в 
частности методы: Данилевского, Крылова, Леверье, Якоби, 
QR
- 
и 
QL
-
методы, и другие. Но классические методы (Данилевского, Крылова и 
Леверье) приводят к решению алгебраических уравнений 
n
-
ой степени и при 
n>4
сильно ухудшается точность результатов, так как элементы матрицы 
А
*
быстро растут. Поэтому более удобнее применение методов Якоби или 
QR
- 
и 
QL
-
методов. Но как было указано в [2] применение 
QR
- 
(или 
QL
)-
метода 
характеризуется большей скоростью сходимости по сравнению с методом 
Якоби, поэтому в работе используется 
QL
-
метод.
В основу 
QL
-
метода положено приведение исходной матрицы к 
треугольной. Приведение симметричной матрицы 
А
*
=А
*
1
к трехдиагональной 
форме 
А
выполняют с помощью 
(n-2)
преобразований. Этот метод подробно 
изложен в работе [4]. Поэтому ограничимся лишь описанием QL
-
метода.
А=Q 
L
(1.9) 
где 
Q
- 
унитарная, а 
L
- 
нижняя треугольная матрица и, следовательно, 
матрица 
В
, равная
В = 
L Q = Q
H
 A Q
(1.10) 
унитарно подобна матрице 
А
. Таким образом, можно сформировать 
последовательность унитарноподобных матриц согласно соотношениям
А
s
 = Q
s
 L
s
; 
А
s+1
 = L
s
Q
s
 = Q
H
s
А
s
Q
s,
,
(1.11) 
которая имеет своим пределом нижнюю треугольную матрицу. Такой 
алгоритм носит название 
QL
-
метода.
Литература
 
1.
Буриев Т. Расчет тонких плит на ЭВМ. ФАН, 1976. 
- 
132с.
 
2.
Милчев Е, Данков Е. Численный метод исследования устойчивости 
тонких прямоугольных упругих пластин. // Строит
-
во. 
- 1989. - 
36, N 7, с.12
-
14
 
3.
Назиров Ш.А., Пискорский Л.Ф. Комплекс программ для расчета и 
оптимизации 
пластинчатых 
конструкций 
сложных 
конфигураций.//Алгоритмы. 
-
Ташкент, 1995. 
-
Вып.80. 
- 
с.41
-54. 
4.
Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. 
М., Наука, 1970.
 
 
 

---

90 
РАЗРАБОТКА НЕЛИНЕЙНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ 
ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ПЕРЕНОСА И ДИФФУЗИИ 
АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ В АТМОСФЕРЕ
 
Н.Равшанов
1
, 
Т.Шафиев
1 
1
Научно
-
инновационный центр информационно
-
коммуникационных 
технологий при ТУИТ
 
Современная экономика стран все большей меры истощает силы 
природы, все шире используется эти силы, богатство природы для ускорения 
научно
-
технического прогресса. Конечно, не всегда это процессы проносят 
положительные результаты. Большими темпами строится заводы и фабрики, 
которыми являются основным фактором экологического проблемы 
- 
антропогенные источники. Именно антропогенные источники может нанести 
природе невосполнимый ущерб и основная угрозой для него является именно 
загрязнённая атмосфера. Поэтому, прогнозирования, мониторинг и оценка 
экологического состояния атмосферы, проектирования и размещения 
промышленных объектов с соблюдением санитарных норм является 
первоочередной задачей в проблеме охране окружающей среды.
Изучения статических данных по экологии показывает, что ухудшение 
экологии в атмосфере промышленных зон возникает в связи с увеличением 
концентрации вредных веществ и загазованности атмосферы. Из этого 
следует что актуальность мониторинга и прогнозирования процесса 
распространения вредных аэрозольных частиц
очевидна.
За последние годы учёными разработаны математические инструменты 
для исследования, прогнозирования и мониторинга экологического 
состояния промышленных регионов, которые основывается на –
математическую модель, численного алгоритма и программного средства для 
проведения вычислительных экспериментов на ЭВМ и получены 
значительные теоретические и прикладные результаты по выше указанной 
проблемой. 
Исходя из вышесказанного
, 
целью данной работы является разработка 
нелинейной математической модели для мониторинга и прогнозирования 
процесса переноса и диффузии вредных веществ в атмосфере промышленных 
регионов. Для исследования процесса переноса и диффузии аэрозольных 
частиц в атмосфере с учетом существенных параметров
, ,
u v w
составляющие скорости ветра по направлениям 
, ,
x y z
соответственно
и 
скорости осаждения мелкодисперсных частиц 
g
w
рассмотрим 
математическую модель, описываемую на основе закона гидромеханики с 
помощью многомерного дифференциального уравнения в частных 
производных[1
-4]:
 
(
)
(
)
2
2
2
2
, ,
;
g
u
v
w
w
x y z Q
t
x
y
z
x
y
z
z







 














+
+
+
−
+
=
+
+
+
















(1) 

---

91 
2
2
(
) ;
f
в
du
m
c
r
u
U
dt
 
=
−
(2) 
2
2
(
) ;
f
в
dv
m
c
r
v
U
dt
 
=
−
(3) 
3
4
(
)
3
g
п
в
f
в
g
п
dw
m
r
g
k
rw
F
dt



 
= −
−
−
+
(4) 
и соответствующим им начальным и граничным условиями:
0
( , , ,0)
( , , ),
(0),
(0),
(0),
при t 0,
g
g
x y z
x y z
u
u
v
v
w
w


=
=
=
=
=
(4) 
x
(
) 
при x=0,
(
) при x=L ,
b
b
x
x



 


 



−
=
−
=
−


(5) 
y
(
) 
при y=0,
(
) при y=L ,
b
b
y
y



  

  


−
=
−
=
−


(6) 
(
)
0
(
),
при z 0,
, при
b
z
F
z
H
z
z





 



−
=
−
=
=
−
=

(7) 
где 
2
2
2
U
u
v
w
=
+
+
.
 
Здесь 
m -
масса частицы; 
r - 
радиус частицы; 
θ
- 
количество 
распространяющегося вещества; 
0

- 
первичная концентрация вредных 
веществ в атмосфере; 

- 
коэффициент поглощения вредных веществ в 
атмосфере; 

- 
функция Дирака; 
g - 
ускорения свободного падания; 
f
c
- 
коэффициент лобового сопротивления частиц; 
f
k
- 
коэффициент формы тела 
для силы сопротивления; 
п
F
- 
подъёмная сила воздушного потока; 
п

- 
плотность частиц; 
в

- 
плотность воздуха; 
в

-
вязкость воздуха; t –
время; 
, ,
x y z
- 
координаты; µ 
- 
коэффициент диффузии; 

- 
коэффициент 
взаимодействия с подстилающей поверхности; 
Q
- 
мощность источников; 
0
F
- 
количество аэрозольных частиц оторвавшихся от шероховатости земной 
поверхности, 

- 
коэффициент турбулентности, 

- 
коэффициент для 
проведения граничного условия к размерному виду, 
b

- 
концентрация 
взвешенных веществ в соседних областях решаемых задач. 
Так как, задача (1) 
- 
(7) описывается многомерным нелинейным 
дифференциальным 
уравнением 
в 
частных 
производных 
с 
соответствующими начальными и краевыми условиями, то получить ее 
решение в аналитической форме затруднительно. Для решения задачи 
используем неявную конечно
-
разностную схему по
времени со вторым 
порядком точности соответственно по 
,
x y
и 
z
[1-3].
Для определения скоростей перемещения мелкодисперсных частиц в 
атмосфере получена система нелинейных уравнений (2)
-
(4), где учтены 
основные физико
-
механические свойства частиц (радиус, масса и плотность 
частицы) и скорость перемещения воздушной массы атмосферы, которые 
играют важную роль в процессе переноса и диффузии.
На основе передоложенного математического модели и численного 
решения задачи разработана программный
модули для оценки концентрация 

---

92 
выброшенных аэрозольных частиц в атмосфере в следствие переноса, и 
диффузия их в рассматриваем регионе.
Проведёнными численными расчётами установлено, что изменения 
концентрации аэрозолей в атмосфере существенно зависит от коэффициента 
поглощения частиц в атмосфере. Рост поглощения вредных веществ в 
атмосфере зависит от влажного состояния воздушной массы.
Вычислительным экспериментом установлено что, распространения 
аэрозольных частиц в атмосфере зависит: во
-
первых, от скорости осаждения 
частиц; во
-
вторых, скорости воздушного потока; в
-
третьих, от физико
-
механических свойств частиц (радиус, масса и плотность частицы). 
При задании различных высот источника загрязнения было установлено, 
что при выбросах из высоких источников максимальные концентрации 
загрязнения фиксируются при опасных скоростях ветра (в пределах от 3 до 6 
м/с в зависимости от скорости истечения газов из устья выбросных труб). 
Опасная скорость ветра в сочетании с неустойчивой стратификацией и 
интенсивным переносом примесей приводит к максимальному росту 
значения
концентрации вредных веществ в приземном слое атмосфере. В таких 
случаях основную роль в рассеивании вредных веществ в атмосфере играют 
горизонтальные потоки.