Мощность множества. Конечные и бесконечные множества. План: Мо́щность, или кардина́льное

Следующее по порядку кардинальное число[править | править код]
Если принять аксиому выбора, то для каждого кардинального числа {\displaystyle \kappa }  можно определить следующее за ним число {\displaystyle \kappa ^{+}>\kappa } , причём между {\displaystyle \kappa }  и {\displaystyle \kappa ^{+}}  нет других кардинальных чисел. Если {\displaystyle \kappa }  конечно, то кардинальное число, следующее по порядку, совпадает с {\displaystyle \kappa +1} . В случае бесконечных {\displaystyle \kappa }  следующее кардинальное число отличается от следующего порядкового числа.
Сложение кардинальных чисел[править | править код]
Если множества {\displaystyle X}  и {\displaystyle Y}  не имеют общих элементов, то сумма мощностей определяется мощностью их объединения. При наличии общих элементов исходные множества можно заменить непересекающимися множествами той же мощности — например, заменить {\displaystyle X}  на {\displaystyle X\times \{0\}} , а {\displaystyle Y}  на {\displaystyle Y\times \{1\}} .
Нейтральность нуля относительно сложения:
{\displaystyle \kappa +0=0+\kappa =\kappa }Ассоциативность:
{\displaystyle (\kappa +\mu )+\nu =\kappa +(\mu +\nu )}Коммутативность:{\displaystyle \kappa +\mu =\mu +\kappa }
Монотонность (неубывание) сложения по обоим аргументам:
{\displaystyle \kappa \leq \mu \rightarrow \kappa +\nu \leq \mu +\nu .}{\displaystyle \kappa \leq \mu \rightarrow \nu +\kappa \leq \nu +\mu .}
Сумму двух бесконечных кардинальных чисел можно легко вычислить при соблюдении аксиомы выбора. Если одно из чисел {\displaystyle \kappa }  или {\displaystyle \mu }  бесконечно, то
{\displaystyle \kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.}
При соблюдении аксиомы выбора для любого бесконечного кардинального числа {\displaystyle \sigma }  и произвольного кардинального числа {\displaystyle \mu }  существование {\displaystyle \kappa } , при котором {\displaystyle \mu +\kappa =\sigma } , эквивалентно неравенству {\displaystyle \mu \leq \sigma } . Такое {\displaystyle \kappa }  единственно (и совпадает с {\displaystyle \sigma } ) тогда и только тогда, когда {\displaystyle \mu <\sigma } .