Monoton funksiyalar uzluksizligi. Reja

Monoton funksiyalar uzluksizligi.
Reja:

1. 
   Monoton funksiyalarning uzluksizligi va uzilish nuqtasi.
   
2. 
   Uzluksiz funksiyaning nolga aylanishi haqidagi teorema.
   
3. 
   Uzluksiz funksiyaning oraliq qiymatlari haqidagi teorema
   
4. 
   Teskari funksiyaning mavjudligi va uzliksizligi.
   
5. 
   Tekis uzluksiz funksiya. Kantor teoremasi.
   

Monoton funksiyalarning uzluksizligi va uzilish nuqtasi.
Teorema. Agar f(x) funksiya X oraliqda (qat`iy) monoton funksiya bo`lsa, u shu oraliqning istalgan nuqtasida uzluksiz bo`ladi yoki faqat birinchi tur uzilishga (sakrashga) ega bo`ladi.
Isbot. f(x) funksiya X oraliqda o`suvchi bo`lsin. nuqta X ning ichki nuqtasi , ya`ni nuqtaning biror ( - ; + ) atrofii X ga tegishli bo`lsin. f(x) funksiya o`suvchi bo`lgani uchun barcha x larda f(x) f( ) ya`ni funksiya yuqoridan chegaralangan. Shuning uchun u chekli f( ­- 0) f( ) limitga ega. Xuddi shu kabi chekli f( +0) limit mavjud bo`lib, f( -0) f( ) bo`ladi.
Agar f( -0)=f( )=f( +0) bo`lsa, funksiya nuqtada uzluksiz bo`ladi. Aks holda f( -0)< f( +0) bo`lib, funksiyaning birinchi tur uzilish nuqtasi bo`ladi.
Monoton kamayuvchi funksiya uchun ham shu kabi isbotlanadi.
Teorema. Agar f(x) funksiya X oraliqda monoton bo`lib, uning qiymatlari biror Y oraliqdan iborat bo`lsa, u holda funksiya X oraliqda uzluksiz bo`ladi.
Isbot. f(x) funksiya X oraliqda o`suvchi bo`lsin. Faraz qilaylik funksiya biror X nuqtada uzilishga ega bo`lsin. U holda yuqoridagi teoremaga binoan f( -0) +0) bo`lib, (f( -0),f( +0)) {f( )} to`plamdagi sonlarning hech biri funksiyaning qiymati bo`lmaydi, ya`ni funksiya qiymatlari Y oraliqdan iborat bo`lmaydi. Teorema isbotlandi.


Teorema. (Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasi)Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo`lib, f(a)=A, f(b)=B va A<B bo`lsa, u holda A<C<B ni qanoatlantiruvchi har qanday C son uchun shunday c (a;b) son topilib, f(c)=C bo`ladi.
Isbot. Yordamchi (x)=f(x)-C funksiyani olamiz. (x) Bolsano-Koshining birinchi teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Haqiqatan, 1) (x) funksiya [a;b] da uzluksiz, chunki f(x) funksiya [a;b] da uzluksizdir.
2) (a)=f(a)-C<0, (b)=f(b)-C>0.
Shuning uchun (a;b) da shunday c nuqta topiladiki, (c)=0, yoki f(c)-C=0, ya`ni f(c)=C bo`ladi.
Demak, [a;b] da uzluksiz bo`lgan funksiya o`zining ikki qiymati orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi.
Natija. Agar f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, uning qiymatlari biror Y oraliqni tutash to`ldiradi.
Teorema. (Veyershtrassning birinchi teoremasi).
Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, funksiya shu segmentda chegaralangan bo`ladi.
Isbot. Teoremani teskaridan faraz qilish orqali isbotlaymiz. Faraz qilaylik f(x) funksiya yuqoridan chegaralanmagan bo`lsin. U holda ixtiyoriy n son uchun f(x_n)>n ni qanoatlantiradigan x_n [a;b] nuqta topiladi. Bolsano-Veyershtrass teoremasiga binoan (x_n) ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi ( ) qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin. = [a;b] deylik. Funksiya uzluksiz bo`lganligi uchun f(x ) f( ) bo`ladi. Ikkinchi tomondan f( )>n_k dan f( ) kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi.
Eslatma: Teoremadagi har bir shart muhim bo`lib, ularning birortasi bajarilmasa teoremaning xulosasi ham o`rinli bo`lmasligi mumkin.
Misol. y=tgx funksiya (- ) da uzluksiz, lekin chegaralanmagan.
Misol. f(x)= funksiya [0;1] da aniqlangan, lekin chegaralanmagan.