Monoton funksiyalar uzluksizligi. Reja

Teorema. (Veyershtrassning ikkinchi teoremasi).
Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, funksiya shu segmentda o`zining aniq quyi va aniq yuqori chegaralariga yerishadi.
Isbot. Teoremaning xulosasini quyidagicha aytish mumkin, ya`ni [a;b] segmentda shunday x<sub>1</sub> va x<sub>2</sub> nuqtalar topiladiki, f(x<sub>1</sub>)= {f(x)}, f(x<sub>2</sub>)= {f(x)} bo`ladi (ya`ni f(x<sub>1</sub>) - f(x) funksiyaning [a;b] segmentdagi eng katta qiymati, f(x<sub>2</sub>) esa eng kichik qiymati).
f(x) funksiya [a;b] da uzluksiz bo`lgani uchun Veyershtrassning birinchi teoremasiga binoan f(x) [a;b] da chegaralangan, demak aniq yuqori va aniq quyi chegaralarga ega:
{f(x)}=M , {f(x)}=m deylik.
Endi [a;b] da biror x₁ nuqtasi uchun f(x₁)=M bo`lishini ko`rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya`ni barcha x [a;b] larda f(x)<M bo`lsin.
funksiyani tuzib olaylik. (x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz, Veyershtrassning birinchi teoremasiga binoan u quyidan chegaralangan bo`ladi, ya`ni shunday >0 son topilib, (x)  bo`ladi. Bundan f(x)< M- bo`lib, M- f(x) funksiyaning yuqori chegarasi ekanligi kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi.
Eslatma. Teoremadagi har bir shart muxim bo`lib, ularning birortasi bajarilmasa uning xulosasi ham o`rinli bo`lmasligi mumkin.
Misol. f(x)=x-[x] funksiya ixtiyoriy b 1 uchun [a;b] segmentda qiymatlar to`plami E(f)=[0;1) bo`lib, [a;b] da o`zinig yuqori chegarasiga erishmaydi.