Monoton funksiyalar uzluksizligi. Reja



Download 170,5 Kb.
bet1/2
Sana07.07.2022
Hajmi170,5 Kb.
#753518
  1   2
Bog'liq
Monoton funksiyalar uzluksizligi. Reja


Monoton funksiyalar uzluksizligi.
Reja:

  1. Monoton funksiyalarning uzluksizligi va uzilish nuqtasi.

  2. Uzluksiz funksiyaning nolga aylanishi haqidagi teorema.

  3. Uzluksiz funksiyaning oraliq qiymatlari haqidagi teorema

  4. Teskari funksiyaning mavjudligi va uzliksizligi.

  5. Tekis uzluksiz funksiya. Kantor teoremasi.



Monoton funksiyalarning uzluksizligi va uzilish nuqtasi.
Teorema. Agar f(x) funksiya X oraliqda (qat`iy) monoton funksiya bo`lsa, u shu oraliqning istalgan nuqtasida uzluksiz bo`ladi yoki faqat birinchi tur uzilishga (sakrashga) ega bo`ladi.
Isbot. f(x) funksiya X oraliqda o`suvchi bo`lsin. nuqta X ning ichki nuqtasi , ya`ni nuqtaning biror ( - ; + ) atrofii X ga tegishli bo`lsin. f(x) funksiya o`suvchi bo`lgani uchun barcha x larda f(x) f( ) ya`ni funksiya yuqoridan chegaralangan. Shuning uchun u chekli f( ­- 0) f( ) limitga ega. Xuddi shu kabi chekli f( +0) limit mavjud bo`lib, f( -0) f( ) bo`ladi.
Agar f( -0)=f( )=f( +0) bo`lsa, funksiya nuqtada uzluksiz bo`ladi. Aks holda f( -0)< f( +0) bo`lib, funksiyaning birinchi tur uzilish nuqtasi bo`ladi.
Monoton kamayuvchi funksiya uchun ham shu kabi isbotlanadi.
Teorema. Agar f(x) funksiya X oraliqda monoton bo`lib, uning qiymatlari biror Y oraliqdan iborat bo`lsa, u holda funksiya X oraliqda uzluksiz bo`ladi.
Isbot. f(x) funksiya X oraliqda o`suvchi bo`lsin. Faraz qilaylik funksiya biror X nuqtada uzilishga ega bo`lsin. U holda yuqoridagi teoremaga binoan f( -0) +0) bo`lib, (f( -0),f( +0)) {f( )} to`plamdagi sonlarning hech biri funksiyaning qiymati bo`lmaydi, ya`ni funksiya qiymatlari Y oraliqdan iborat bo`lmaydi. Teorema isbotlandi.


Teorema. (Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasi)Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo`lib, f(a)=A, f(b)=B va A<B bo`lsa, u holda A<C<B ni qanoatlantiruvchi har qanday C son uchun shunday c (a;b) son topilib, f(c)=C bo`ladi.
Isbot. Yordamchi (x)=f(x)-C funksiyani olamiz. (x) Bolsano-Koshining birinchi teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Haqiqatan, 1) (x) funksiya [a;b] da uzluksiz, chunki f(x) funksiya [a;b] da uzluksizdir.
2) (a)=f(a)-C<0, (b)=f(b)-C>0.
Shuning uchun (a;b) da shunday c nuqta topiladiki, (c)=0, yoki f(c)-C=0, ya`ni f(c)=C bo`ladi.
Demak, [a;b] da uzluksiz bo`lgan funksiya o`zining ikki qiymati orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi.
Natija. Agar f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, uning qiymatlari biror Y oraliqni tutash to`ldiradi.
Teorema. (Veyershtrassning birinchi teoremasi).
Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, funksiya shu segmentda chegaralangan bo`ladi.
Isbot. Teoremani teskaridan faraz qilish orqali isbotlaymiz. Faraz qilaylik f(x) funksiya yuqoridan chegaralanmagan bo`lsin. U holda ixtiyoriy n son uchun f(xn)>n ni qanoatlantiradigan xn [a;b] nuqta topiladi. Bolsano-Veyershtrass teoremasiga binoan (xn) ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi ( ) qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin. = [a;b] deylik. Funksiya uzluksiz bo`lganligi uchun f(x ) f( ) bo`ladi. Ikkinchi tomondan f( )>nk dan f( ) kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi.
Eslatma: Teoremadagi har bir shart muhim bo`lib, ularning birortasi bajarilmasa teoremaning xulosasi ham o`rinli bo`lmasligi mumkin.
Misol. y=tgx funksiya (- ) da uzluksiz, lekin chegaralanmagan.
Misol. f(x)= funksiya [0;1] da aniqlangan, lekin chegaralanmagan.

Download 170,5 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish