Model va modellashtirish ta’rifi. Model va modellashtirishning rivojlanishi

e₃, e_k ob'ektni kuzatilmaydigan kirish kanallari; y_1t y₂, y₃, y_m ob'ektni kuzatiladigan chiqish (output) kanallari tasvirlangan.

10. Kuzatilmaydigan faktor esa tasodifiy halaqit sifatida qurilib, operator F ni aniqlashga halaqit beradi. Umuman olganda, identifikatsiya qilinayotgan ob'ekt ko‘p qutbli ko‘rinishda tasvirlanib (ifodalanib), ba'zi bir kirish kanallari kuzatilmaydi.

Har qanday murakkab hisoblanuvchi funksiya ba'zi algoritmni belgilaydi. Shunday qilib hisoblangan funksiyalar - algoritmni rasmiylashtirishning yana bir usullaridan biridir.

Ular rasman matematik ob'ektlar hisoblanadi, bu ular xususiyatlarini isbotlash imkonini beradi.

Ko‘rinib turibdiki, funksiya tushunchasi algoritm tushunchasidan kengroq. Ushbu tushunchalar orasidagi eng muhim farq biz uchun shundaki, algoritm ba'zi hisoblash jarayonlarini aniqlaydi. Funksiya tushunchasi hyech qanday jarayonni aniqlamaydi va ko‘zda tutmaydi.

Funksiya xuddi “qora quti” shaklida bo‘lib, unga kirishda argumentlar chiqishda esa natijalar olinadi. Bunday natija qanday erishilgani haqida hech narsa deyilmaydi. Algoritm tushunchasi esa aksincha, avvalam bor natija jarayon jamlanmasi hisob - kitobi orqali olinadi.

Algoritm argumentlar hisob - kitobi natijasiga qarab aniqlanadi.

11. Kompyuterda masalani yechish bosqichlari quyidagilar:

1. 
   Masalani qo‘yish va uning matematik modelini ishlab chiqish. Ushbu bosqichda boshlang‘ich ma'lumotlar tarkibi aniqlanadi. Masalani qo‘yish odatda yechiladigan masalaning asosiy xususiyatlarini og‘zaki tavsiflash bilan tugallanadi va so‘ngra, maslaning matematik modeli yoziladi.
   
2. 
   Yechish usulini tanlash. Masala matematik ifodalanib bo‘lgandan so‘ng uni yechish usuli tanlanadi. Bunda izlanayotgan natijalarning boshlang‘ich ma'lumotlarga bog‘liqligi aniqlanadi. Hozirga zamon hisoblash matematikasi fan va texnikaga oid turli masalalarni yechish uchun ko‘plab sonli usullarga ega.
   
3. 
   Masalani yechish algoritmini ishlab chiqish. Bu bosqichda kompyuterda masalani yechish uchun bajariladigan amallar (buyruqlar) ketma-ketligi tavsiflanadi. Biz buni algoritmlash deb ataymiz.
   
4. 
   Dasturlash. Bunda algoritm biror algoritmik tilga ko‘chiriladi.
   
5. 
   Dasturni kiritish va xatolarini tuzatish.
   
6. 
   Masalani bevosita kompyuterda yechish va natijalarni tahlil qilish.
   

Bunda dasturda kerakli boshlang‘ich qiymatlar berilib, kompyuterda natijalar olinadi va tahlil qilinadi. Bu bosqichda agar kerak bo‘lsa, algoritm va dastur modernizatsiya qilinishi ham mumkin. Yangi olingan ma'lumotlar asosida kerakli xulosalar ishlab chiqiladi. Bu ma'lumotlar qo‘yilgan masalani turlicha tahlil qilishga, murakkab jarayonlarni tushunishga, olamshumul yangiliklarning ochilishiga, yangi nazariyalarning, texnika mo‘jizalarining yaratilishiga xizmat qiladi. Umuman olganda “Model-algoritm-programma” uchligi matematik modellashtirishning intelektual mag‘zini tashkil etadi. Bunday uchliksiz kompyuterda murakkab masalalarni yechishda muvaffaqiyatga erishib bo‘lmaydi.

12. Algoritm - bu qo’yilgan masalaning yechimiga olib keladigan, ma’lum qoidaga binoan bajariladigan amallarning chekli ketma-ketligidir. Boshqacha qilib aytganda, algoritm boshlang‘ich ma’lumotlardan natijagacha olib keluvchi jarayonning aniq yozilishidir.

Har qanday algoritm ma’lum ko’rsatmalarga binoan bajariladi va bu ko’rsatmalarga buyruq deyiladi.

Algoritm quyidagi xossalarda ega: aniqlik, tushunarlilik, ommaviylik, natijaviylik va diskretlik.

Aniqlik va tushunarlilik - deganda algoritmda ijrochiga berilayotgan ko’rsatmalar aniq mazmunda bo’lishi tushuniladi. Chunki ko’rsatmalardagi noaniqliklar mo’ljallangan maqsadga erishishga olib kelmaydi. Ijrochiga tavsiya etiladigan ko’rsatmalar tushunarli mazmunda bo’lishi shart, aks holda ijrochi uni bajara olmaydi.

Ommaviylik - deganda har bir algoritm mazmuniga ko’ra bir turdagi masalalarning barchasi uchun ham o’rinli bo’lishi, ya’ni umumiy bo’lishi tushuniladi.

Natijaviylik - deganda algoritmda chekli qadamlardan so’ng albatta natija bo’lishi tushuniladi.

Diskretlik - deganda algoritmlarni chekli qadamlardan tashkil qilib bo’laklash imkoniyati tushuniladi.

Algoritmning uchta turi mavjud: chiziqli, tarmoqlanuvchi va takrorlanuvchi (siklik).

Chiziqli algoritmlar - hech qanday shartsiz faqat ketma-ket bajariladigan jarayonlardir.

Tarmoqlanuvchi algoritmlar - ma’lum shartlarga muvofiq bajariladigan jarayonlardir.

Takrorlanuvchi (siklik) algoritmlar - biror-bir shart tekshirilishi yoki biron parametrning har xil qiymatlari asosida chekli ravishda takrorlanish yuz beradigan jarayonlardir.

13. Ob'ektni matematik modellashtirish har xil tenglama, tengsizlik yoki ularning sistemalarini yechishga keltiriladi. Ularni yechish usullarini umuman olganda uch turga ajratish mumkin: analitik, sonli va sonli-analitik usullar.

Analitik usul - masala yechimini aniq matematik formulalar bilan (analitik ko‘rinishda) ifodalashdir. Bu usul aniq usul hisoblanib, unda masala yechimi berilgan boshlang‘ich qiymatlarni o‘z ichiga olgan matematik formulalar ko‘rinishida ifodalanadi. Odatda analitik usuldan oddiy matematik model bilan ifodalanadigan masalalarni yechishda foydalaniladi. Chunki murakkab masalalarning yechimini har doim ham aniq formula ko‘rinishida ifodalash imkoni bo‘lavermaydi. Analitik usulga misol sifatida chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Kramer qoidasi, Gauss yoki teskari matritsa kabi yechish usullarini keltirish mumkin.

14 Matematik modeldagi tenglamalarni hamma vaqt ham aniq usullar bilan yechib bo‘lmaydi. Faqat ayrim xususiy hollardagina buning imkoniyati mavjud. Lekin olingan yechim ko‘pincha juda murakkab ko‘rinishda bo‘ladi, ular orasida topilgan ko‘rsatkichlarining son qiymatlarini EHMda hisoblash o‘z navbatida oson masala emas. Bunday hollarda masala taqribiy usullar yordamida yechiladi. Tabiiyki, bunda aniq yechim emas, balki taqribiy yechim hosil qilinadi.

Taqribiy usullarning asosini sonli usullar tashkil qiladi. Sonli usullarning aniqliligini ma'lum darajada oshirish mumkin, lekin, bu usulning ishlashiga ketadigan vaqt miqdorini keskin ko‘paytirib yuborishi mumkin. Sonli usul aniqligini o‘ta oshirish hamma vaqt ham natijalarning aniqligini oshiravirmaydi. Shuning uchun sonli usullarning aniqligini matematik modelga kiruvchi parametrlar aniqligidan bir-ikki tartib yuqoriroq olish bilan cheklanish mumkin.

15. Sonli usul - taqribiy yechish usuli hisoblanib, bu usulga ko‘ra matematik modelda berilgan formulalar, taqribiy ravishda o‘ziga yaqin (ekvivalent) hamda sodda ko‘rinishga ega bo‘lgan formulalar bilan almashtiriladi. Masalan funksiya hosilasi, chekli ayirmaga; funksiyaning aniq integrali esa chekli yig‘indiga almashtiriladi. Sodda ko‘rinishga keltirilgan model EHM yordamida yechiladi va masala yechimi grafik yoki sonlar jadvali ko‘rinishida ifodalanadi. Sonli usullarga misol sifatida transendent tenglamalarni oralig‘ini teng ikkiga bo‘lish, urinmalar, vatarlar yoki differensial tenglamalarni Eyler, Runge-Kutta, chekli ayirmalar yordamida yechish usullarini keltirish mumkin.

Sonli usullardan biri iteratsiya usulidir. Taqribiy yechish usuli iteratsiya usuli deyiladi, agar noma'lum ustida cheksiz takrorlanuvchi amallar bajarilib, har bir amallardan keyin noma'lum qiymati aniqlashtirilsa, shu bilan birga keyingi amallarni bajarishda noma'lumning oldingi aniqlashtirilgan qiymatidan foydalanilsa.

Sonli-analitik usul - bu yuqorida aytilgan ikki usulning kombinatsiyasidan tashkil topgan usuldir. Bu usulda masala yechimi asosan xosmas integral, cheksiz qator, maxsus funksiyalar yoki ularning kombinatsiyalari ko‘rinishida ifodalanadi. Bu usulda qaralayotgan masala yechimi analitik ko‘rinishda yozib qo‘yiladi, lekin sonli natijalar olinayotganda ba'zi bir taqribiy hisoblashlar amalga oshiriladi. Sonli- analitik usullarga misol tariqasida Bubnov-Galyorkin yoki Fure usullarini keltirishimiz mumkin.

Sonli usullarga qo‘yiladigan talablar. Matematik modeldagi tenglamalarni har xil sonli usullar bilan yechish mumkin. Lekin hamma usullar ham kerakli aniqlikdagi yechimni beravermaydi. Ayniqsa masala hozirgi zamon EHMlarida yechilganda hisoblash algoritmi turli, o‘ziga xos shartlarni bajarishi kerak. Sonli usullarga qo‘yiladigan talablar ikki guruhga bo‘linadi. Birinchi guruhga sonli usullar qo‘llanishi natijasida hosil qilingan diskret (uzuq-uzuq) masalaning matematik modeldagi dastlabki masalaga mos kelish shartlari kiradi.

Sonli usullarning yaqinlashishi, diskret masalalarda saqlanish qonunlarining bajarilishi, turg‘unlik, aniqlilik kabi talablar birinchi guruhga kiradi. Shulardan ayrimlarini qarab o‘tamiz.

Matematik modeldagi parametlarning dastlabki qiymatlaridagi xatolikni bartaraf etish mumkin bo‘lmagan xatolik ekanligini inobatga olgan holda, bu xatolikni masala yechimiga ko‘rsatadigan ta'sir darajasini bilish katta ahamiyatga ega. Sonli usullarning bunday sezuvchanligini (ta'sirchanligini) turg‘unlik degan tushuncha yordamida tekshirish mumkin.