Model va matematik modellashtirish

2 Matematik modellarning asosiy tiplari.

Matematik modellarni bir necha sinfiy belgilar bo‘yicha tiplarga ajratish mumkin. Masalan, ob’ektning aks ettirilayotgan xossalari tavsifiga qarab, modellar funksional va strukturaviy modellar kabi farqlanadi.

Funksional modellarda jarayon yoki ob’ektni tavsiflaydigan barcha kattaliklar miqdoriy bo‘lib, ulardan ba’zilari erkin o‘zgaruvchilar, boshqalari esa shu o‘zgaruvchilarning funksiyalari sifatida qaraladi.
Bunday modellar algebraik, integral, differensial, ayirmali va boshqa tenglamalar orqali ifodalanadi.
Strukturaviy model esa o‘zaro bog‘langan alohida qismlardan iborat bo‘lgan murakkab ob’ekt strukturasini tavsiflaydi. Odatda, qismlar orasidagi bog‘lanishlarni miqdoriy jihatdan o‘lchab bo‘lmaydi. Bunday modellarni qurishda tarmoqli modellashtirish muhim o‘rin tutadi va ular matematikaning graflar nazariyasi asosida o‘rganiladi.
Masalaning matematik qo‘yilishida foydalaniladigan miqdorlarning deterministik(aniq qiymatli) yoki stoxastik(tasodifiy) xususiyatli bo‘lishiga qarab, modellarni mos ravishda, deterministik modellar va ehtimoliy – statistik modellar deb ataydilar. Ehtimoliy-statistik modellar ommaviy xizmat ko‘rsatish tizimlarida, ishonchlilik nazariyasida, noaniqlik vaziyatlarida qaror qabul qilish masalalari bilan bog‘liq o‘yinlar nazariyasida keng qo‘llaniladi.
Masalaning qo‘yilishidagi maqsadga ko‘ra matematik modellarni
deskriptiv modellar va optimallash modellari sifatida farqlash mumkin.
Deskriptiv modellar, odatda, tizimning mexanik yoki fizik holatini tavsiflaydi va ko‘pincha differensial, differensial-ayirmali, integral tenglamalar hamda bunday tenglamalar uchun chegaraviy masalalar yordamida beriladi. Ushbu modellarning qo‘llanishidagi asosiy maqsad: boshlang‘ich holatni va chegaraviy holat haqidagi axborotni bilgan holda tizimning vaqt va fazodagi holati o‘zgarishini oldindan bashorat qilishdan iborat. SHuning uchun bunday modellarni bashorat modellari deb ham ataydilar.
Ko‘pgina hollarda matematik modellashtirishda o‘rganilayotgan jarayonning kechishida muhim hisoblangan boshqaruv elementlarini ham hisobga olish kerak bo‘ladi. Bunday hollarda modelning muhim elementi sifatida jarayonga ta’sir ko‘rsatuvchi kirish parametrlari – boshqaruv

o‘zgaruvchilari
u  (u₁,u₂,...,u_m )
tanlanadi va ularning joyiz qiymatlari

to‘plami U aniqlanadi. Qo‘yilgan masalaga bog‘liq holda tizimdagi

barcha
x(u)  (x₁(u), x₂ (u),..., x_n (u))
chiqish parametrlarini shu tizimni optimal

boshqarish maqsadini ifodalovchi qandaydir
F(x(u))  W (u)
maqsad

funksiyasiga birlashtirish lozim bo‘ladi. Bunda boshqaruv

o‘zgaruvchilarining joyiz
u U
qiymatlarini tanlash evaziga W(u) maqsad

funksiyasining eng katta qiymati(maksimumi) yoki eng kichik qiymati

(minimumi)ni topish masalasi qo‘yilishi mumkin:
W (u)  max(min),
u U .

Bunday matematik modellarga optimallash modellari deyiladi.
Optimallash modellariga xos muhim belgi ularda optimallik mezoni, ya’ni

berilgan cheklashlarda maksimumi yoki minimumi izlanuvchi maqsad funksiyasining mavjudligidir. Optimallashtirish modellaridagi asosiy maqsad – ob’ektga (jarayonga) ko‘rsatiladigan optimal boshqaruv ta’siri qanday bo‘lishini aniqlashdan iborat. Optimallash modellari zamonaviy matematikaning ekstremal masalalar nazariyasi asosini tashkil etadi.
Optimallashtirish modellari iqtisodiyotdagi jarayonlarni tadqiq etishda ko‘p uchraydi. Iqtisodiyotdagi optimal (eng maqbul, qulay) qaror qabul qilish masalalari bilan bog‘liq tarzda vujudga keluvchi jarayonlar(operatsiyalar) tadqiqi modellari matematik modellarning katta va muhim sinfini tashkil etadi. Bunday modellar iqtisodiyotdagi tashkiliy-boshqaruv va rejalashtirish masalalarini hal etishda samarali qo‘llaniladi. Iqtisodiyotdagi matematik modellarni o‘rganish va ular uchun maxsus matematik usullarning ishlab chiqilishi natijasida XX asrda matematik dasturlash, operatsiyalar(jarayonlar) tadqiqoti, qaror qabul qilish nazariyasi, o‘yinlar nazariyasi kabi matematikaning zamonaviy yo‘nalishlari paydo bo‘ldi va ular samarali tadbiqlari tufayli yanada rivojlanmoqda.
Dinamik tizimlarning optimal boshqaruvi modellari – texnika, loyihalash va iqtisodiyotdagi amaliy boshqaruvda juda keng tadbiqlar sohasiga ega optimallash modellarining muhim sinfini tashkil etadi. Bunday modellarni qo‘llash L.S. Pontryaginning maksimum prinsipi va
R. Bellmanning dinamik dasturlash usuliga tayanadi.