Mm ivaat nosirov doc

13-маъруза. Мавзу: Бир ноъмалумли алгебраик ва транцендент тенгламалар, уларнинг илдизлари, такрибий ечиш боскичлари
Режа:

1. 
   Бир ноъмалумли алгебраик ва транцендент тенгламалар
   
2. 
   Тенгламалар илдизлари
   
3. 
   Тенгламаларни такрибий ечиш боскичлари
   

Адабиётлар: 8, 11,12, 13, 19, 22, 23,24, 29, 38, 40, 41
www.qmii.uz/e-lib

64
Таянч иборалар: Тенглама, тенгламанинг илдизлари, бир ноъмалумли тенгла-малар, алгебраик тенглама, транцендент тенглама, тенгламаларни такрибий ечиш боскичлари
1. Бир ноъмалумли алгебраик ва транцендент тенгламалар
1-таъриф. Чап томони n-даражали купхаддан иборат ушбу
а₀ хⁿ + a₁ x^n-1 + a₂ x^n-2 + + a_n-1 x + a_n = 0 ифода бир номаълумли алгеб-
раик тенглама дейилади.
Бунда a₀, a₁, a₂, , a_n-1, a_n сонлар алгебраик тенгламанинг коэффициентлари
дейилади, a₀=/=0.
1-мисол. 5x⁴ + 2x³ - 13x² + 5 = 0 ифода алгебраик тенгламадир, бу ерда
a₀=5, a₁=2, a₂=-13, a₃=0, a₄=5 - тенглама коэффициентлари, n=4.
2-таъриф. Таркибида трансцендент (курсатгичли, логарифмик, тригонометрик, тескари тригонометрик ва хоказо) функциялар мавжуд булган тенгламалар трансцендент тенгламалар дейилади.
2-мисол. 2,5x - соsx - 0,75=0, log₂x - x² + 6x - 5 = 0, 2^x+1 -x³ + 1 = 0,
tgx = x - p/4, arcsin(x-1) + 2x - 1 = 0 ифодалар трансцендент тенгламалар-дир.
Уларнинг таркибида мос равишда тригонометрик, логарифмик, курсаткич-ли, тригонометрик, тескари тригонометрик функциялар мавжуд. Агар алгебраик ёки трансцендент тенгламанинг чап томонини кискача f(x) ор-кали белгиласак, бу тенгламани умумий холда
f(x)=0 (1.1)
куринишда ёзиш мумкин.
2. Тенгламалар илдизлари
3-таъриф. f(x) = 0 тенгламанинг чап томонидаги f(x) функцияни нолга айлан-тирувчи x=x киймат бу тенгламанинг илдизи дейилади. 3-мисол. 3х⁴ + 4х³ - 12х² + 32=0 алгебраик тенглама берилган булсин. Бунда f(x)=3x⁴+4x³-12x²+32х х=-2 киймат берилган тенгламанинг илдизи була-ди, чунки f(-2)=3(-2)⁴+4(-2)³-12(-2)²+32=0. Бу ерда x=-2
4-мисол. х=1 киймат log₂x-x²+6x-5=0 трансцендент тенгламанинг илдизи була-ди, чунки f(1) = log₂1 - 1² + 6·1 - 5=0. Бу ерда x=1.
Агар (1.1) тенгламада f(х) функция иккита j(х) ва y(х) функциялар айир-масидан иборат булса, яъни f(x) = j(х) - y(х) булса, у холда (1.1) тенгламани j(х) - y(х) = 0 ёки
j(х) = y(х) (1.2) куринишда ёзиб олиш мумкин. x=x киймат (1.1) тенгламанинг илдизи булса, яъни f(x) = 0 тенглик бажарилса, j(х) ва y(х) функциялар учун
j(x) =y(x) (1.3)
тенглик бажарилади.
www.qmii.uz/e-lib
65
Хакикатдан хам, х=x кийматда f(x)=j(x)-y(x)=0 тенглик уринлидир. Бун-
дан (1.3) тенглик келиб чикади. Ва аксинча, агар х=x кийматда (1.3) тенглик
уринли булса, у холда х=x киймат (1.1) тенгламанинг илдизи булади. Хакикат-
дан, (1.3) тенгликдан куйидагилар келиб чикади: j(x)-y(x)=0,
[j(х)-y(х)]|_x=x=0, f(x)|_x=x=0 ёки f(x)=0.
Охирги тенглик 3-таърифга кура х=x киймат (1.1) тенгламанинг илдизи эканли-гини билдиради.
5-мисол. х³-9х²+3х+12=0 алгебраик тенгламани х³=9х²-3х-12 куринишда ёзиб олишмумкин, бунда j(х)=х³, y(х)=9х²- 3х -12.
6-мисол. log₂x-x²+5x-6=0 трансцендент тенгламани log₂x=x²-6x+5 куринишда ёзиш мумкин, бунда j(х)=log₂x, y(х)=x²-5x+6. 1-эслатма.
f(х) функция иккита j(х) ва y(х) функциялар айирмасидан иборат булмаган холда хам (1.1) тенгламани (1.2) куринишда ёзиб олиш мумкин. Бунинг учун (1.1) тенгламанинг иккала томонига хам керакли куринишдаги y(х) функцияни кушиб, j(х)=f(x)-y(х) белгилашни киритиш етарлидир.
3.Тенгламаларни такрибий ечиш боскичлари
Биздан
f(x)=0 (1.1) куринишдаги алгебраик ёки трансцендент тенгламани ечиш талаб этилсин. f (х) функция [a ; b] кесмада аникланган ва узлуксиз булсин. Берилган тенгламанинг хакикий илдизларини такрибий хисоблаш икки боскичда бажарилади.

1. 
   Хакикий илдизларни ажратиш;
   
2. 
   Ажратилган хакикий илдизларни берилган аникликда такрибий хисоб-лаш.
   

I-боскич вазифаси куйидагича тушунилади: [a;b] кесмада шундай оралик-ларни топиш керакки, уларнинг хар бирида (1.1) тенгламанинг факат битта ха-кикий илдизи жойлашган булсин. Бу вазифани бажаришда 1-ва 2-теоремалардан фойдаланамиз.
1-теорема. Агар узлуксиз f(х) функция [a;b] кесманинг чегара нукталарида турли ишорали кийматларни кабул килса, у холда ушбу кесма орасида f(х)=0 тенгламанинг акалли битта илдизи мавжуд булади.
Масалан, f(а)<0 ва f(b)>0 булсин. y=f (х) функциянинг графиги 1-расмда тасвирланган.
х аргументнинг кийматлари х=a дан x=b гача узгарганда y=f(х) функция-нинг кийматлари манфий f(а) кийматдан мусбат f(b) кийматгача узлуксиз узга-ради. Манфий кийматдан мусбат кийматга узлуксиз утиш жараёнида у=f (х) функция кайсидир х=x нуктада албатта ноль кийматни кабул килади, яъни f (x)=0 тенглик бажарилади. 3-таърифга кура, бундай х=x киймат (1.1) тенглама-нинг илдизи булади.
www.qmii.uz/e-lib
66
2-расмда тасвирланган холда f(а)>0 ва f(b)<0. x аргументнинг кийматлари х=а дан x=b гача узгарганда y=f(x) функция мусбат кийматлардан манфий кий-матларга узлуксиз утиш жараёнида х=x нуктада нолга айланади ва х=x киймат (1.1) тенгламанинг илдизи булади.


3- ва 4-расмларда (1.1) тенглама [a;b] кесмада битта эмас, бир нечта илдиз-ларга эга булган холлар тасвирланган.

1-расм
2-расм

*х









3- раем,
тентлама 3 та нлднзга эга
4-расм,
тенглама 5та нлднзга эга

Шуни таъкидлаш керакки, агар узлуксиз f(x) функция [a;b] кесманинг че-гара нукталарида бир хил ишорали кийматларни кабул килса, у холда ушбу кесмада (1.1) тенгламанинг илдизлари булиши хам мумкин, булмаслиги хам мумкин (5-8 расмларга каранг).
www.qmii.uz/e-lib

67

^{щ > о,}
Щ>0















й
* 5,

Илдиз мавжуд эмас.
Иккитах = ^х = ^₂ илдиз мавжуд.

У Жа)<0,
_ед<о

7-раем. Илдиз мавжуд эмас.
8* раем. Туртта илдиз мавжуд &, f₂, £з, W.

7-мисол. х³-9х²+31x+40=0 алгебраик тенглама берилган булсин. f(x)=х³-9х²+31x+40 функция кийматларини, масалан, [-4 ; 0] кесманинг чегара нукталарида хисоблайлик: f(-4)=-2,92 < 0, f(0)=40>0. f(-4) ва f(0) турли хил ишорали кийматлар булганлиги учун 1-теоремага кура бу тенглама тенглама [-4;0] кесмада акалли битта илдизга эга.
8-мисол. sin x-1=0 трансцендент тенглама берилган булсин. f(x)=sin x-1 функ­ция кийматларини [0; p/6] кесманинг чегара нукталарида хисоблайлик: f(0)=-1<0, f(p/6)=-1/2< 0. 1-теорема шарти бажарилмаяпти ва [0 ; p/6] кесмада бу тенгламанинг акалли битта илдизи бор деб булмайди.
Шундай килиб, 1-теореманинг шартлари бажарилганда акалли битта илдиз борлигига кафолат бериш мумкин. Агар узлуксиз f(x) функция [a; b] кесманинг чегара нукталари x=a ва x=b да бир хил ишорали кийматларни кабул килса, у
www.qmii.uz/e-lib

68
холда [a;b] кесмада (1.1) тенгламанинг илдизи булиши хам мумкин, булмаслиги хам мумкин.
Юкорида келтирилган 1-теорема (1.1) алгебраик еки трансцендент тенгла-ма кайси холда акалли битта илдизга эга булишини аниклаб берса, куйидаги 2-теорема кайси холда илдиз ягона булишини аниклаб беради.
2-теорема. Агар [a;b] кесмада узлуксиз f(х) функция бу кесманинг чегара нукталарида турли ишорали кийматларни кабул килиб, хосиласи кесма орасида ишорасини сакласа, у холда [a;b] кесмада (1.1) тенгламанинг ягона илдизи мавжуд булади.
Илдизларни график усулда ажратиш деганда функциянинг абсциссалар укини кесган жойини (нуктасини), оралигини аниклаш тушинилади. Транцен-дент тенгламаларни илдизини график усул билан ажратиш кулайрок усули бу (1.1) функцияни (1.2) куринишида ёзиб олиб, бу икки функцияларнинг график-лари алохида–алохида чизиб олинади. Уларнинг графиклари кесишган нукта-нинг абсциссаси берилган тенгламанинг илдизи булади.
Дифференциал хисобдан маълумки, агар y=f(x) функция [a;b] кесмада усувчи булса, у холда бу кесмада f '(х)>0 булади. Агар y=f(х) функция камаювчи булса, у холда f '(х)<0 булади.
Графиклари 1- ва 2- расмларда тасвирланган f(x) функциялар 2-теорема шартларини каноатлантиради (1-расмда f '(х)>0, 2-расмда f '(х)<0 ) ва тегишли (1.1) тенглама ягона илдизда эга булади. Бу тасдик тугрилиги расмлардаги гра-фиклардан хам куриниб турибди. 3- ва 4-расмларда f '(х) хосила [a;b] кесма оралигида ишорасини сакламайди ва тегишли (1.1) тенгламанинг илдизи ягона эмас.