Mirzo Ulug’bek nomidagi O’zbekiston Milliy Universiteti Jizzax filiali “Amaliy matematika” fakulteti

Sanoqli baza. Ma’lum bir muammolarni yechishda topologik fazo bazasi va topologik fazo ayrim to‘plamostilariga turli shartlar qo‘yiladi. Buning natijasida topologik fazolar sinfi kichrayib, torayib boradi. Ba’zi matematik masalalarda separabel fazo, sanoqli bazaga ega bo‘lgan fazolar uchraydi. Shu sababli bu fazolar va ularning T₀; T₁; T₂; T₃; ; T₄ fazolari orasidagi bog‘liqliklarni ko‘rib chiqamiz. 1-ta’rif. Agar = X bo‘lsa, X topologik fazoning A⸦ X to‘plamostisi X fazoda mutloq zich deyiladi, ya’ni A to‘plamning tegish nuqtalari butun X fazodan iborat. Agar A to‘plam uchun int =θ tenglik o‘rinli bo‘lsa, A to‘plam hech qayerda zich (albatta, X ning) bo’lolmaydi. Boshqacha aytganda, hech qayerda zich bo‘lmagan to‘plamlar hech qanday ochiq to‘plamda zich emasdir. Hech qayerda zich bo‘lmagan to’plamlarga tekislikdagi ixtiyoriy to‘g‘ri chiziq, ixtiyoriy ikkinchi tartibli chiziqlar va ixtiyoriy algebraik chiziqlar kiradi. Mutloq zich to‘plamlarga sonlar to‘g‘ri chizig'ida ratsional, irratsional sonlar to‘plami kiradi. Rⁿ fazoda esa mutloq zich to‘plamga hamma koordinatalari ratsional sondan iborat bo‘lgan to‘plam kiradi. Shuni ta’kidlash kerakki, agar A to'plam X da mutloq zich bo‘lsa, u holda A to‘plam albatta X ning barcha yakkalangan nuqtalarini o'zida saqlaydi. Agar X topologik fazo diskret fazo bo'lsa, uning yagona mutloq zich to‘plami fazoning o‘zidan iborat bo‘ladi. 2-ta’rif. Agar fazoda sanoqli va mutloq zich to'plam mavjud bo‘lsa, u separabel fazo deyiladi. Separabel fazolarga muhim misol sifatida Rⁿ va C[a,b] fazolarni keltirish mumkin. Rⁿ fazoda barcha ratsional koordinatalarga ega bo‘lgan nuqtalar to‘plami, C[a,b] fazoda esa, ratsional koeffitsiyentli ko‘phadlar sanoqli va mutloq zich to'plamlardir. Separabel bo‘lmagan fazoga ixtiyoriy sanoqli bo'lmagan to‘plamdagi diskret fazo misol bo‘ladi. 3-misol. Ber fazosi. Natural sonlardan tashkil topgan ξ = { n₁,n₂,...,n_m...}, n_i N ketma-ketliklar to‘plamini M bilan belgilaymiz, ya’ni M ={ξ =(n₁,n₂,...,n_k,...): n_i N} M to‘plamda ρ metrikani quyidagicha aniqlaymiz. Har bir ξ M uchun ρ(ξ,η)= 0 deymiz. Ixtiyoriy har xil elementlar uchun ρ(ξ,η)= , bu yerda ξ=(n₁,n₂,...,n_k,...) M, η = (m₁,m₂,...,m_k,...) M , λ - koordinatalar teng bo’lmaydigan m_λ n_λ eng kichik indeksdir. Tekshirib ko‘rish mumkinki, (M ,ρ ) metrik fazodir. Bu metrik fazo Ber fazosi deyiladi. Xususiy holda bu fazo separabel fazoga trivial bo‘lmagan misoldir. Endi bu M to‘plamda sanoqli va mutloq zich to‘plamostini quyidagicha tuzamiz. Ixtiyoriy K N son uchun B_k= {(n₁ ,n₂,...,1,1,...) : n_i N, {n₁,n₂,...,n_k,l,l,...) M , n_i -ixtiyoriy natural son} ni olaylik. Ma’lumki, B_k to‘plam ixtiyoriy k uchun sanoqli to‘plam bo‘ladi. Endi В to‘plam sifatida B_k larning birlashmasini olamiz. B= . B to’plam sanoqli sondagi sanoqli to’plamlarning birlashmasi bo‘lganligi sababli sanoqli to‘plamdir. В to'plam (M,ρ ) Ber fazosida mutloq zich to‘plamdir. Haqiqatan ham, agar ξ = (m₁,m₂,...,m_k,...) M ixtiyoriy nuqta bo‘lsa, ξ^k = (m₁,m₂,...,m_k,1,1,...) qatorlar ketmaketligi ξ nuqtaga (M,ρ ) fazoda yaqinlashadi. Bu yerda ξ^k B_k . Ma’lumki, ρ(ξ,ξ^k) o’rinlidir. Bundan ko’rinadiki, M to‘plamning ixtiyoriy nuqtasi В to‘plam uchun teginish nuqtasi ekan. Demak, = M . Biz topologiya bazasi tushunchasi bilan oldinroq tanishgan edik. Bundan tashqari, yana bir muhim tushuncha - nuqtaning atroflari sistemasining bazasi tushunchasi ham mavjud. 4-ta’rif. X topologik fazodagi x nuqtaning atroflari oilasi B(x ) = { V (x)} bo‘lib, agar x nuqtaning ixtiyoriy atrofida bu oilaning birorta elementi yotsa, u holda bu oila x nuqtaning atroflari sistemasining bazasi deyiladi. Ma’lumki, nuqtaning barcha ochiq atroflari oilasi shu nuqtaning atroflari sistemasining bazasi bo‘ladi. 5-misol. Ixtiyoriy (X,ρ) metrik fazo berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy x nuqta uchun B(x)= to‘plamlar oilasini olaylik, bu yerda = x nuqtaning sharsimon(doirasimon) atrofi deyiladi. B(X) sistema x nuqtaning atroflari sistemasining bazasi bo‘ladi. Haqiqatan ham, x ning ixtiyoriy atrofiga shu nuqtaning sharsimon atrofini joylash yoki ichiga chizish mumkin, x nuqtaning ixtiyoriy sharsimon atrofi D_ε (x) uchun esa, shunday ε > , k sonni topish mumkinki, u son uchun V_k (x) ⸦ D_η (x) o‘rinli bo’ladi. Demak, B(X) oila x nuqtaning atroflari sistemasining bazasi ekan. 6-misol. Agar X topologik fazoning ixtiyoriy nuqtasining atroflar sistemasi sanoqli bazaga ega bo’lsa, ya’ni sanoqlidan katta bo‘lmagan atroflar bazasiga ega bo‘lsa, birinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantiradi, deb hisoblanadi. Yuqorida keltirilgan misoldan va ta’rifdan ko‘rinadiki, ixtiyoriy metrik fazo birinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantirar ekan. 7-misol. Ixtiyoriy sanoqsiz X to‘plamdagi diskret topologiyani olaylik. Haqiqatan ham, ixtiyoriy x X ni olsak, uning atroflari sistemasining bazasi sifatida biror ={x} atrofni olsa bo‘ladi. Demak, ixtiyoriy diskret topologiyali sanoqsiz fazo birinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantiradi. Bundan shunday xulosaga kelishimiz mumkinki, har bir diskret va antidiskret fazolar birinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantiradi. 8-ta’rif. Agar τ (X ,τ) topologiyasi sanoqli bazaga ega bo‘lsa, u holda u topologik fazoning ikkinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantiradi, deyiladi. Ta’rifdan ko‘rinadiki, Rⁿ fazo ikkinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantiradi. 9-teorema. Ikkinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantiruvchi fazo separabel fazodir. Isbot. X topologik fazo va B = {V_k :k N} uning sanoqli bazasi (τ topologiyaning) bo‘lsin. Har bir V_n В to‘plamdan bittadan a_n V_n element tanlab olamiz va ulardan A = {a₁;a₂,...... } to‘plamni tuzamiz. =X , ya’ni A to‘plam X da mutloq zich. Ma’lumki, = A₁ A tenglik o‘rinli. Shu sababli X \ A ning ixtiyoriy nuqtasi A to‘plam uchun limit nuqta ekanligi yetarlidir. Ixtiyoriy x X \A nuqtani olaylik va U(x) uning birorta atrofi bo‘lsin. V sistemaning baza ekanligidan shunday V_k В to‘plam topiladiki, uning uchun x V_k va V_k⸦ U {x). Shu sababli a_k U (x ) va a_k x , binobarin, x A¹. Yuqorida keltirilgan 7-misoldan ko‘rinadiki, buning aksi o'rinli emas. Ya’ni separabel fazolar ikkinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantirmaydi. Lekin metrik fazolar uchun teskari jumla ham o'rinlidir. 10-teorema. Ixtiyoriy separabel metrik fazolar ikkinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantiradi. Isbot. Faraz qilaylik, A = {a₁,a₂,...,a_n...} sanoqli to‘plam X fazoda mutloq zich to‘plam bo'lsin. X fazo bazasi sifatida quyidagi ochiq to‘plamlar jamlanmasini olamiz: B ={V_n,k= :n N, k N }. Bu jamlanma X fazo bazasini tashkil etadi. Haqiqatan ham, X ning separabel ekanligidan ixtiyoriy x X nuqta va yetarlicha kichik ε >0 son uchun shunday a_n A topiladiki, u uchun а_n o‘rinli. Bundan tashqari, shunday k nomer topiladiki, x V_n,k ⸦ D_ε (x) ( k ni shartni qanoatlantiradigan qilib olish yetarli). X fazodagi ixtiyoriy ochiq to‘plam ochiq sharlar birlashmasidan iboratdir. Har bir ochiq shar esa, V ning V_n,k to‘plamlari birlashmasidir. Demak, V jamlanma sanoqli baza ekan. Quyidagi ikki teoremani isbotsiz keltiramiz. 11-teorema. (Tixonov) Ixtiyoriy sanoqli bazaga ega bo'lgan regulyar fazo normaldir. 12-teorema. Ixtiyoriy metrik fazo normaldir. Topologik fazoda birinchi va ikkinchi sanoqlilik aksiomalari kiritilgandan keyin bu tushunchalar bilan bevosita bog'liq fazoning salmog‘i va fazoning zichligi tushunchalari ham ko‘p foydalaniladi. 13-ta’rif. X topologik fazoda mutloq zich to‘plamlarning eng kichik quwatlisi uning zichligi deyiladi va d(X) ko'rinishida belgilanadi. Ta’rifga ko‘ra, d(X) = min{|A|: =X} , bu yerda |A| bilan to‘plam quvvati (kardinal son) belgilanadi. Demak, X topologik fazo separabel bo‘lsa, u holda uning zichligi X₀ ga teng ekan. Ya’ni, uning zichligi sanoqli to‘plam quwatiga tengdir. Diskret topologik fazolar uchun esa, d(X) =|X| o‘rinli ekan. Ixtiyoriy topologik fazo uchun esa, d(X) |X| tengsizlik doimo o‘rinlidir.

13-ta’rif. X topologik fazo bazalarining eng kichik quwati X topologik fazoning salmog‘i deyiladi va w(X) = min{|B|:B} jamlanma X ning bazasi deb belgilanadi. Diskret topologik fazolar uchun uning salmog‘i fazoning quwatiga teng bo‘lar ekan. Ya’ni, w (X) = |X |. Boshqa hollarda W(X) |X| tengsizlik doimo o‘rinlidir.

Foydalanilgan adabiyotlar :

1. 
   Azlarov Т.А., Mirzaaxmedov М.А., Otaqo‘ziyev D.O., Sobirov M.A., To‘laganov S.T. Matematikadan qo’llanma, II qism, - Т.: 0 ‘qituvchi, 1990, 352-b.
   
2. 
   Александров П.С. Комбинаторная топология. - М.: Гостехиздат, 1947. - С. 660
   
3. 
   Александров П.С., Урысон П.С. Мемуар о компактных топологических пространствах. - М.: Наука, 1971. - С. 144.
   
4. 
   Пасынков Б.А., Федорчук В.В. Топология и теория размерности. - М.: Знание, 1984. - С. 64.
   

FFff070707011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111