Mirzo Ulug‘bek nomidagi O‘zbekiston Milliy universiteti Jizzax filiali “Amaliy matematika” fakulteti

Mirzo Ulug‘bek nomidagi
O‘zbekiston Milliy universiteti Jizzax filiali
“Amaliy matematika” fakulteti

“Amaliy matematika va informatika” yo`nalishi

Funksional analiz fanidan
MUSTAQIL ISHI

Mavzu: Shturm lemmasi

Bajardi: 102-19-guruh talabasi Ayxanov Asliddin

Qabul qiluvchi: Xurramov Yodgor

Jizzax-2021

Shturm teoremasi

Endi haqiqiy koeffitsientli ko‘phadning haqiqiy ildizlari sonini toppish masalasiga o‘tamiz.Bunda haqiqiy ildizlarning umumiy soni bilan birga alohida musbat ildizlarning soni va alohida manfiy ildizlarining soni bilan ham, umuman, avvaldan berilgan a va b chegaralar orasidagi ildizlarning soni bilan qiziqamiz.Ildizlar sonini aniq topishning bir nechta metodlari mavjud,ammo ularning hammasi ham juda uzundan-uzoq:u;ar ichida birmuncha qulay bo’lgani Shturm metodidir. Hozir ana shu metodni bayon qilishga o’tamiz.

Avvalo,keying paragrafda ham ishlatiladigan bitta ta’rif kiritamiz.

Noldan farqli haqiqiy sonlarning birorta tartiblangan chekli sistemasi,masalan,

1, 3, -2, 1, -4, -8, -3, 4, 1 (1)

berilgan bo’lsin.Bu sonlarning ishoralarini ketma-ket yozib chiqaylik:

+, +, -, +, -, -, -, +, + (2)

Biz (2) ishoralar sistemasida qarama-qarshi ishoralar to’rt marta yonma-yon turganini ko’ramiz.Shu sababli (1) tartiblangan sistemada to’rt marta ishora o’zgarishi mavjud deyiladi.Noldan farqli haqiqiy sonlarning ixtiyoriy tartiblangan chekli sistemasi uchun ishora o’zgarishlar sonini topish mumkinligi tabiiydir.

Endi haqiqiy koeffitsientli ko’phadni tekshiraylik.Bunda ko’phad karrali ildizlarga ega emas

deb faraz qilamiz,chunki aks holda biz uni o’zi bilan hosilasining eng katta umumiy bo’luvchisiga bo’lib yuborishimiz mumkin edi.Agar quyidagi shartlar bajarilsa, noldan farqli ko’phadlarning tartiblangan chekli

= (formula)

Sistemasi ko’phadning Shturm sistemasi deyiladi.

1) (3) sistemaning qo’shni ko’phadlari umumiy ildizga ega emas;

2) oxirgi ko’phad haqiqiy ildizlarga ega emas;

3)agar son (3) sistemaning oraliq ko’phadlaridan biri bo’lgan (formula) ko’phadning haqiqiy ildizi bo’lsa (1

4) agar son ko’phadning haqiqiy ildizi bo’lsa,u holda x o’sa borib nuqtadan o’tganda ko’paytma o’z ishorasini manfiydan musbatga o’zgartiradi .

Xar qanday ko’pxad ham Shtum sistesiga ega bo’ladimi degan savolg keyinroq ko’riladi : hozir esa f(x) bunday sistemag deb faraz qilib bu Sistema yordamida qanday qilib haqiqiy ildizlarning sonini topish mumkinligini ko’raylik .

Agar c haqiqiy son berilgan f(x) ko’phadning haqiqiy ildizidan iborat bo’lmasa va (3) bu ko’pxad uchun Shturm sistemasidan iborat bo’lsa , u holda xaqiqiy sonlarning .

f(c) f₁(c) f₂(c) f₃(c) … f_s(c)

Sistemasinig olamiz undan barcha nolga teng bo’lganlarini o’chiramiz va W(c) orqali qolgan sistemaning ishora o’zgarishlar sonini belgilaymiz; W(c) ni f(x) ko’pxadning (3) Shtyrm sistemasidan x=c bo’lgndi ishora o’zgarishlar soni deyiladi.

Ushbu teorema o’rinli:

Shturm teoremasi. Agar a va b (aW(b) va

W(a)-W(b) ayirma f(x) ko’phadning a va b orasida joylashgan haqiqiy ildizlari sonini teng bo’ladi.

Shunday qilib , f(x) ko’phadning a va b orasida joylashgan ildizlari sonini toppish uchun (f(x) shartga ko’ra karrali ildizlarga ega emaslini eslataylik) bu ko’phadning Shtrum sistemasidagi ishora o’zgarishlar soni a va b ga o’tishda nechtaga kamayishini aniqlashimiz kifoya ekan.

Teoemani isbotlash uchun x o’sishi bilan W(x) son qanday o’zgarishini teksirib qo’yaylik . x o’sa borib o’z yo’lida (3) Shtrum sistemasining birorta ham ko’phadinig ildizlarini uchratmasa , bu Sistema ko’phadlarning ishoralari o’zgarmaydi shunga ko’ra W(x) ham o’zgarmay qoladi . Shu sababli shuning, Shturm sistemasi ta’rifidagi (2) shartha sosan faqatgina kuydagi ikkita holni ko’rsak kifoya: x ning birorta oraliq f_k(x) , (1