Mirzo ulug`bek nomidagi o`zbekiston milliy universiteti jizzax filiali

5. Roll teoremasi

2-teorema (Roll teoremasi). Agar   funksiya  kesmada aniqlangan bo‘lib, quyidagi 1)   da uzluksiz; 2)   da differensiallanuvchi;  3)   shartlarni qanoatlantirsa, u holda  bo‘ladigan kamida bitta  ) nuqta mavjud bo‘ladi.

Isbot. à Ma’lumki, agar   funksiya   kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiya shu kesmada o‘zining eng katta   va eng kichik   qiymatlariga erishadi. Qaralayotgan   funksiya uchun ikki hol bo‘lishi mumkin.

1.  , bu holda   kesmada   va   bo‘ladi. Ravshanki,   tenglamani qanoatlantiradigan nuqta sifatida   ning ixtiyoriy nuqtasini olish mumkin.

2.  , bu holda teoremaning   shartidan funksiya   yoki   qiymatlaridan kamida birini   kesmaning ichki nuqtasida qabul qilishi kelib chiqadi. Aniqlik uchun   bo‘lsin. Eng kichik qiymatning ta’rifiga ko‘ra   uchun   tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

Endi   ekanligini ko‘rsatamiz. Teoremaning ikkinchi shartiga ko‘ra   funksiya   intervalning har bir x nuqtasida chekli hosilaga ega. Bu shart, xususan c nuqta uchun ham o‘rinli. Demak, Ferma teoremasi shartlari bajariladi. Bundan  ekanligi kelib chiqadi.

 bo‘lgan holda teorema yuqoridagi kabi isbotlanadi. ¨

R oll teoremasiga quyidagicha geometrik talqin berish mumkin Agar   kesmada uzluksiz,   intervalda differensiallanuvchi   funksiya kesma uchlarida teng qiymatlar qabul qilsa, u holda   funksiya grafigida abssissasi   bo‘lgan shunday   nuqta topiladiki, shu                                                                           2-rasm

nuqtada funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma abssissalar o‘qiga parallel bo‘ladi.

2-izoh. Roll teoremasining shartlari yetarli bo‘lib, zaruriy shart emas. Masalan, 1)  ,   funksiya uchun teoremaning 3-sharti bajarilmaydi.

, lekin   bo‘ladi.

2)   funksiya uchun Roll teoremasining barcha shartlari bajarilmaydi, lekin   intervalning ixtiyoriy nuqtasida   bo‘ladi.

 6. Lagranj teoremasi