Мирзаев жасурбек исраилович

Рис. 1.1. Квантование плотности энергетических состояний при отсутствии и при присутствии квантующего магнитного поля [9; C.2-10].
Левый: Случай нулевого поля. Дисперсия энергии и постоянная плотность состояний в подзоне энергии.
Центр: Квантование уровней Ландау в произвольном магнитном поле в системе без беспорядка.
Правый: Уширение уровня Ландау из-за беспорядка.

Это говорит нам о том, что магнитное поле моделирует электронные состояния в квантовой яме, которая на практике может быть многомерным полупроводниковым лазером с квантовым ограничением, то есть лазером с квантовым ящиком или лазером с квантовой проволокой [10; C.1583-1590]. В качестве весьма показательного примера можно упомянуть GaAs/AlGaAs и In-GaAsP/InP лазеры с напряженными квантовыми ямами. С экспериментальной точки зрения можно упомянуть, например, работу [10; C.1583-1590], экспериментальная установка которой состояла из лазерного чипа, помещенного в центр сверхпроводящего магнита, который создавал магнитное поле, перпендикулярное слоям квантовой ямы. Излучение генерации регистрировалось с помощью волоконно-оптического жгута.

В работе [12; C.243–245] рассчитана плотность электронных состояний на единицу площади в идеальной одномерной квантовой яме ангармонического твердого тела в перпендикулярном магнитном поле. Исходя из этого результата, обсуждаются некоторые аспекты, связанные с классическим пределом. Рассмотрим не зависящее от времени однородное магнитное поле, действующее перпендикулярно одномерной идеальной квантовой яме. В контексте сильно коррелированных электронов, находящихся под действием потенциала Морзе, электроны ведут себя как квантовые ангармонические осцилляторы, заключенные в вышеупомянутую потенциальную яму, так что энергия электрона квантуется в первом одноэлектронном приближении (см., например, [10; C.1583-1590. 12; C.243–245]):
(1.2)
Здесь, - соответствующее осцилляционное квантовое число, ħ - приведенная постоянная Планка, ω₀ - основная угловая частота осцилляции, α – малый безразмерный ангармонический коэффициент. Точное соотношение для приведенной выше осцилляционной энергии находится путем вычитания слагаемого hω₀α/4 из правой части (1.2), но, поскольку на практике α относительно мало, то во вторым множителем коэффициента – α/4 можно пренебречь, правая часть (1.2) (см., например, [12; C.243–245]).
В формулу (1.2), введем новое квантовое число n =1, 2, ... с заменой = n−1, чтобы получить тот же диапазон значений, что и множество значений квантового числа относительно энергии удержания, которая будет записана сразу и полная энергия представляет собой энергию, заданную уравнением (1.2), плюс квантованную одноэлектронную энергию ограничения:
(1.3)
Здесь, ω – ширина ямы в предположении симметричной эффективной массы [10; C.1583-1590]. Заметим, что, подставляя α=0 в уравнение (1.3), получаем стандартную формулировку, в которой первый член в правой части уравнения (1.3) сводится к хорошо известной энергии квантового гармонического осциллятора, и обычно имеем ω ≈ 30 нм [10; C.1583-1590]:
(1.4)
Первый член в правой части (1.3) – это так называемая энергия Ландау, а второй член – это энергия конфайнмента, соответствующая задействованной одномерной идеальной квантовой яме. Обратите внимание, что является матричным элементом, который как собственное значение энергии удовлетворяет соответствующему уравнению Шредингера, а именно , где оператор Гамильтона имеет вид:
(1.5)
Где, в правой части (1.5), второй член – потенциальная энергия Морзе; D — глубина ямы осциллятора Морзе, то есть значение энергии Морзе при x_e – значение x, при котором энергия Морзе равна нулю, а – параметр, управляющий шириной ямы [12; C.243–245]. Теперь можно сформулировать следующее соотношение для плотности электронных состояний на единицу площади:
(1.6)
Где, E обозначает электронную энергию, а δ обозначает дельта – функцию Дирака. Выражением (1.6), предлагается новый подход в рамках ангармонических тел к определению плотности электронных состояний на единицу площади в одномерной идеальной квантовой яме в перпендикулярном, не зависящем от времени однородном магнитном поле.
В работе [13; C.1–10] показано, что статистический оператор электронного газа в магнитном поле определяется эффективным гамильтонианом, представляющим собой сумму тех же одночастичных гамильтонианов. Каждый одночастичный гамильтониан описывает частицу в потенциальной яме с гармоническим потенциалом и отражающими границами. Электроны взаимодействуют друг с другом и с нейтрализующим фоном. Плотность электронов в магнитном поле должна быть распределена таким образом, чтобы экранировать гармонический потенциал. В работе [13; C.1–10] приведено, что такое экранирование в окружности радиусом R приводит к перенормировке заряда электрона , где (e) – заряд электрона, a₀ – боровский радиус. Остаточный гармонический потенциал пропорционален ω², где ω=e_rB/m –циклотронная частота, B – магнитная индукция, m – масса электрона.
Предположим, что в квадрате со стороной 2L и нулем системы координат в центре эффективный одночастичный гамильтониан с симметричной калибровкой также имеет вид:
(1.7)
Здесь, . Разделив переменные и умножив на 2m/ħ², мы получим два идентичных одномерных уравнения:
(1.8)
Граничными условиями являются:
ψ(±L)=0 (1.9)
В этом случае одномерная плотность состояний выглядит следующим образом:
(1.10)
Здесь, первый член — это спектр линейного осциллятора без отражающих границ. (Мы заменяем n+γ(n ) на n, поскольку γ(n) практически всюду малы). При ε>ε_b плотность состояний есть плотность квазинепрерывного спектра. Граничная величина n=n₀ определяется приближенно, но важно, что n₀ пропорционально магнитной индукции и является целым числом.
Плотность состояний гамильтониана (1.10) может быть получена по формуле
(1.11).
Он состоит из трех регионов. При наименьшей энергии спектр дискретен:
(1.12)
В промежуточной области плотность состояний представляет собой сумму кусочно-непрерывной функции и плотности дискретного спектра:
(1.13)
В области больших значений энергии плотность состояний является непрерывной функцией:
(1.14)
Отсюда, двумерная плотность состояний в квадрате может быть вычислена как свертка одномерных плотностей. Получено плотность одночастичных состояний двумерного электронного газа в магнитном поле. Он состоит из трех регионов. При наименьшей энергии имеется дискретный спектр. В промежуточной области плотность состояний представляет собой сумму кусочно-непрерывной функции и плотности дискретного спектра. При больших энергиях плотность состояний является непрерывной функцией.
С теоретической точки зрения по этому вопросу сделано не так много. Например, как вычислить температурную зависимость плотности энергетический состояний в квантовой яме на основе твердого тела; в этой работе получены плотности энергетический состояний в магнитном поле при низких, постоянных температурах, но авторы не рассмотрели это при высоких температурах. Кроме того, такой вопрос, как температура влияет на плотности энергетический состояний, на ширину запрещенной зоны квантовой ямы в поперечном сильном магнитном поле. Этот ряд вопросов остается открытым, на что, в дальнейшем мы получим важные, новые результаты, обобщающие, скажем, стандартную формулировку.
В работе [14; C.198–201] плотность состояний определялась из уравнения дисперсии вектора энергии-волны E(k). В настоящей работе исследуется плотность состояний для материалов ZnS_xSe_1-x (0≤x≤1) с невозмущенной зонной структурой в присутствии однородного магнитного поля. Показано, что плотность состояний зависит от электронной энергии и магнитного поля. Представлено новое уравнение для энергии Ферми. Показано, что энергия Ферми увеличивается с концентрацией носителей в присутствии однородного магнитного поля. Новая функция плотности состояний для полупроводниковых материалов II-VI ZnS_xSe_1-x в присутствии однородного магнитного поля определяется уравнением:
(1.15)
Это уравнения применимо только для объемных материалов, кроме того, в этой работе не исследовалась зависимость плотности энергетических состояний от внешних факторов.
В работе [15; C.1-7] было исследовано, как магнитное поле B в плоскости изменяет плотность состояний в квантовых ямах разбавленных магнитных полупроводников от узкой до широкой зоны проводимости. Показано, что плотность состояний значительно отличается от идеальной ступенчатой формы двумерного электронного газа, что вызывает серьезные изменения физических свойств, например, населенностей спиновых подзон, внутренней и свободной энергии, энтропии Шеннона и плоскостная намагниченность. На рис. 1.2 показано, как меняется идеальная картина при L=30 нм (ширина лунок) [15; C.1-7]. На рис. 1.2 представлены E(k_x) и плотность состояний для характеристических значений B при температуре Т=4.2 К. Даже при B=4T, поскольку E(k_x) уже не являются «идеальными параболами», происходит количественное изменение плотности состояний. Для B=6T есть две впечатляющие особенности, и плотность состояний количественно отличается от идеальной лестницы 2D. На рис. 1.3 представлены E(k_x) и плотность состояний для L=60 нм и характерных значений B. Идеальная ступенчатая плотность состояний не может описать систему даже при относительно малых B. При B=2T две пары дисперсионных кривых, соответствующие спинам - электроны со спином вниз и вверх анти пересекаются при k_x=0, и общая плотность состояний уже слегка изменена. Для B=7T присутствуют некоторые приятные сингулярности, в то время как форма и величина плотности состояний далеки от знаменитой лестницы 2D. Для B=20 Тл энергетическое расстояние kx=0 членов пар со спином вверх и вниз составляет 14,11 мэВ ≈ ħω_с=14,47 мэВ. Следовательно, в центре ямы магнитное удержание преодолело пространственное удержание. В этой области плотность состояний представляет собой свободную частицу вдоль оси y плюс гармонический осциллятор в плоскости xz [15; C.1-7].