Miqdorlar reja tasodifiy miqdorlar. Tasodifiy miqdorlarning

Binomial taqsimot.

Faraz qilaylik, n ta erkli sinash o‘tkazilayotgan bo‘lib, ularning har birida A hodisa ro‘y berishi yoki ro‘y bermasligi mumkin bo‘lsin. Har bir sinashda hodisaning ro‘y berishi o‘zgarmas va p ga teng(demak, hodisaning ro‘y bermaslik

ehtimoli q=1-p ga teng). X diskret tasodifiy miqdor sfatida bu sinashlarda A hodisaning ro‘y berish sonini olamiz.

O‘z oldimizga X miqdorning taqsimot qonunini topish masalasini qo‘yamiz. Bu masalani hal etish uchun X ning mumkin bo‘lgan qiymatlari va ularning ehtimollarini aniqlash talab qilinadi.
Ko‘rinib turibdiki, n ta sinashda A hodisa yo ro‘y bermaydi, yoki 1 marta, yoki 2 marta, yoki n marta ro‘y berishi mumkin. Shunday qilib, X ning mumkin bo‘lgan qiymatlari quyidagicha:
x₁=0; x₂=1; x₃=2, … ,x_n+1=n
Bu mumkin bo‘lgan qiymatlarning ehtimollarini topish qoldi, buning uchun Bernulli formulasidan foudalanish yetarlidir:
P (k)  C^k pⁿq^nk
n n

bu yerda k=0; 1; 2; 3; …;n.

Bernulli formulasi izlanayotgan taqsimot qonuning analitik ifodasidir.
Ehtimollarni binomial taqsimoti deb, Bernulli formulasi bilan aniqlanadigan ehtimollar taqsimotiga aytiladi.
Qonunning “binomial” dyeilishiga sabab, formulaning o‘ng tomonini N`yuton binom yoyilmasining umumiy hadi sfatida qarash mumkin:
( p  q)ⁿ  Cⁿ pⁿ  C^n1 p^n1q  ...  C^k p^kq^nk  ...  C^oqⁿ
n n n n
Shunday qilib, yoyilmaning birinchi pⁿ hadi qaralayotgan hodisaning n ta sinashda n marta ro‘y berish ehtimolini, np^n-1 ikkinchi hadi hodisaning n-1 marta ro‘y berish ehtimlini, oxirgi qⁿ hadi hodisanng bir marta ham ro‘y bermaslik ehtimolini aniqlaydi.
Binomial qonunini jadval ko‘rinishida yozamiz:

X	n	n-1	…	k	…	0
P	pn	npn-1q	…	Сл pk qn  k т	…	qn

Misol. Tanga ikki marta tashlandi. Gerbli tomon tushish sonini bildiruvchi X tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini jadval ko‘rinishida yozing.

Yechish. Tangani har tashlashda gerbli tomon tushish ehtimoli
p  ¹ ,
2

demak, gerbli tomon tushmaslik ehtimoli

q  1  ¹  ¹ .

2 2

Tangani ikki marta tashlaganimizda gerbli tomon yo 2 marta, yoki bir marta tushishi mumkin, yoki gerbli tomon mutloq tushmasligi mumkin. Shunday qilib, X ning mumkin bo‘lgan qiymatlari quyidagicha:

x₁=2, x₂=1, x₃=0.
Bu mumkin bo‘lgan qiymatlarining ehtimollarini Bernulli formulasidan foydalanib topamiz:
 ¹ 2
^{P (2)  C 2 p2 }   ^{ 0,25;}
2 2 _{ 2 }
P (1)  C¹ pq  2  ¹  ¹  0,5;

2 2 _{2 2}
 ¹ 2
^{P (0)  C0q2 }   ^{ 0,25.}
2 2 _{ 2 }

Izlanayotgan taqsimot qonunini yazamiz:

X	2	1	0
P	0,25	0,5	0,25

Tekshirish: 0,25+0,5+0,25=1

Puasson taqsimoti.

Har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimoli p ga teng bo‘lgan n ta erkli sinash o‘tkazilayotgan bo‘lsin. Bu sinashlarda hodisaning k marta ro‘y berish ehtimolini topish uchun Bernulli formulasidan foydalaniladi. Agar n katta bo‘lsa, Laplasning asiptotik formulasidan foydalaniladi. Ammo hodisaning ehtimoli kichik ( ^{p  0,1} ) bo‘lsa, bu formula yaroqli emas. Bunday hollarda (n katta, p kichik) Puassonning asimptotik formulasiga murojaat qilinadi.

Shunday qilib, har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli juda kichik bo‘lgan juda ko‘p sinashlar o‘tkazilganda hodisaning rosa k marta ro‘y berish ehtimolini topish masalasini qo‘yaylik.
Muhim shart qo‘yaylik: np ko‘paytma o‘zgarmas qiymatini saqlab qoladi, ^{chunonchi np=}  ^{. Bu sinashlarning har xil seriyasida, ya’ni n ning har xil} qiymatlarida hodisa ro‘y berishining o‘rtacha soni o‘zgarmasdan qolishini bildiradi.
Bizni qiziqtirayotgan ehtimolni hisoblash uchun Bernulli formulasidan
foydalanamiz:
_{P (k) } n(n 1)(n  2)...n  (k 1) _{pk (1  p)n  k .}

^pn= ^{bo‘lgani uchun}
n
p  ^
n
k!

bo‘ladi. Demak,



k
n(n 1)(n  2)...n  (k 1) 
P (k )
^ nk

ⁿ k!
( ) (1  )
n n

n juda katta qiymatga egaligini nazarda tutib,
P_n (k )
o‘rniga
^{lim P (k )} ni

n
n

topamiz. Bunda izlanayotgan ehtimolning taqribiy qiymati topiladi, xolos: n katta bo‘lsa ham, lekin cheklidir, limitni hisoblashda esa biz n ni cheksizga intiltiramiz.

Shunday qilib,

P_n (k )  lim
n(n 1)(n  2)...n  (k 1)_
^k 
_k ^{1 }
_ n  k


 ^

n


^{k } 


¹ 
k!
²  


^{k 1}
n _ n _{
  }n  k _

 lim _1 _1 
^{1 }
^...^{1 }
_  _1  _{ } 

_ 
_k! n _{ }
ⁿ 
ⁿ  
ⁿ  
n _{ }

 _k
^lim ^{1 
} n

^lim ^{1 }
_{ } k

 _k
 e^ 1.


_k! n_
n _ ^n_ n _ k!

Shunday qilib (yozuvni soddalashgtirish uchun taqribiy tenglik belgisini tushirib qoldiramiz),

P_n (k) 
_k_e _.
k!

Misol. Zavod bazaga 5000 ta sfatli mahsulot jo‘natdi. Mahsulotning yo‘lda shikastlantorish ehtimoli 0,0002 ga teng. Bazaga 3 ta yaroqsiz mahsulot kelish ehtimolini toping.

^{Yechish. Shartga ko‘ra n=5000, p=0,0002, k=3.}  ^{ni topamiz:}
  np  5000  0б0002  1
Izlanayotgan ehtimol Puasson taqsimotiga ko‘ra taqriban quyidagiga teng:

P₅₀₀₀(3) 
_k_e k!
 _e1
3!
 ¹  0,06.
6e