|
ij
a
(1.3)
где
)
0
(
ij
a
- упругие характеристики однородного материала,
),
,
(
1
z
z
a
ij
-непрерывные по
аргументам (z,z) известные функции, имеющие производные по второй порядок, -малый
физический параметр.
Вводим малый физический параметр, характеризующий анизотропию материала 9-14
;
2
)
(
3
4
)
(
4
)
2
(
a
2
)
0
(
66
)
0
(
12
)
0
(
22
)
0
(
12
2
)
0
(
26
0
16
2
)
0
(
66
)
0
(
12
)
0
(
22
(0)
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
(1.4)
Решение уравнения (1.1) и (1.2) представим в виде 7-10;
0
,
nê
)
,
(
G
)
z
G(z,
ê
n
ê
n
z
z
(1.5)
Подставляя (1.5) в (1.1) и (1.2) с учетом (1.3) и (1.4), для определения G
nк
(z,
z
), (k,n0)
получим последовательность краевых задач 7-10:
),
(
)
(
,
0
z
G
2
oo
3
H
G
z
oo
(1.6)
97
).
0
,
1
(
,
0
)
(
)
,
(
,
1
2
3
k
n
G
z
z
k
G
V
z
z
G
nk
n
nk
nk
(1.7)
где
)
,
(
V
,
1
nk
z
z
G
k
n
-оператор третьего порядка.
Решение краевых задач (1.6 -1.7) соответственно можно представить в виде 4,5:
,
)
(
)
(
'
)
(
)
,
(
G
oo
z
z
z
z
z
z
oo
oo
oo
(1.8)
.
)
(
)
(
'
)
(
)
,
(
)
,
(
z
z
z
z
z
z
IG
z
z
G
nk
nk
nk
nk
nk
(1.9)
Здесь
)
(
),
(
z
z
nk
nk
функции Колосова-Мусхелишвили, которые определяются из
интегрального уравнения Шермана – Лауричелла 5-6.
,
)
(
i
2
1
)
(
i
2
1
)
(
'
i
2
1
z
)
(
i
2
1
z
d
H
z
d
z
d
d
oo
oo
(1.10)
.
0
)
(
i
2
1
2
)
(
i
2
1
)
(
'
i
2
1
)
(
i
2
1
z
d
IG
z
z
d
z
d
nk
nk
nk
(1.11)
)
,
(
z
z
IG
nk
частное решение краевых задач (1.7). С помощью интеграла типа Коши из
(1.10) будем иметь:
,
)
(
2
1
)
(
oo
z
d
H
i
z
(1.12)
),
(
'
1
)
(
2
1
)
(
z
z
z
d
H
i
z
oo
oo
(1.13)
а из (1.11)
,
)
(
2
1
)
(
z
d
IG
i
z
nk
nk
(1.14)
).
(
1
)
(
2
1
)
(
z
z
z
d
IG
i
z
nk
nk
nk
(1.15)
Влияние неоднородности анизотропии на напряженное состояние упругих тел с
отверстием определяется с помощью коэффициента К , выражающегося формулой
,
z
G
2
1
1
Ð
Ê
(1.16)
2.Пластинка с круговым отверстием, край которой подвергается равномерному
нормальному давлению. Пусть имеется неограниченная пластинка с круговым отверстием и
центром в начале координат, т.е.
,
)
(
R
w
Z
(2.1)
а граница подвергается равномерному нормальному давлению с постоянной интенсивностью
Р. Тогда , согласно 6.
.
-PR
)
H(
[ ]
(2.2)
Рассмотрим случай, когда
1
2
1
(1)
ij
)
(
)
,
(
a
m
m
R
z
z
z
z
z
z
(2.3)
Решая полученные граничные задачи (1.6-1.7), с учетом (2.1-2.3) и ограничиваясь
членами второго порядка относительно и для функции G (, ) получим:
,
...
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
1
-
PR
)
,
G(
)
1
(
1 3
1
i
)
1
(
)
1
(
z
1
i
1
)
1
(
3
2
5
4
3
2
1
i
m
m
i
i
m
i
m
i
i
i
m
m
i
i
m
i
m
i
d
b
B
C
98
где
i
i
i
i
l
l
g
g
'
,
,
'
,
,
i
, -комплексные коэффициенты, зависящие от
.
)
0
(
ij
a
3. Всестороннее растяжение пластинки на бесконечности. Пусть пластинка с
круговым отверстием подвергается всестороннему растяжению на бесконечности, т.е.
.
0
,
)
(
)
(
)
(
xy
y
x
P
(3.1)
Тогда согласно 6, для рассматриваемого случая будем иметь:
.
)
(
ÐR
Í
(3.2)
Решая полученные граничные задачи (1.6-1.7), с учетом (2.1), (2.3) и (3.2) получим:
,
...
1
1
1
1
b
1
1
1
1
C
1
2
3
1
-
PR
)
,
G(
)
2
(
13
1
i
(2)
i
i
)
2
(
1
7
1
i
(2)
i
2
2
1
5
4
3
1
i
m
m
i
i
m
i
m
i
m
m
i
m
i
m
i
d
B
где: , b
i
(2)
, d
i
(2)
, C
i
(2)
, B
i
(2)
- комплексные постоянные зависящие от а
ij
(0)
.
Для коэффициента концентрации, согласно (1.15), получим:
,
)
9
'
7
sin
'
5
sin
'
3
sin
'
sin
'
(
9
cos
7
cos
5
cos
3
cos
l
cos
(
))
5
sin
'
3
sin
'
sin
'
(
5
cos
3
cos
cos
(
4
sin
)
(
i
-
cos4
)
(
(
1
2
10
9
8
7
6
5
4
2
2
1
6
5
4
3
2
1
1
1
1
1
l
l
l
l
l
i
l
l
l
l
V
V
V
i
V
V
V
Ê
где
i
i
i
i
i
l
l
V
V
'
'
,
,
комплексные коэффициенты, зависящие от
)
0
(
ij
a
4. Числовой пример. В качестве численного примера рассматривается материал из
фанеры со следующими характеристиками:
Е
1
=1,210
5
кГ/см
2
; Е
2
=0,64410
5
кГ/см
2
;
2
=0,044, G=0,07210
5
кГ/см
2
.
В табл. №1 и №2 приведены значения коэффициента концентрации напряжения в разных
точках контура соответственных задач.
На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы:
1. Приведен анализ влияния неоднородности и анизотропии материала на величины
напряжений около кругового отверстия в разных точках контура.
m=5. =0,07 =0,2
Таблица №1
θ
Изотроп
однород.
Одн.анизотроп.
Неоднород.изотроп.
Неодн.анизотроп.
0
1
2 ,418
0,814
2,232
15
1
1,391
0,648
1,039
30
1
0,419
0,380
-0,570
45
1
0,448
0,382
-0,202
60
1
0,269
0,671
-0,060
75
1
1,320
0,932
1,252
90
1
2,689
1,000
2,689
m=5. =0,07 =0,2
Таблица №2
θ
Изотроп
однотро.
Одн.анизотроп.
Неоднород.изотроп.
Неодн.анизотроп.
0
1
3 ,418
1,584
3,002
15
1
2,391
1,425
1,816
30
1
1,419
1,182
0,601
45
1
1,448
1,233
0,281
60
1
1,269
1,581
0,850
75
1
2,320
1,894
2,214
90
1
3,689
2,000
3,689
99
2.Установлено, что
-эффект неоднородности и анизотропии на напряженное состояние упругих тел с
круговым отверстием составляет 120148%
-около отверстия возникает зона сжатия которую варьированием параметров и
можно уменьшить и увеличить.
Do'stlaringiz bilan baham: |
