22
задачу статического расчета
min
)
;
(
)
,
)(
2
/
1
(
)
,
(
N
P
C
F
N
q
(1)
Проектирование пространственных конструкций связано срешением широкого круга
вопросов, начиная с выбора конструктивной схемы и выбора материала, и кончая выполнением
необходимых требований конструирования.В такой постановкеобщая задача поиска
оптимальной конструкции не может быть сформулирована, так
как отличается чрезвычайной
сложностью, как самого математического описания, так и решения
При ограничениях
O
I
N
A
t
Здесь -А- матрица условий статического равновесия;
)
,...,
,
(
2
2
1
1
n
n
C
F
C
F
C
F
C
F
квазидиогональная матрица жесткости конечных
элементов;
)
,...,
,
(
2
1
n
F
F
F
F
-заданный вектор площадей поперечных сечений элементов;
N-искомый (6м*1) мерный вектор узловых перемещений
I-единичная матрица;
̅
-заданный вектор сосредоточенных сил и сосредоточенных моментов в узлах от всех
загружений. Математическая модель (1), (2) задачирасчета пространственно-стержневой
системы в упругой стадии представляет собой задачу квадратичного программирования.
Результаты решения задачи (1) (2) определяются векторами деформаций элементов
и
узловых
перемещений
̅̅̅
,которые характеризуют не только деформированное состояние, но и
дают представление о направленности формы потери устойчивости пространственно-
стержневой системы. Затем исходной пространственно-стержневой системе и ее элементам
придаются очертания в соответствии с выявленной
формой потериустойчивости и
приводитсястатический расчет еѐ на каждый вид загружения Р
(j)
(j=1,2,3,…,k). В результате
определяются векторы деформаций элементов х
(j)
и
узловых перемещений N
(j)
для каждого
загруженияj, после чего решается задача корректировки.
При корректировки значений узловых перемещений и деформаций элементов
пространственно-стержневой системы исходя из условий прочности и жесткости для случая
малых перемещений и деформаций решается здача
мах
(3)
при ограничениях:
)
(
)
(
j
j
t
N
A
0
)
(
j
;
(4)
(j)
;
(5)
;
)
(
)
(
j
j
N
(6)
-
;
0
)
(
j
(7)
;
0
(J=1,2,…,h)
(8)
Здесь А
т
- транспонированная матрица условий статического равновесия;
N
диагональная
матрица узловых перемещений, полученных в результате расчета
упругой пространственно-стержневой системы;
-искомый вектор параметров корректировки условных перемещений;
-допускаемые значения узловых перемещений;
h- число внешних загружений.
Корректировки
значений
узловых
перемещенийи
деформаций
элементов
пространственно-стержневой системы из условий прочности и жесткости для случая больших
перемещений и малых деформаций осуществляется путем последовательного решения
уравнений вида
)
(
)
(
)
(
1
)
(
2
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
P
S
N
A
S
K
N
K
N
(9)
Матрица К
1
(N
n
(j)
)и К
2
(S
n
(j)
)определяются соответственно из выражений
К
1
(N
n
(j)
)=А(N
n
(j)
) (
c
F
)A
t
(N
n
(j)
);
(10)
A (N
n
(j)
) S
n
(j)
=K
2
(S
n
(j)
)
N
n
(j)
;
(11)
S
n
(j)
=(F
[ ]
)
n
(j)
;
(12)
P
n
(j)
= P
о
(j)
+n
P
n
(j)
, (n=0,1,2,3,…;)
(13)
N
n+1
(j)
= (N
n
(j)
)+
(N
n
(j)
)
(14)
23
)
(
)
(
)
(
)
(
j
n
j
n
t
j
n
N
N
A
(15)
ᵆ
)
(
)
(
)
(
1
j
n
j
n
j
n
(16)
Здесь
)
(
j
n
N
- вектор перемещений узловых перемещений;
)
(
j
n
S
вектор усилий в элементах;
)
(
j
n
P
-вектор перемещений нагрузок;
)
(
j
n
- вектор приращений деформаций в элементах;
N=0,1,2,3 количество ступеней догружения.
В результате решения задачи корректировки (с учетом геометрически- линейная или
геометрически нелинейная)
получаются те соотношения, между предельными значениями
деформаций элементов и узловыми перемещениями пространственно-стержневой системы при
которых удовлетворяются условия прочности и жесткости. Далее можно перейти к задаче
оптимизации по массе устойчивой пространственно-стержневой системы, в случае
многофакторных загружений, для этого решается задача оптимизации
min
)
,
(
)
(
f
При ограничениях
)
(
)
(
0
j
j
P
c
F
A
(19)
d
F
(20)
Математическая
модель
(17)-(19)
представляет
собой
задачу
линейного
программирования.
Использование этого принципа в практике проектирования
стержневых систем
позвонило не только повысить их устойчивость, но и упростить расчет на устойчивость. В
последнем случае проверка на устойчивость сводится к определению критических сил, или
соответствующих прогибов конструкций выполненных в соответствии с очертаниями осевых
линий, срединных плоскостей или поверхностей, отвечающих их действительному изгибу при
загружении.
Do'stlaringiz bilan baham: 
