Министерство высшего и среднего специального образования республики узбекистан ўзбекистон республикаси

АЛГОРИТМ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОЙ 
РАБОТЫ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА 
Мирзаахмедов А.Т., магистрант группы М8-16 «ИОК» Ахмедов И. 
Ферганский политехнический институт 
В статье изложен разработанный алгоритм расчета железобетонных стержневых 
систем с учетом нелинейной ползучести и усадки бетона, основанные на методах 
перемещений и интегрального модуля деформаций.
In this article algorithmic calculation of reinforced concrete rod shaped system with the 
account of nonlinearly after flow and shrinkage of concrete based on the methods of moving and 
integral module of deformation was staled.
Алгоритм расчета стержневых систем с учетом нелинейной работы железобетона 
основан на методах перемещений и интегрального модуля деформаций. 
Основная система метода перемещений образована наложением на узлы фермы связей, 
препятствующих повороту узлов и стержней и за основные неизвестные приняты угловые 
перемещения узлов и стержней фермы.
Уравнения метода перемещений являются однородными и имеют следующий вид: 
0
1
2
2
2















ТС
i
iab
i
ab
i
bb
i
aa
i
ab
i
bb
ib
i
ab
i
bb
i
aa
i
ab
ia
i
ab
i
bb
i
aa
i
bb
















(1) 
где, ТС – количество стержней в рассматриваемом узле фермы; 

и 

- угловые перемещения узлов и стержней; 
ji
ii


,
- перемещения от единичных неизвестных. 
От действующих единичных неизвестных в элементах фермы появляются внутренние 
усилия (рис.1.). 
Составляем канонические уравнения метода сил: 




















ab
N
b
Nb
a
Na
ab
b
ab
bN
b
bb
a
ba
ab
a
ab
aN
b
ab
a
aa
N
M
M
N
M
M
N
M
M













(2) 

---

173 
Перемещения по закону Мора: 









i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
ij
A
E
ds
N
N
A
G
ds
Q
Q
I
E
ds
M
M
1
1
1


(3) 
или 
N
ij
Q
ij
M
ij
ij







(4) 
Концевые изгибающие моменты: 


2
ab
bb
aa
ab
ab
bb
b
ab
a
bb
a
M















; (5) 


2
ab
bb
aa
ab
aa
ab
b
aa
a
ab
b
M















. (6) 
Изгибающий момент в любом сечении стержня определяется по формуле: 
i
n
M
M
M
M
b
a
a
i



, (7) 
где, 
i
- порядковый номер сечения в пределах пролета; 
n
i
...
2
,
1
,
0

, (обычно 
n
принимаем постоянным для всех стержней независимо от длины 
стержня). 
Жесткости сечений элементов фермы определяются по формулам: 
2
/
/
/
/
2
3
2
2
12





 






 



a
h
E
E
A
E
a
h
E
E
A
E
bh
E
EJ
D
bp
b
s
s
a
bp
b
s
s
s
ин
b
; (8) 
bp
b
s
s
s
bp
b
s
s
s
ин
b
E
E
A
E
E
E
A
E
bh
E
EA
/
/
/



; (9) 
)
(
4
,
0
4
,
0
/
/
/
bp
b
s
s
s
bp
b
s
s
s
ин
b
E
E
A
E
E
E
A
E
bh
E
EA
GA




(10) 
Если стержни фермы сжимаются, то бетон 
рассчитывается на сжатие. Определяя продольные 
силы и изгибающие моменты в сечении стержнях 
фермы, вычисляем напряжение в сечении: 
z
J
E
D
M
A
A
E
E
A
E
E
N
red
bp
b
s
red
s
bp
b
s
s
bp
b
s
b






)
(
/
/


, (11) 
где 

- коэффициент продольного изгиба: 
bh
E
E
A
E
E
A
A
bp
b
s
s
bp
b
s
s
red



/
/
; (12) 
2
/
/
/
2
)
2
(
)
2
(
a
h
A
E
a
h
As
E
D
s
s
s
s



; (13) 
2
/
/
/
2
3
2
2
12





 






 


a
h
A
E
E
a
h
A
E
E
bh
J
s
bp
b
s
s
bp
b
s
red
. (14) 
Входящие в эти формулы 
bp
b
E
и 
и н
E
определяются по [1]. 
Когда 
стрежни 
фермы 
работают 
на 
растяжении, все усилия, возникающие в сечении, 
принимает арматура. 
Напряжения в арматуре равны: 
)
(
)
2
/
(
/
0
/
0
a
h
A
a
h
e
N
s
s





. (15) 
Предварительно 
напряженные 
железобетонные 
конструкции 
имеют 
сложное 
напряженное состояние, изменяющееся во времени от воздействия внешних нагрузок, 
проявления неупругих деформаций бетона, релаксации напряжений в стали и других условиях. 
В связи с этим, при проектировании предварительно напряженных конструкций необходимо 
знать основные причины, влияющие на характер и вличину изменения напряжений в арматуре 
и бетоне на различных стадиях их работы. 
 
Рис. 1. Эпюры внутренних усилий от
единичных сил.

---

174 
Вышеуказанные факторы, влияющие на потери предварительного напряжения от усадки 
и ползучести бетона, релаксация напряжений стали проявляются в течении длительного 
времени. 
В эксплуатационной стадии на потери предварительного напряжения действуют 
основные усадки и ползучесть бетона.
При одном и том же уровне нагрузки с увеличением процента армирования процесс 
перераспределения усилий растет. Это обусловлено тем, что в элементах фермы с высоким 
процентом армирования напряжения в сжатом бетоне и следовательно нелинейность 
деформирования растет. 
Нелинейность деформирования способствует перераспределению усилий между 
стержнями фермы. 
 
АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СЛОЖНОГО СЕЧЕНИЯ 
ПРИ ДВУХМЕРНОМ РАСПРЕДЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ И ВЛАЖНОСТИ. 
Мирзаахмедова У.А., магистрант группы М8-16 «ИОК» Ахмедов И. 
Ферганский политехнический институт 
 
In this article algorithmic calculation of reinforced concrete elements of difficult crosscut 
section with the account of effect of shrinkage and nonlinearly after flow of concrete, and influence of 
temperature was staled.
Анализ методов расчета напряженно – деформированного состояния железобетонных 
элементов от температурного воздействия вытачает что деформированное состояние элементов 
по методике работы [1] определяется средней расчетное температура и расчетным перепадом 
по сечению. В работах [2,3] деформации определяются через относительное перемещение оси, 
проходящее через центр тяжести приведенного сечения 
t

и температурную кривизну, что дает 
возможность непосредственно перейти к определению температурных усилия в статически 
неопределимых конструкциях и упрощает расчет, поскольку система уравнение для 
определения 
t

и 
t

1
распадается на два самостоятельных выражения. 
Далее рассмотрен численные метод расчета температурно-усадочных напряжений и 
деформация железобетонных брусьев произвольного поперечного сечения с произвольным 
армированием. Распределение температуры и влажности предполагается заданным и 
изменяется в сечении по произвольному закону. Учитывается изменчивость модуля упругости 
арматуры и бетона в зависимости от температуры, изменчивость коэффициентов линейного 
расширения, линейной усадки и критической влажности от температуры и влажности. 
Покроем поперечное сечение железобетонного элемента сеткой с равномерным или 
неравномерным шагом. Значение температуры и влажности предполагается заданными в узлах 
сетки. Введем произвольно систему координат 
y
, 
z
(совместив ее начало, например, с нижним 
углом поперечного сечения), относительно которой определит центр тяжести приведенного 
сечения по формулам: 
red
zn
ц
A
S
y

;
red
yn
ц
A
S
z

(1) 
Приведенная площадь к ненагретому бетону 
red
A
и статические моменты 
zn
S
и 
yn
S
этой площади относительно осей 
z
и 
y
определяются зависимостями: 










n
j
m
i
sij
sij
n
j
m
i
b
s
ij
i
i
red
A
E
E
h
b
A
1
1
1
1



(2) 
bij
n
j
m
i
sij
sij
n
j
m
i
b
s
bij
ij
i
i
zn
y
A
E
E
y
h
b
S












1
1
1
1



(3) 
bij
n
j
m
i
sij
sij
n
j
m
i
b
s
bij
ij
i
i
yn
z
A
E
E
z
h
b
S












1
1
1
1



(4) 
Выберем теперь новые центральные координаты оси 
y
и 
z
так, чтобы: 
ц
y
y
y


;
ц
z
z
z


, (5) 

---

175 
тогда общие температурно-усадочные деформация в соответствии с гипотезой плоских 
сечений определяется уравнением плоскости: 
ij
tuy
ij
tuz
tu
tuij
z
y









1
1
(6) 
Величины относительной деформации центра тяжести приведенного сечения 
tu

и 
кривизны в плоскостях 
xoy
и 
xoz
определяются из удовлетворения уравнениям 
равновесия: 
Свободные температурно-усадочные деформации бетона 
ij
ячейки вычисляются по 
формуле: 















































n
j
m
i
n
j
m
i
sij
sij
sij
ij
j
i
bij
n
j
m
i
n
j
m
i
sij
sij
sij
ij
j
i
bij
n
j
m
i
n
j
m
i
sij
sij
j
i
bij
z
A
z
h
b
y
A
y
h
b
A
h
b
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0






(7) 




ij
upij
uij
ij
btij
btuij
u
u
t
t







0
(8) 
Коэффициент линейного расширения бетона описывается зависимостью: 






20
00036
,
0
1
6
,
63
1
10
10
2
6







ij
ij
btij
t
U

(9) 
где: 
ij
t
- средняя температура ячейки определяемая по формуле: 


j
i
j
i
j
i
j
i
ij
t
t
t
t
t
,
1
,
,
1
1
,
1
25
,
0








(10) 
ij
t
- температура узла 
ij
ячейки. 
ij
U
- средняя относительная весовая влажность 
ij
ячейки бетона в определяется по 
формуле аналогичной формуле (10). 
Коэффициент линейной усадки бетона зависит от температуры и может быть определен 
по формуле: 




20
00165
,
0
exp




t
uго
uij


(11) 
uго

- коэффициент линейной усадки при 
C
t
0
20

. 
Свободные температурные деформации арматуры определяются зависимостью: 


0
t
t
sij
aij
sij




(12) 
Коэффициент линейного расширения арматуры определяется формулой: 




20
1



ij
a
a
sij
t
C


(13) 
Для арматуры класса 
;
1
000433
,
0
;
1
10
11
,
0
0
6
C
C
C
II
A
a
a






класса 
;
1
0004
,
0
;
1
10
5
,
12
,
0
0
6
C
C
C
III
A
a
a






Допускается температуру арматуры 
a ij
t
принимать равной средней температуре ячейки, 
т.е. 
ij
aij
t
t

Напряжения в бетоне: 






















ij
u p ij
u ij
ij
b tij
ij
tu y
ij
tu z
tu
b ij
b
b ij
U
U
t
t
z
y
E







0
1
1
(14) 
Напряжения в арматуре: 


















0
1
1
t
t
z
y
E
sij
sij
sij
tu y
sij
tu z
tu
sij
s
sij






(15)

---

176 
Приведенные формулы дают возможность определять напряженно-деформированные 
состояния железобетонных элементов сложного сечения при одновременном и неравномерном 
распределении температуры и влажности.