Министерства высшего и среднего специального

9. Broyden usuli 
Nyuton-Rafson usuli juda yaxshi yaqinlashishni beradi, ammo Yakob 
matritsasining teskarisini hisoblash juda ko‘p mashina vaqtini oladi. 
Bunday hollarda Yakob matritsasini hisoblash o‘rniga biror boshqa 
yaqinlashishni tuzish uslubi 
kvazinyuton usullar 
(
algoritlar
) deb ham 
ataladi. Ana shunday usullardan biri bu 1965 yilda taklif etilgan 
Broyden 
usuli
bo‘lib, u Nyuton-Rafson usulining takomillashtirilgan varianti hamda 
u yuqorida ta’kidlangan kamchilikdan holi. Bu usulning quyidagi ikkita 
muhim farqlari mavjud: 
1)
iteratsiyalarning har bir qadamida Yakob matritsasi to‘g‘risi yoki 
teskarisi hisoblanmaydi, o‘zgaruvchilar chetlashishini sonli baholash 
uchun qo‘shimcha funksiyalar hisoblanilmaydi, faqatgina sxema 
o‘zgarmas matritsasining mavjudligini topishdagi funksiyalardangina 
foydalaniladi; 
2)
yechimning yaqinlashishini ko‘rsatuvchi so‘nish koeffitsiyenti har 
bir iteratsiyada hisoblanadi, bu o‘z navbatida, Broyden usulining yutug‘i 
bo‘lib, Nyuton-Rafson usuli yaqinlashishni kafolat bera olmaydi. Bundan 
tashqari, bu koeffitsiyent hatto, hali yechim topilmagan bo‘lsa ham, 
hisoblash xatoligini baholash imkonini beradi. 
Broyden usulining mazmuni quyidagicha: 

---

30 
Nyuton-Rafson formulasi bo‘yicha navbatdagi 
x
(
k
+1)
yaqinlashishni 
olish uchun 
k
-yaqinlashishga tuzatma vektor qo‘shiladi, ya’ni: 


)
(
1
)
(
)
1
(
k
k
k
f
W
x





;
)
1
(
)
(
)
1
(





k
k
k
x
x
x
. 
Broyden usulida bu tuzatmaning hammasidan emas, balki uning bir 
qismidan foydalanilmaydi: 
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(





k
k
k
k
x
x
x

, 
bu yerda 
)
(
k

- skalyar koeffitsiyent shunday tanlanadiki, 
)
1
(

k
f
vektor yoki 
uning 
maksimal 
qiymat 
qabul 
qiluvchi 
elementi 
normasi 
minimumlashtiriladi (yoki kamaytiriladi). Agar Nyuton-Rafson usulining 
yaqinlashishi ta’minlangan bo‘lsa, u holda 
)
(
k

>1 ni tanlash hisobiga 
Broyden usuli juda katta yaqinlashishga erishadi. Aksincha, agar Nyuton-
Rafson usulining yaqinlashishi ta’minmalangan bo‘lsa, u holda 
)
(
k

<1 ni 
tanlash hisobiga bu yaqinlashish ta’minlanadi. 
Broyden usuli Yakob matritsasi va uning teskarisini hisoblash bilan 
bog‘liq bo‘lgan Nyuton-Rafson usulining qiyinchiligini bartaraf qiladi. 
Bunga iteratsiyaning har bir qadamida Yakob matritsasining o‘rniga 
quyidagi formula bilan berilgan yaqinlashishni hisoblash evaziga 
erishiladi: 




 
 


)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
k
k
k
T
k
k
T
k
k
k
k
k
k
k
k
f
f
H
x
H
x
f
f
H
x
H
H












(33) 
Broyden usulining algoritmi quyidagicha: 
1.
x
(0)
boshlang‘ich yaqinlashish tanlanadi. 
2.
Yakob matritsasi 
W
(0)
ning teskarisini hisoblash bilan 
H
(0)
matritsaning boshlang‘ich qiymati hisoblanadi. 
3.
 
)
(
)
(
k
k
x
f
f

, 
k
=0,1,2, … hisoblanadi. 
4.
)
(
)
(
)
(
k
k
k
f
H
x


hisoblanadi. 
5.
)
(
k

koeffitsiyent shunday tanlanadiki, 
)
(
)
1
(
k
k
f
f


bo‘lsin. 
6.
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(





k
k
k
k
x
x
x

hisoblanadi. 
7.
)
1
(

k
f
matritsa normasining yaqinlashishi tekshiriladi. 

---

31 
8.


)
(
)
1
(
k
k
f
f


hisoblanadi. 
9.
)
1
(

k
H
matritsa (33) formula bo‘yicha hisoblanadi. 
10.
Hisoblash jarayoni 3-qadamdan takrorlanadi.