Microsoft Word Уч пособие 22 09. doc

v0 u 0

где b(x,y;u,v) - ядро обратного преобразования.
Если преобразование разделимо, то есть
a(x,y;u,v)=a_x(x,u)a_y(y,v)
b(x,y;u,v)=b_u(x,u)b_v(y,v),
то оно может быть выполнено в два этапа, вначале по всем столбцам, а затем по всем строкам.
M 1 N 1
F(u,v)= _a_y y,v _ f x, ya_x x,u. (8.12)

y 0
И соответственно
x0

M 1 N 1

f(x,y)=
_b_v y,v _ F u,vb_u x,u. (8.13)

v0 u 0
Ошибка преобразования определяется энергией отброшенных коэффициентов (суммой их квадратов). Чем больше коэффициентов мы отбрасываем, тем с большими ошибками будет восстановлено исходное изображение. Проиллюстрируем это на примере. В качестве исходного

используем изображение, представленное на рисунке 8.8 а), размер которого составляет 512x512 элементов. Выполним ортогональное преобразование Фурье. Спектр этого изображения представлен на рисунке
8.8 г). В области НЧ оставим по 200 коэффициентов в каждом направлении, по строкам и по столбцам, остальные коэффициенты обнулим, как показано на рисунке 8.8 д). Выполним обратное преобразование. Восстановленное изображение представлено на рисунке



8.8 б). А теперь оставим только по 100 коэффициентов в каждом направлении (в соответствии с рисунком 8.8 е). Восстановленное изображение представлено на рисунке 8.8 в). Из рисунка видно, что чем больше коэффициентов преобразования мы обнуляем, тем больше ошибки восстановления.



а)б)в)
г)д)е)
Рисунок 8.8 Исходное изображение а) и два восстановленных изображения б) и в). Спектры соответствующих изображений г) - е).
При ортогональном преобразовании базисные функции ортогональны, то есть скалярные произведения всех пар базисных функций равны нулю. Как было рассмотрено в 6.2.1, в случае ДПФ базисные функции представляют собой комплексные экспоненты, а ортогональные преобразования имеют вид (6.17), (6.18). После выполнения прямого преобразования формируется матрица спектральных коэффициентов. Прямоугольная область размером NM имеет тот же размер, что и изображение. Основная доля энергии приходится на спектральные коэффициенты с малыми индексами (u,v), то есть индексами низких пространственных частот. При сжатии спектральные коэффициенты,
соответствующие ВЧ, квантуются на малое число уровней, что позволяет для их представления использовать коды с малым числом двоичных единиц. Из (6.17) следует, что хотя значения отсчетов изображения являются действительными положительными числами, спектр Фурье - комплексный. Это одна из причин, по которой ДПФ не является лучшим преобразованием для сжатия изображений. Наиболее исследованным является широко применяемое в настоящее время дискретное косинусное преобразование (ДКП). Различаясь базисными функциями, эти преобразования различаются скоростью убывания спектральных коэффициентов с увеличением частот u,v.
Известны два метода отбора коэффициентов: зональный и пороговый. Первый заключается в том, что заранее, исходя из статистики изображений, в матрице спектральных коэффициентов выделяются зоны, и все спектральные коэффициенты, входящие в одну зону, квантуются на одно и то же число уровней, как показано в таблице 8.5.
Таблица 8.5 Распределение двоичных единиц кода между спектральными коэффициентами при зональном методе

	0	1	2	3	4	5	6	7
0	12	7	5	3	2	1	0	0
1	7	7	5	3	2	1	0	0
2	5	5	5	3	2	1	0	0
3	3	3	3	3	2	1	0	0
4	2	2	2	2	2	1	0	0
5	1	1	1	1	1	1	0	0
6	0	0	0	0	0	0	0	0
7	0	0	0	0	0	0	0	0

Второй заключается в том, что передаются спектральные коэффициенты, амплитуда которых превышает заранее установленный порог. Пороговый метод отбора требует кроме передачи значений спектральных коэффициентов записи адресов (индексов) этих коэффициентов.

1.