Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish usuli. 

Aniq integrallarni taqribiy hisoblash . 
 
6.1. Aniq integralni ta’rif bo‘yicha hisoblash.
Biz aniq integral ta’rifi va asosiy 
xossalarini o‘rgangan bo‘lsak ham, ammo hozircha faqat bitta 
f
(
x
)=1 o‘zgarmas funksiyadan [
a
,
b
] 
kesma bo‘yicha olingan aniq integral qiymatini bilamiz xolos. Bu yo‘nalishda yana bir misol 
sifatida
f
(
x
)=
x
funksiyadan [
a
,
b
] kesma bo‘yicha olingan 


b
a
xdx
I
aniq integralni uning ta’rifidan foydalanib hisoblaymiz. 
f
(
x
)=
x
funksiya [
a
,
b
] kesmada uzluksiz 
bo‘lgani uchun u integrallanuvchi, ya’ni 
I
aniq integral mavjud. Unda, ta’rifga asosan, [
a
,
b
] 
kesmani ixtiyoriy ravishda kichik [
x
i–1
,
 x
i
] kesmachalarga bo‘laklab va ulardan istalgan ξ
i
nuqtalarni 
tanlab, 
)
(
)
(
)
(
1
1
1









i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
x
x
x
f
f
S


integral yig‘indini hosil etib, uning 
n
→∞
,
 
maxΔ
x
i
→
0 bo‘lgandagi limitini topsak, bu limit qiymati 
doimo bir xil bo‘ladi va 
I
integral qiymatini ifodalaydi. Shu sababli biz [
a
,
b
] kesmani o‘zaro teng 
bo‘lgan 
n 
bo‘lakka ajratamiz. Bu holda hosil bo‘lgan har bir [
x
i–1
,
 x
i
] kesmachaning uzunligi bir xil 
va Δ
x
i
=
h
=(
b–a
)/
n
, ularning chegaralari esa 
x
i
=a+ih
, 
i
=0,1,2,∙∙∙, 
n
–1, 
n
kabi aniqlanadi.Har bir [
x
i–1
,
 
x
i
] kesmachalardan ξ
i
nuqta sifatida uning chap chegarasini, ya’ni ξ
i
=
x
i–1
(
i
=1,2,∙∙∙, 
n
) deb olamiz. 
Bu holda integral yig‘indi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: 










 








]
)
1
(
[
]
)
1
(
[
)
(
1
1
1
1
1
n
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
h
a
h
h
i
a
h
h
x
f
S


]
2
1
)[
(
]
2
)
1
(
[








n
n
a
b
a
a
b
n
n
h
na
h
. 
Bu yerdan, aniq integral ta’rifi va limit xossalariga asosan, 



















]
1
lim
2
)[
(
]
1
2
)[
(
lim
)
(
lim
n
n
a
b
a
a
b
n
n
a
b
a
a
b
f
S
I
n
n
n
n
2
2
)
(
2
2
a
b
a
b
a
b





natijani olamiz. Demak, 
2
2
2
a
b
xdx
b
a



. (1) 
Bu natijaga aniq integralning geometrik ma’nosidan foydalanib ham kelish mumkin. Haqiqatan 
ham, (1) aniq integral 
y=x
, 
x=a
, 
x=b
va 
y
=0 chiziqlar bilan chegaralangan 
aABb
trapetsiya (73-
rasmga qarang) yuzini ifodalaydi. Chizmadan ko‘rinadiki, bu trapetsiyaning balandligi 
H=b–a
, 
asoslari esa 
a
va 
b. 
Shu sababli 
2
)
(
2
2
2
2
a
b
a
b
b
a
H
b
a
S
xdx
I
aABb
b
a










. 

---

6.2.
 
Nyuton – Leybnits formulasi.
Oldingi natijalardan ko‘rinadiki, aniq integralni uning 
ta’rifi, ya’ni integral yig‘indining limiti orqali topish masalasi hatto oddiy 
y=x 
funksiya misolida 
ancha qiyinchilik bilan yechiladi. Shu sababli aniq integralni hisoblashning qulayroq, osonroq 
usulini topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala integral hisobning asosiy formulasi bo‘lmish 
Nyuton – Leybnits formulasi orqali o‘z yechimini topadi. 
у
=
f
(
х
) biror [
а
,
b
] kesmada uzluksiz 
funksiya bo‘lsin. Unda 
у
=
f
(
х
) bu [
а
,
b
] kesmada integrallanuvchi funksiya bo‘ladi. Bu yerdan 
ixtiyoriy 
x

[
а
,
b
] uchun 


x
a
dt
t
f
x
Ф
)
(
)
(
(2) 
aniq integral mavjud ekanligi kelib chiqadi. Bunda quyi chegara 
a
o‘zgarmas, yuqori chegara 
x
esa 
o‘zgaruvchi deb qaralsa, unda (2) tenglik [
а
,
b
] kesmada aniqlangan biror 
Ф
(
x
) funksiyani ifodalaydi 
va 
yuqori chegarasi o‘zgaruvchi integral
deb ataladi. Bu funksiya differensial va integral hisob 
orasidagi chuqur bog‘lanishni ifodalovchi quyidagi muhim xususiyatga ega.
1-TEOREMA: 
Agar (1) tenglikda 
f
(
x
) uzluksiz funksiya bo‘lsa , unda 
Ф
(
x
) funksiya 
differensiallanuvchi va 
)
(
)
)
(
(
)
(
x
f
dt
t
f
x
Ф
x
a





(3) 
tеnglik o‘rinli bo‘ladi. 
Izoh: 
Bu teoremadan (2) tenglik bilan aniqlangan 
Ф
(
х
) 
berilgan uzluksiz 
f
(
x
) funksiya uchun 
boshlang‘ich funksiya bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, har qanday uzluksiz funksiya uchun uning 
boshlang‘ich funksiyasi mavjud va uni (2) formula orqali topish mumkin ekan. 
2-TEOREMA:
Agar 
F
(
x
) uzluksiz 
f
(
x
) funksiyaning biror boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, 
u holda 
)
(
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
b
a
b
a




(4) 
tеnglik o‘rinlidir.
Izoh: 
(4) formulada 
F
(
x
) sifatida 
f
(
x
) funksiyaning ixtiyoriy bir boshlang‘ich funksiyasini 
olish mumkin. Bunga sabab shuki, 
f
(
x
) funksiyaning ixtiyoriy ikkita 
F
1
(
x
) va 
F
2
(
x
) boshlang‘ich 
funksiyalari bir – biridan faqat biror 
C 
o‘zgarmas son bilan farqlanadi va 
F
1
(
b
)–
F
1
(
a
)=
 F
2
(
b
)–
F
2
(
a
) 
bo‘ladi.
1-TA’RIF:
(4) tеnglik aniq integralni hisoblashning 
Nyuton-L
е
ybnits formulasi
deyiladi. 
Aniqmas va aniq integral tushunchalari bir-biriga bog‘liqmas ravishda kiritilgan edi. Aniqmas 
integral 
f
(
x
) funksiyaning boshlang‘ich funksiyalari sinfi singari , aniq integral esa 
f
(
x
) funksiyaning 
[
a
,
b
] kesma bo‘yicha integral yig‘indilarining limiti singari kiritilganligini eslatamiz. Ammo bu 
ikkala tushuncha orasida chambarchas bog‘lanish mavjudligi va ularning ikkalasi ham “integral” 
deb atalishi bejiz emasligini ko‘rsatish uchun Nyuton – Leybnits formulasini shartli ravishda 
quyidagicha yozamiz: 
b
a
b
a
b
a
b
a
dx
x
f
C
x
F
x
F
a
F
b
F
dx
x
f








)
(
]
)
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
(5) 
Demak, aniq integralni Nyuton – Leybnits formulasi bo‘yicha hisoblash uchun dastlab uning 
chegaralarini “unutib”, uni aniqmas integral singari qaraymiz va hisoblaymiz. So‘ngra chegaralar 
borligini “eslab”, aniqmas integralni hisoblangan ifodasiga 
x
o‘rniga yuqori chegara 
b
va quyi 

---

chegara 
a 
qiymatlarini qo‘yamiz. Natijada hosil bo‘lgan sonlar ayirmasini olib, berilgan aniq 
integral qiymatini topamiz. Bunda aniqmas integral javobidagi ixtiyoriy 
C
o‘zgarmas sonni hisobga 
olmasak ham bo‘ladi. 
Misol sifatida, 
f
(
x
)=
x
α
(α≠–1) darajali funksiyadan [
a
,
b
] kesma bo‘yicha olingan aniq 
integralni (4) Nyuton – Leybnits formulasi yordamida hisoblaymiz: 
1
1
1
1
1















a
b
x
dx
x
b
a
b
a
. 
Bevosita ta’rif bo‘yicha hisoblangan (1) natija bu yerdan α=1 bo‘lganda kelib chiqadi. 
6.3.Bo‘laklab integrallash usuli.
u=u
(
x
)
 
vа 
v=v
(
x
) diffеrеntsiallanuvchi funksiyalar bo‘lsin. 
Bu holda (
и
v
)′=
u
′
v
+
и
v
′ ekanligidan 
и
v
funksiya 
u
′
v
+
и
v
′ uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. Shu 
sababli, Nyuton – Leybnits formulasiga asosan, 
b
a
b
a
uv
dx
v
u
v
u





]
[
tenglikni yozish mumkin. Bu yerdan, aniq integralning II xossasi va 
u
′
dx=du
, 
v
′
dx=dv
ekanligidan 
foydalanib, ushbu natijalarni olamiz: 












b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
uv
udv
vdu
uv
dx
v
u
vdx
u
u
vd
uv
udv
b
a
b
a
b
a




(6)