Microsoft Word Kurs ishi hisoblash usullari docx

Tarmoq- lar	1	2	3	4
5
1	^a11	^a12	^a13	^a14	^a15
2	^a21	^a22	^a23	^a24	^a25
3	^a31	^a32	^a33	^a34	^a35
4	^a41	^a42	^a43	^a44	^a45
5	^a51	^a52	^a53	^a54	^a55

Bu jadvalda

a_ij (i, j  1,2,3,4,5)

lar bilan, i -tarmoqning j- tarmoqqa

yetkazib beradigan (ta`minlaydigan) mahsuloti miqdori belgilangan, chunonchi,

^a21 ^,

_a22 , ...,

^a25

lar 2-tarmoqning mos ravishda hamma tarmoqlarga;

^a31 <sup>,

a</sup>32 ^,

...,

_a35 lar esa 3-tarmoqning mos ravishda hamma tarmoqlarga yetkazib beradigan

mahsulotlari miqdorini bildiradi. o‘z ehtiyojlariga sarfini ifodalaydi.

^a22 <sup>,

a</sup>33

lar mos ravishda 2,3-tarmoqlarning

Yuqoridagiga o‘xshash ishlab chiqarish mezoni (normasi) axborotlari sistemasiga sonli misol qaraylik. Korxona 3 turdagi xom ashyo ishlatib 4 xildagi mahsulot ishlab chiqaradigan bo‘lsin, bunda xom ashyo sarfi normasi sistemasi 2- jadval bilan berilgan bo‘lsin.

2-jadval.

Xom ashyolar	Mahsulotlar
	1	2	3	4
1 2 3	2	3	2	0
	4	0	3	5
	3	5	2	4

2-jadvalda masalan, 1-turdagi xom ashyo sarfi normasi mos ravishda 1,2,3,4-xildagi mahsulotlar ishlab chiqarish uchun 2,3,2,0 bo‘ladi.

1 va 2 jadvallar, matematikada o‘rganiladigan matritsalar tushunchasining misollari bo‘la oladi. Matritsalar iqtisodiy izlanishlarda keng qo‘llanilmoqda, Hususan, ulardan foydalanish ishlab chiqarishni rejalashtirishni osonlashtirib, mehnat sarfini kamaytiradi, hamda rejaning har xil variantlarini tuzishni ixchamlashtiradi. Bundan tashqari har xil iqtisodiy ko‘rsatkichlar orasidagi bog’liklikni tekshirishni osonlashtiradi. Bu holatlar matritsalarni umumiy holda qarashga olib keladi.

1. 
   ta`rif. m ta satrli va n ta ustunli to‘g’ri burchakli tuzilgan jadval
   

m  n

ta elementdan

m  n o‘lchamli matritsa deyiladi. A matritsani qisqacha

(a_ij )

(i  1,..., m,

j  1,..., n)

bilan ham belgilash mumkin. Matritsalarda satrlar

soni ustunlar soniga teng bo‘lsa, bunday matritsalar kvadrat matritsa deb ataladi. Har bir n tartibli kvadrat matritsa uchun uning elementlaridan tuzilgan determinantni hisoblash mumkin, aytaylik, biror a, b, c, d sonlar berilgan bo‘lsin. Ushbu

ifoda 2-tartibli determinant, ad-bc ayirma esa uning qiymati deyiladi.

det A  0

bo‘lsa, A matritsaga maxsus matritsa,

det A  0

bo‘lsa, maxsusmas matritsa

deyiladi. Kvadrat matritsaning

a₁₁ , a₂₂ ,…, a_nn

elementlar joylashgan diagonali

bosh diagonal, elementlari joylashgan diagonali yordamchi diagonal deyiladi. Bosh diagonaldagi elementlar 0 dan farqli boshqa barcha elementlari 0 ga teng kvadrat matritsa diagonal matritsa deyiladi. Masalan,

matritsa diagonal matritsadir. Diagonldagi barcha elementlari 1 ga teng diagonal matritsa birlik matritsa deyiladi va

bilan belgilanadi.

Faqat bitta satrdan iborat a₁₁

deyiladi. Faqat bitta ustunga ega

^a12

^a13
a₁₄ 

matritsaga satr matritsa

matritsaga ustun matritsa deb ataladi.

Barcha elementlari 0 lardan iborat bo‘lgan matritsaga no‘l matritsa deyiladi ^{va O bilan belgilanadi. Agar biror noldan farqli} x ^{vektor uchun}
Ax   x
^{tenglik bajarilsa, u holda}  ^{son A kvadrat matritsaning xos soni deyiladi. Bu tenglikni qanoatlantiradigan noldan farqli} x ^{vektor A matritsaning}  ^{xos soniga} mos keladigan xos vektori deyiladi.

(1)

tenglama A matritsaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
(2)

ko‘phad A matritsaning xos yoki xarakteristik ko‘phadi deyiladi.

1. Krilov metodi

Ixtiyoriy noldan farqli vektorlarni xosil qilamiz.

_y 0 

vektor olamiz va

_y (k )

_{ A}k _y (0) _,

k  0, n

yoki

Keli-Gamilton munosabatini yozamiz:

vektor tenglama hosil qilinadi. Buni ochib yozaylik

(3)

(3) tenglamalar sistemasini misol uchun Gauss metodi bilan yechamiz va

p₁ , p₂ ,..., p_n ^{larni topamiz, natijada (2) xos ko‘phad qurilgan bo‘ladi, so‘ng}

^{tenglamani yechilib 1, 2, ...,} _n

D()  0 lar topiladi.

Endi xos vektorlarni topamiz. vektorlar orqali yoyib olamiz

_y (k ) _,

k  0, n 1

larni

_x ( i ) _,



i  1 , n

Quyidagi ko‘phadni tuzamiz

_y k  _,

k  0, n  1 vektorlarning quyidagi kombinatsiyasini tuzamiz

(5)

^Agar <sub>i

() </sub> D

   _i

i  1, n
^desak,  _i (
_j )  0,
i  j
bo‘lganligi uchun

bo‘ladi.

^q j,i

C_i _i ( _i )x^{i }  y ^(n1)  q_1,i y ^{n2 }  ...  q_n1,i y ^0

koeffitsientlar esa

i  1, n

^q0i ^q ji

 1,

^{ }i ^q j 1,i ^{ p} j

rekurrent formula yordamida topiladi.

Agar (3) tenglamalar sistemasini yechishda Gauss usulini to‘g‘ri yo‘lini ^m

ta qadami bajarilsa, u holda

_y (0) _{, y} 1_...y m1

vektorlar chiziqli erklidir. Shuning

uchun (3) tenglamalar o‘rniga quyidagi

tenglamalar sistemasini yechib

p₁ , p₂ ,..., p_m

lar topiladi va

tenglamadan

₁ ,  ₂ ,...,  _m

^m  p₁^m1  ...  p_m  0

larni topamiz.

^m  p₁^m1  ...  p_m

ko‘phad matritsaning minimal ko‘phadi deyiladi.

Xos vektor esa quyidagicha topiladi

,
bu yerda

_im  1

^im1 ^{ }i ^{ p}1

^im2

 ²  p   p

i 1 i 2
...

...

...

...

_i1  ^m1  p ^m2  ...  p

Misol 1.

i 1 i

m1

matritsaning xarakteristik ko‘phadi topilsin.

Yechish.

_y (0)

 (1,0,0,0)¹ ,

deb olamiz. U holda

_y (1)

_y (2)

_y (3)

_y (4)

_{ Ay} (0)

_{ Ay} (1)

_{ Ay} (2)

_{ Ay} (3)

₎1

	( 1,	2,	 2,	0
	( 9,	6,	0,	6
	( 3,	36,	30,	0
	( 129,	132,	30,	102

₎1

₎1

₎1 _.

Endi (3) tenglamalarni yozamiz


3P₁  9P₂  P₃  P₄

 129 _

36P

1

 6P₂

 2P₃

 132^




30P₁

 2P₃ 6P₂

 30 ^

 102 ^_

P₁  0, P₂

 17,

P₃  15,

P₄  9,

Misol 2.

Dx   ⁴  17 ²  15  9.

matritsaning xos son sonlari va xos vektorlari topilsin.

Yechish.

y ⁽⁰⁾  (1,0,0)¹

deb

_y (1)

 5,3,3¹ ,

_y (2)

  29,15,15¹ ,

_y (3)

 125,63,63¹

larni hosil qilamiz va (3) sistemani yozamiz

 29 p₁

.  15 p₁

 15 p₁

 5 p₂

 3 p₂

 3 p₂

• 
  p₃
  

 125

 63

 63 _.

Bu sistemani yechishda Gauss usulining uchinchi qadami bajarilmaydi, chunki 2

va 3-tenglamalar bir xil, demak

_y 0

_y 1

_y 2

_y 3

lar chiziqli bog‘liq.

_y0

_y1

_y 2

larga bog‘liq

5 p₁ 
^{p2  29}_



3 p₁

 15 ^_

sistemani tuzamiz. Bundan

p₁  5,

p ₂  4

bo‘ladi.

²  5  4  0

deb

₁  4,

 ₂  1

^{ni topamiz.}  ₃

ni topish uchun, bizga ma’lum

^a11 ^{ a} 22

munosabatdan foydalanamiz

 a₃₃

 ₁   ₂

  ₃

5  14  25  4  1   ₃

 6  5   ₃
 ₃  1_.
Endi xos vektorlarni topamiz:

_x3

ni topish uchun

_y 0 

vektorni boshqacha tanlash kerak.

2. Danilevskiy metodi

Berilgan matritsa o‘xshash almashtirish yordamida Frobenius

normal ko‘rinishiga keltiriladi. Ma’lumki, P matritsaning xarakteristik ko‘phadi

1 n
P()  ⁿ  p ^n1  ...  p ^{bo‘ladi [1].}

hosil qilinadi, so‘ng

A⁽²⁾ ,…,

_A( n1) _{ P}

hosil bo‘ladi.

Har qadamdagi o‘ngdan va chapdan ko‘paytiriladigan matritsalarni ko‘rinishini yozamiz

va hokazo. Natijada A matritsa Frobenius normal ko‘rinishiga keladi.

S  M _{n 1} M _{n  2} …M ₂  M ₁ ^.

Danilevskiy usulida xos vektor x quyidagicha topiladi:

x  M _{n 1} M _{n  2} … M ₂  M ₁ y

bu yerda

bo‘lib, u P matritsaning xos vektoridir.
Danilevskiy metodidagi noregulyar hol. Danilevskiy metodining n  k  

qadami bajarilgan bo‘lsin va

_A n  k 

) matritsa¬ning

(n  k )


a
k , k 1

elementi nolga teng

bo‘lsin. Navbatdagi n  k  1 qadamni odatdagidek bajarib bo‘lmaydi. Bunda

agar

_A(nk )

matritsaning

(nk )


a
k , k 1

elementidan hamda, masalan,

i  element

(i  k 1)
( nk )


a

 0
ki

bo‘lsa, k 1  ustunni

i  ustun bilan almashtiramiz va

xuddi shu nomerli satrlarni almashtirib yozamiz. Bunday almashtirishdan so‘ng odatdagidek Danilevskiy usulini davom ettiramiz. Faraz qilaylik,

bo‘lsin. U holda

A^{nk } quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘ladi

Bu yerda

_P nk 

Frobenius normal formasiga ega bo‘lgan n  k  1

tartibli

kvadrat matritsadir.

_B nk 

esa k 1  tartibli kvadrat matritsa bo‘lib, uni

odatdagidek Danilevskiy usuli bilan Frobenius normal ko‘rinishga keltirish mumkin.


Misol. Matritsaning xos son va xos vektorlari topilsin.

Yechish.

A(1) matritsada

(1)


a
32

 0,

shuning uchun A(1) matritsaning 1- va 2-ustunlarini,

so‘ng 1- va 2-satrlarni almashtirib yozamiz. Bu amallarni bajarish matritsasini keltiramiz:

Natijada quyidagini hosil qilamiz:

Xulosa
Men ushbu kurs ishida “Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash” mavzusini o‘rgandim, unda matritsa, matritsaning tartibi, matritsaning determinanti, nol matritsa, birlik matritsa, matritsanining xos son va xos vektorlari, matritsaning xarakteristik tenglamasi, matritsaning xos yoki xarakteristik ko‘phadi, matritsaning minimal ko‘phadi, matritsanining xos son va xos vektorlarini amaliy hisoblashda Krilov, Danilevskiy, Lavere metodlarini va moduli bo‘yicha eng katta xos sonni va unga mos xos vektorni topishni o‘rgandim. O‘rgangan metodlarni amaliy jihatdan Ms Excel va Microsoft Equation 3.0 dasturlarini tuzdim.

Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Isroilov M.I. Hisoblash metodlari, I. Toshkent, O‘qituvchi, 2000.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. –

М., Наука, 1970.

3. Копченова И.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах

и задачах. –М., Наука, 1972. – 368 с.

4. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные

методы, том I. –М., Наука, 1976.

5. www.google.uz

- -