həqiqi kökü yoxdur.
n=2 olduqda kökün dərəcəsi yazılmır, şəklində yazılır.
olduğundan mənfi ədədin cüt dərəcədən
Verilən təriflərdən aydın olur ki, 1) istənilən mənfi olmayan a həqiqi ədədinin n-ci dərəcədən yeganə hesabi kökü var və bu kök cəbri köklə üst-üstə düşür; 2) istənilən mənfi a həqiqi ədədinin tək ( n=2k+1) dərəcədən yeganə mənfi cəbri kökü var.
Hesabi kökün xassələri.
n və m natural ədədlər, a və b mənfi olmayan istənilən həqiqi ədədlər olduqda aşağıdakı xassələr doğrudur.
nm
1. =
· . 2.
= , (b 0) . 3.
= a .
4. nk amk
= n am , ( k N , k 2) . 5.
= (n a )m . 6.
a < b olarsa, < .
7. İstənilən a həqiqi ədədi üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:
=
a ,
n = 2k
olduqda,
Qeyd. Yadda saxlamaq lazımdır ki, istər hesabi kökün dərəcəsi, istər cəbri kökün dərəcəsi 1-dən böyük natural ədədlərdir.
Rasional üstlü qüvvət və onun xassələri
m
Tərif. a istənilən müsbət ədəd, m tam, n natural ədəd olduqda a n
m
ifadəsinə rasional üstlü qüvvət deyilir və
a n = n am kimi hesablanır.
1
Verilən tərifə görə: a n
m
= n a ;
m
m
1 n = 1; qüvvətin əsası a=0 olarsa, onda rasional üstlü qüvvətin yalnız qüvvətin
üstü
> 0 olduqda mənası olur:
n
0 n = 0 .
m qüvvətin üstünün müəyyən qiymətlərində a istənilən mənfi ədəd olduqda rasional üstlü qüvvəti təyin etmək
n
olar. Belə ki,
m = m
(k N ) və ya
m = 2 k
(k Z )
n 2 k + 1 n n
m
olduqda a n rasional üstlü qüvvətinin a-nın mənfi qiymətlərində də mənası var. Ancaq xüsusi olaraq qeyd edək ki,
məktəb riyaziyyatında rasional üstlü qüvvətin əsasını müsbət qəbul edirlər.
2
Məsələn. 1.
8 3 = 3 8 2
= 3 642
= 3 43
= 4 .
3
2. 81 4
= (4 81)3
= 4 34
= 3 3 = 27 . 3.
– 5 1
9 2 =
1 1 = 3 5 .
9 2 3
5
Rasional üstlü qüvvətin xassələri. Tutaq ki, a və b müsbət həqiqi ədədlər, p və q rasional ədədlərdir. Onda aşağıdakı bərabərliklər doğrudur.
aq a p a p
1. a p aq = a p+q . 2.
(a b) p = a p b p . 3.
= aq p . 4.
(a p )q = a pq .
5. = .
a p b b p
6. Əgər
0 < a < b və
p > 0
olarsa, onda
a p < b p ; əgər
0 < a < b ,
p < 0 olarsa,
a p > b p ; əgər
0 < a < 1 və
p > q
olarsa, onda a p < aq .
İrrasional üstlü qüvvət və onun xassələri
a müsbət həqiqi ədəd, p irrasional ədəd olduqda a p
ədədi üçün mənası var.
ifadəsi irrasional üstlü qüvvət adlanır və istənilən p irrasional
a p irrasional üstlü qüvvətin qiymətinin hesablanması.
a = 1 olarsa, p irrasional ədədi üçün 1p = 1 .
a = 0, p > 0 irrasional ədədi üçün
0 p = 0 .
a = 0, p < 0 olduqda
0 p -ifadəsinin mənası yoxdur.
Tutaq ki,
r1 r2 ... rn ... ədədlərinin n
olduqda limiti
p irrasional ədədinə bərabərdir. Onda
a > 0, a 1
həqiqi və p
irrasional ədədi üçün
a p irrasional üstlü qüvvətin qiyməti
n
olduqda
a r1 , ar2 , ..., arn ...
ardıcıllığının limitinə bərabər olan qiyməti başa düşülür:
p = lim r
olduqda
a p = lim arn .
n+ n
n+
Rasional üstlü qüvvətin 1-6 xassələri irrasional üstlü qüvvət üçün də döğrudur.
Məlum olduğu kimi rasional və irrasional ədədlər çoxluqlarının birləşməsi həqiqi ədədlər çoxluğunu əmələ
gətirir. Deməli, istənilən x həqiqi ədədi və a müsbət həqiqi ədədi üçün a x ifadəsinin mənası var. Ona görə də rasional və
irrasional üstlü qüvvət anlayışlarını birləşdirərək həqiqi üstlü qüvvət anlayışı daxil edilir.
Rasional üstlü qüvvətin 1-6 xassələri həqiqi üstlü qüvvət üçün də döğrudur.
Ədədin loqarifması
a > 0 ( a 1), b > 0, c -istənilən həqiqi ədəd olduqda b = ac
bərabərliyindən qüvvətin əsası a və c verildikdə b-ni,
həmçinin b və c verildikdə qüvvətin əsası a-nın tapılması qaydaları ilə tanışıq. İndi isə a və b verildikdə c-nin (qüvvət üstünün) tapılması əməli ilə tanış olaq.
Qüvvətin əsası və qüvvətin qiyməti verildikdə qüvvət üstünün tapılması əməli loqarifma adlanır.
Tərif. Müsbət b ədədini almaq üçün müsbət müsbət a
(a 1) ədədinin yüksəldildiyi qüvvət üstünə b ədədinin a
əsasına görə loqarifması deyilir və log a b
kimi işarə edilir.
Loqarifmaya verilən tərifə görə b = ac
Buradan
isə, onda с = log a b .
b = ac b = a loga b .
bərabərliyi alınır. Bu bərabərlik əsas loqarifmik eynilik adlanır.
Məsələn, 27 = 3 x bərabərliyindən x=3. Loqarifmaya verilən tərifə görə x = log 3 27 = 3 .
Onluq və natural loqarifma. Elmi-texniki hesablamalarda əsasən onluq və natural loqarifmadan istifadə edilir. Əsası 10 olan loqarifmaya onluq loqarifma deyirlər. Loqarifmanın log 10 b ümumi yazılışından fərqli olaraq,
onluq loqarifma qısa olaraq lg b kimi yazılır.
Riyaziyyatda iki məşhur ədədlərdən biri e ədədidir. e irrasional ədədidir və e=2,7182818284 Əsası e ədədi
olan loqarifmaya natural loqarifma deyirlər və qısa olaraq log e b əvəzinə ln b kimi yazılır.
Loqarifmanın xassələri.
Loqarifmik ifadələrin çevrilməsində, hesablanmasında, həmçinin loqarifmik tənliklərin, bərabərsizliklərin həllində loqarifmanın xassələrindən istifadə edilir.
a > 0 (a 1), x > 0, y > 0 olduqda aşağıdakı bərabərliklər doğrudur.
Ədədin öz əsasına görə loqarifması 1-ə bərabərdir: loga a = 1.
Loqarifması 1-ə bərabər ədəd onun əsasına bərabərdir, yəni
log a x = 1 olarsa, x=a.
Vahidin istənilən əsasa görə loqarifmi o-a bərabərdir: loga 1 = 0 .
a > 1, b > 1 olarsa, loga b > 0 ; a > 1, b < 1 olarsa, loga b < 0 ; a < 1, b > 1 olarsa, loga b < 0 ; a < 1, b < 1 olarsa, loga b > 0 .
a log a b1b2 ...bk
= b1b2
... bk .
a
log b
a a
c =
log a b
= b .
a log a c c
log a xy = log a x + log a y
(hasilin loqarifması).
loga
x = log
y a
x log a
y ( nisbətin loqarifması).
log a x p = p log a x
( qüvvətin loqarifması; burada p istənilən həqiqi ədəddir).
log aq
x = 1 log x q a
(burada q istənilən həqiqi ədəddir).
logaq
x p = p log
q a
x (burada p və q istənilən həqiqi ədəddir).
log
x = log c x
(burada c > 0, c 1 ). Bu, bir əsasdan başqa əsasa keçmə düsturdür.
c
a log a
log a
x = 1 log x a
(x 1) . Yəni log a
x və log x
a qarşılıqlı tərs ədədlərdir.
Bu xassələri müstəqil isbat edin.
Ədədi bərabərliklər və xassələri
İstənilən iki a və b həqiqi ədədlərinin müqayisəsində üç haldan biri doğrudur: 1) a=b; 2)
a > b ; 3)
a < b .
Birinci halda ədəd oxu üzərində bu ədədlər bir nöqtə ilə işarə edilir. İikinci halda b ədədi a ədədindən solda yerləşir. Üçüncü halda b ədədi a ədədindən sağda yerləşir.
Ədədi bərabərliklərin xassələr. Əgər iki a və b həqiqi ədədləri a= b bəabərlik işarəsi ilə bir-birinə bağlanarsa, onda ədədi bərabərlik verilmişdir deyilir.
Tutaq ki, a, b, c və d istənilən həqiqi ədədlərdir. Ədədi bərabərliklər üçün aşağıdakı xassələr doğrudur.
a = b b = a (kommutativlik xassəsi).
a = b, b = c a = c (tranzitivlk xassəsi).
a = b, c = d a + c = b + d .
a = b, c = d a c = b d .
a = b a + c = b + c .
6. a = b a c = b c ( c 0) .
7. a = b ( a 0, b 0) an = bn ( n N ) .
Do'stlaringiz bilan baham: |