Microsoft Word doc

разделах
 
физики
. 
Рассмотрим
его
применение
в
классической
механике
. 
Предположим
, 
что
некоторое
тело
массой
т
 
движется
без
трения
по
поверхности
, 
профиль
которой
представлен
на
рис
. 4.3 
кривой
h(x). 
Потенциальная
энергия
этого
тела
U = mgh, 
где
g – 
ускорение
силы
тяжести
. 
Так
как
U 
и
h 
пропорциональны
друг
другу
, 
то
подбором
масштаба
всегда
можно
совместить
графики
функций
U(
х
)
 
и
h(x), 
что
и
осуществлено
на
рис
. 4.3. 
При
решении
задачи
о
движении
тела
в
потенциальном
поле
можно
использовать
лишь
кривую
 
U(
х
)
. 
Подобные
кривые
называются
потенциальными
 
кривыми
. 
Участок
графика
вблизи
точки
С
 
называется
потенциальной
 
ямой
,
 
а
вблизи
точки
D –
потенциальным
 
барьером
. 
На
рис
. 4
.3 
представлена
плоская
кривая
U(x). 
С
помощью
подобных
кривых

---

75 
можно
рассматривать
одномерные
задачи
. 
Понятие
о
потенциаль
-
ных
ямах
и
барьерах
остается
справедливым
для
двух
- 
и
трехмер
-
ных
задач
. 
Рис
. 4.3. 
Зависимость
потенциальной
энергии
тела
от
координаты
U(x), 
совмещенная
с
профилем
поверхности
h(
х
), 
по
которой
тело
движется
Если
трение
в
рассматриваемой
системе
отсутствует
, 
то
полная
энергия
Е
 
при
движении
тела
т
 (
см
. 
рис
. 4.3) 
сохраняется
и
можно
записать
2
2
k
mv
E
U
E
mgh
= +
=
+
.
(4.10) 
Метод
 
потенциальных
 
кривых
 
позволяет
(
при
 
заданных
 
Е
, 
U(x) 
и
 
т
) 
определить
 
значение
 
кинетической
 
энергии
, 
скорость
 
тела
, 
действующую
 
на
 
него
 
силу
 
и
 
его
 
ускорение
 
в
 
каждой
 
точ
-
ке
 
х
, 
а
 
также
 
область
 
значений
 
х
, 
в
 
пределах
 
которой
 
тело
 
может
 
двигаться
. 
Подобные
задачи
рассматривались
в
курсе
физики
средней
школы
. 
Для
дальнейшего
важно
уяснить
, 
какую
роль
играют
потенциальные
барьеры
и
потенциальные
ямы
в
поведении
частиц
, 
подчиняющихся
законам
квантовой
механи
-
ки
. 
Тело
, 
подчиняющееся
 
законам
 
классической
 
механики
, 
спо
-

---

76 
собно
 
преодолеть
 
потенциальный
 
барьер
, 
если
 
его
 
полная
 
энер
-
гия
 
превышает
 
потенциальную
 
энергию
 mgh
m 
на
«
вершине
» 
барьера
 (
точка
 D). 
Например
, 
если
тело
без
начальной
скорости
(
и
трения
) 
начинает
свое
движение
под
действием
силы
тяжести
от
точки
А
, 
где
его
полная
энергия
Е
1
= 
mgh
1
> 
mgh
m
, 
то
оно
пре
-
одолеет
потенциальный
барьер
и
окажется
в
области
значений
х
правее
точки
х
т
. 
Если
 
же
 
тело
 
начинает
 
движение
 
от
 
точки
 
В
, 
где
 
его
 
полная
 
энергия
 
Е
2
 = mgh
2
 < mgh
m
, 
то
 
вправо
 
за
 
точкой
 
С
 
оно
 
сможет
 
переместиться
 
только
 
до
 
точки
 
х
 = 
х
" 
и
, 
не
 
нару
-
шая
 
закон
 
сохранения
 
энергии
, 
не
 
сможет
 
преодолеть
 
потенци
-
альный
 
барьер
 D. 
Его
движение
вдоль
оси
х
будет
ограничено
точ
-
ками
х
' 
и
х
". 
Между
этими
точками
тело
будет
совершать
незату
-
хающие
колебания
(
в
отсутствие
трения
). 
Все
точки
в
указанном
интервале
равнодоступны
для
движущегося
тела
. 
Совершенно
 
иначе
 
ведет
 
себя
 
тело
, 
подчиняющееся
 
за
-
конам
 
квантовой
 
механики
. 
Для
 
него
 
имеется
 
отличная
 
от
 
нуля
 
вероятность
 
проникнуть
 
за
 
барьер
 
и
 
при
 
условии
, 
когда
 
полная
 
энергия
 
тела
 
меньше
 
высоты
 
потенциального
 
барьера
. 
Такой
 
квантовомеханический
 
эффект
 
называется
 
туннель
-
ным
. 
С
точки
зрения
классической
физики
он
нарушает
закон
сохранения
энергии
. 
При
этом
«
дефицит
» 
энергии
тела
в
точке
х
т
2
m
E
U
E
∆ =
−
. 
Однако
в
соответствии
с
соотношением
неопре
-
деленностей
(4.6) 
такой
дефицит
энергии
допустим
в
течение
времени
(
)
2
t
E
∆ =
∆
=
. 
Если
за
это
время
частица
туннелирует
сквозь
барьер
, 
то
закон
сохранения
энергии
не
нарушается
. 
После
туннелирования
(
в
точке
В
") 
у
частицы
сохраняется
та
же
энергия
, 
что
и
до
туннелирования
(
в
точке
В
'). 
Туннельный
 
эффект
 
в
 
микромире
 
достаточно
 
распростра
-
нен
. 
Он
 
лежит
 
в
 
основе
 
действия
 
туннельного
 
диода
, 
α
-
радио
-
активности
, 
термоядерного
 
синтеза
 
легких
 
элементов
. 
Использу
-
ется
 
он
 
и
 
в
 
фотонике
. 
Тело
, 
подчиняющееся
 
законам
 
классической
 
физики
, 
дви
-
жущееся
 
в
 
потенциальной
 
яме
(
см
. 
рис
. 4.3), 
имеет
 
непрерыв
-
ный
 
энергетический
 
спектр
, 
т
.
е
. 
его
 
энергия
 
Е
 
изменяется
 
не
-

---

77 
прерывным
 
образом
. 
Энергетический
 
спектр
 
частицы
 
в
 
потен
-
циальной
 
яме
 
нано
- 
и
 
атомарных
 
размеров
 
дискретен
. 
Этот
 
квантовый
 
эффект
 
лежит
 
в
 
основе
 
функционирования
 
многих
 
наноструктур
. 
Конфигурации
реальных
потенциальных
ям
и
барьеров
в
микромире
зависят
от
геометрических
особенностей
тех
по
-
лей
, 
которые
образуют
эти
ямы
. 
Например
, 
потенциальная
яма
для
электрона
, 
движущегося
в
электрическом
кулоновском
поле
ядра
атома
водорода
, 
представлена
на
рис
. 4.2, 
а
. 
4.6. 
Микрочастица
 
в
 
прямоугольной
потенциальной
 
яме
 
Поведение
микрочастицы
в
потенциальной
яме
строго
опи
-
сывается
с
помощью
уравнения
Шрёдингера
. 
Это
уравнение
яв
-
ляется
дифференциальным
; 
для
его
решения
необходимо
знать
, 
как
зависит
потенциальная
энергия
микрочастиц
от
координат
, 
т
.
е
. 
должна
быть
задана
функция
U(x). 
Здесь
и
далее
будем
пред
-
полагать
, 
что
эта
функция
не
зависит
от
времени
(
микрочастица
находится
в
стационарном
поле
). 
Для
выяснения
основных
осо
-
бенностей
поведения
микрочастицы
в
потенциальной
яме
доста
-
точно
рассмотреть
яму
простейшей
прямоугольной
формы
(
рис
. 4.4, 
а
). 
Ширина
ямы
обозначена
l, 
глубина
– 
U
0
. 
Ширина
барьеров
, 
ограничивающих
потенциальную
яму
, 
бесконечна
. 
Глубина
ямы
может
изменяться
от
некоторого
конечного
значе
-
ния
до
бесконечности
(
когда
яму
можно
считать
неограниченно
глубокой
). 
Ширину
ямы
будем
варьировать
от
микро
- 
до
макро
-
размеров
. 
Решение
уравнения
Шрёдингера
дает
возможность
опре
-
делить
энергетический
спектр
рассматриваемой
микрочастицы
, 
т
.
е
. 
полный
набор
значений
ее
энергии
Е
,
 
и
волновую
функцию
Ψ
(
х
), 
квадрат
модуля
которой
( )
2
x
Ψ
является
плотностью
ве
-
роятности
обнаружить
микрочастицу
в
точке
х
. 

---

78 
Рис
. 4.4. 
Одномерная
потенциальная
яма
: 
а
 – 
энергетический
спектр
микрочастицы
в
потенциальной
яме
(
приведены
три
энергетических
уровня
Е
1
, 
Е
2
, 
Е
3
);  
б
 – 
волновые
функции
Ψ
n
для
трех
состояний
(
п
 = 1, 2, 3) 
микрочастицы
в
потенциальной
яме
(
пунктир
для
бесконечно
глубокой
ямы
) 
Для
микрочастицы
в
одномерной
 
прямоугольной
 
потен
-
циальной
 
яме
 
энергия
оказывается
квантованной
и
может
быть
представлена
приближенным
соотношением
2
2
2
2
π
2
n
E
n
ml
= −
=
,
(4.11) 
где
n = 1, 2, 3,... – 
квантовое
число
; 
т
 – 
масса
частицы
. 
Из
формулы
(4.11) 
следует
, 
что
энергетический
спектр
мик
-
рочастицы
в
потенциальной
яме
дискретен
, 
и
расстояние
между
соседними
энергетическими
уровнями
(
n 
и
n – 1) 
(
)
2
2
,
1
2
π
2
1
2
n n
E
n
ml
−
∆
=
−
=
.
(4.12) 
Можно
показать
также
, 
что
на
ширине
ямы
l 
укладывается
примерно
целое
число
полуволн
де
Бройля
: 
λ
2
n
l
n
≈
. 
 
(4.13) 

---

79 
Для
бесконечно
глубокой
ямы
формулы
(4.11)–(4.13) 
ста
-
новятся
точными
. 
В
таком
случае
волновая
функция
выражается
через
тригонометрические
функции
: 
через
косинусы
при
нечет
-
ном
п
 (
п
 = 1, 3, 5): 
1
3
2
π
2
3
π
cos
,
cos
x
x
l
l
l
l


Ψ =
Ψ =






и
через
синусы
при
четном
п
:
 
2
2
2
π
sin
, ... ,
x
l
l


Ψ =






что
и
представлено
на
рис
. 4.4, 
б
пунктирными
кривыми
. 
На
ри
-
сунке
видно
, 
что
в
рассматриваемом
случае
амплитуда
волны
де
Бройля
в
точках
х
= 
± l/2 
обращается
в
нуль
. 
Следовательно
, 
при
U
0
→∞
 
микрочастица
не
может
проникнуть
внутрь
барьера
и
выйти
за
пределы
ямы
. 
Если
глубина
ямы
конечна
, 
то
ампли
-
туда
волны
де
Бройля
в
точках
х
 = 
± l/2 
не
обращается
в
нуль
при
любых
п
 
и
имеет
продолжение
внутри
барьера
. 
На
рис
. 4.4, 
б
и
4.5 
это
представлено
сплошными
кривыми
в
заштрихованных
областях
. 
Иными
словами
, 
микрочастица
в
по
-
тенциальной
яме
конечной
глубины
U
0
 
может
проникать
в
глубь
барьера
при
энергиях
Е
,
 
меньших
U
0
,
 
что
противоречит
закону
сохранения
энергии
и
не
наблюдается
в
макромире
. 
На
рис
. 4.5 
представлена
плотность
вероятности
обнару
-
жения
микрочастицы
, 
обладающей
энергиями
E
1
 E
2 
и
Е
3
 
в
точке
с
координатой
х
,
 
что
выражается
как
( )
2
1
,
x
Ψ
( )
2
2
x
Ψ
 
и
( )
2
3
.
x
Ψ
 
Обсудим
теперь
особенности
поведения
микрочастицы
в
потенциальной
яме
. 
Во
-
первых
, 
энергетический
спектр
такой
частицы
дискре
-
тен
, 
а
ее
минимальная
энергия
не
равна
нулю
(
Е
1
>0); 
энергия
E
1
 
называется
нулевой
и
часто
обозначается
Е
0
. 
Наличие
нулевой

---

80 
энергии
свойственно
любым
квантовым
системам
: 
физическому
вакууму
, 
кваркам
в
адронах
, 
нуклонам
в
ядрах
атомов
, 
электро
-
нам
в
атомах
, 
атомам
в
молекулах
и
кристаллах
. 
Из
форму
-
лы
(
4
.11) 
следует
, 
что
при
l
→∞
и
/
или
т
→∞
, 
E
1
= 
Е
0
→
0, 
т
.
е
.
ну
-
левая
энергия
становится
равной
нулю
, 
что
характерно
для
мак
-
росистем
, 
подчиняющихся
законам
классической
физики
. 
Если
l
→∞
и
/
или
т
→∞
, 
то
при
любом
конечном
п
 
расстояния
между
соседними
энергетическими
уровнями
частицы
в
яме
стремятся
к
нулю
(4.12), 
т
.
е
. 
дискретный
энергетический
спектр
преобразует
-
ся
в
сплошной
, 
что
свойственно
макросистемам
.
Рис
. 4.5. 
Плотность
вероятности
( )
2
x
Ψ
обнаружить
микрочастицу
в
различных
точках
х
для
случая
потенциальной
ямы
конечной
глубины

---

81 
Наконец
, 
из
рис
. 4.5 
следует
, 
что
вероятности
обнаружить
микрочастицу
в
различных
точках
внутри
ямы
существенно
неоди
-
наковы
. 
Имеются
точки
, 
вероятность
«
посещения
» 
которых
час
-
тицей
максимальна
. 
Они
называются
пучностями
(
х
п
).
 
Имеются
и
такие
точки
, 
в
которых
частица
не
бывает
, – 
узлы
(
х
у
).
 
Такое
поведение
совершенно
не
свойственно
макрочастицам
. 
Для
дальнейшего
особенно
важно
то
, 
что
вероятность
про
-
никновения
микрочастицы
в
область
барьера
(|
x| > l/2) 
не
равна
нулю
, 
а
лишь
постепенно
убывает
с
увеличением
расстояния
от
границы
барьера
(
заштрихованные
области
на
рис
. 4.5). 
Если
ши
-
рина
барьера
не
бесконечна
, 
то
имеется
отличная
от
нуля
вероят
-
ность
проникновения
микрочастицы
за
пределы
барьера
(
тун
-
нельный
эффект
). 
Туннельный
эффект
лежит
в
основе
действия
многих
схемных
элементов
наноэлектроники
. 
Поэтому
рассмот
-
рим
особенности
этого
эффекта
более
подробно
.