Microsoft Word doc

разделенные
вакуумом
. 
В
природе
все
три
вида
переноса
теплоты
осуществляют
-
ся
одновременно
. 
Их
совокупность
называют
сложным
 
тепло
-
обменом
. 
Виды
сложного
теплообмена
: 
– 
радиационно
-
кондуктивный
 
теплообмен
 
представляет
со
-
вокупность
теплообмена
излучением
и
теплопроводностью
; 
– 
радиационно
-
конвективный
 
теплообмен
включает
все
три
способа
переноса
теплоты
; 
– 
теплоотдача
 – 
это
теплообмен
между
текучей
средой
и
твердой
поверхностью
тела
; 
– 
теплопередача
 – 
это
теплообмен
между
двумя
жидкими
или
газообразными
средами
, 
разделенными
твердой
стенкой
. 
Процесс
переноса
тепла
в
сложном
теплообмене
всегда
сопровождается
переносом
массы
, 
поэтому
говорят
о
явлениях
тепломассообмена
. 
Процесс
теплопроводности
подчиняется
закону
 
Фурье
, 
в
соответствии
с
которым
плотность
 
теплового
 
потока
(
коли
-
чество
 
теплоты
 dQ, 
проходящей
 
через
 
площадку
 dS 
за
 
время
 dt) 
пропорциональна
 
температурному
 
градиенту

---

377 
т
grad
.
T
q
k
n
k T
k
T
n
∂
= −
= − ∇ = −
∂
G
G
(13.1) 
Коэффициент
пропорциональности
k 
называется
коэффи
-
циентом
 
теплопроводности
. 
т
2
Вт м
Вт
,
.
м К
м К
q
k
T
n


=
⇒


∂ ∂
⋅


(13.2) 
Коэффициент
теплопроводности
является
важнейшим
теплофизическим
свойством
веществ
и
характеризует
плот
-
ность
теплового
потока
при
единичном
температурном
гради
-
енте
. 
Знак
«
минус
» 
отражает
противоположность
направлений
векторов
плотности
теплового
потока
и
температурного
гради
-
ента
, 
т
.
е
. 
плотность
теплового
потока
возрастает
в
соответст
-
вии
со
вторым
законом
термодинамики
в
направлении
умень
-
шения
температуры
. 
При
конвективном
тепломассообмене
перенос
теплоты
неразрывно
связан
с
переносом
массы
. 
Если
текучая
среда
плот
-
ностью
ρ
[
кг
/
м
3
] 
движется
в
направлении
оси
x 
со
скоростью
u
x 
[
м
/
с
], 
то
ее
массовая
скорость
характеризует
массу
среды
, 
про
-
ходящей
в
единицу
времени
через
единичную
площадку
: 
3
2
кг м
кг
ρ
м с
м с
x
u


⇒




.
(13.3) 
Теплосодержание
среды
может
быть
выражено
через
массо
-
вую
теплоемкость
(
)
Дж кг К
c

⋅



и
температуру
Т
: 
Дж К
Дж
.
кг К
кг
cT
⋅


⇒


⋅


(13.4) 
Плотность
 
теплового
 
потока
, 
определяемая
 
конвекцией
, 
равна
 
произведению
 
массовой
 
скорости
 
на
 
теплосодержание
, 

---

378 
к
2
2
кг Дж
Вт
ρ
м с кг
м
x
q
u cT


=
⇒




.
(13.5) 
Конвекция
всегда
сопровождается
теплопроводностью
, 
поэтому
общая
плотность
теплового
потока
при
конвективном
тепломассообмене
т
к
ρ
.
q
q
q
k T
ucT
=
+
= − ∇ +
G
G
G
G
(13.6) 
Нагретая
поверхность
является
источником
теплового
из
-
лучения
, 
плотность
теплового
потока
которого
определяется
законом
Стефана
–
Больцмана
, 
в
соответствии
с
которым
плот
-
ность
 
потока
 
поверхностного
 
излучения
 
тела
 
пропорциональна
 
его
 
абсолютной
 
температуре
 
в
 
четвертой
 
степени
. 
4
и
ε σ
,
q
T
=
(13.7) 
где
σ
= 5,67
⋅
10
–8 
Вт
/(
м
2
⋅
К
4
) 
−
постоянная
Стефана
–
Больцмана
; 
ε
– 
степень
черноты
излучающей
поверхности
(0 < 
ε
< 1). 
13.3. 
Перенос
 
тепла
 
теплопроводностью
 
В
 
закрытой
физической
системе
, 
в
которой
не
происходит
фазовых
переходов
, 
отношение
между
температурой
и
количе
-
ством
тепла
выражается
соотношением
d
d ,
Q
mc T
=
(13.8) 
где
m – 
масса
; 
с
– 
удельная
массовая
теплоемкость
. 
Однако
в
случае
реальных
взаимодействий
лазерного
излу
-
чения
с
веществом
необходимо
учитывать
потери
тепла
, 
которые
происходят
вследствие
теплопроводности
, 
конвективного
 
теп
-
лообмена
 
и
 
теплового
 
излучения
. 
Температура
является
основной
физической
величиной
, 
ха
-
рактеризующей
все
тепловые
взаимодействия
света
с
материа
-
лом
. 
Основной
задачей
теории
теплопроводности
является
опре
-

---

379 
деление
и
изучение
пространственно
-
временного
изменения
тем
-
пературы
, 
Т
 = f(x, y, z, t); x, y, z – 
пространственные
прямоуголь
-
ные
координаты
, t – 
время
. 
Совокупность
значений
температур
для
всех
точек
про
-
странства
в
данный
момент
времени
t 
называется
температур
-
ным
 
полем
. 
Если
температура
является
функцией
только
от
ко
-
ординат
, 
то
поле
является
стационарным
. 
Если
же
температура
также
зависит
от
времени
, 
поле
будет
нестационарным
. 
Дифференциальное
уравнение
теплопроводности
связыва
-
ет
пространственное
распределение
температуры
Т
с
изменени
-
ем
ее
во
времени
t 
и
записывается
следующим
образом
: 
2
ρ
V
q
T
a
T
t
c
∂ = ∇ +
∂
,
(13.9) 
где
ρ
 – 
плотность
, 
кг
/
м
3
; 
с
– 
удельная
массовая
теплоемкость
, 
Дж
/(
кг
·
К
); 
а
= 
λ
/(
ρ
c) – 
коэффициент
температуропроводности
, 
м
2
/c; 
λ
– 
коэффициент
теплопроводности
, 
Вт
/(
м
·
К
); q
V
 – 
объем
-
ная
плотность
источников
тепла
, 
Вт
/
м
3
, 
2
2
2
2
2
2
2
T
T
T
T
x
y
z
∂
∂
∂
∇ =
+
+
∂
∂
∂
– 
оператор
Лапласа
. 
Уравнение
является
частным
случаем
первого
закона
тер
-
модинамики
и
показывает
изменение
энергии
вещества
в
элемен
-
тарном
объеме
. 
Это
изменение
определяется
количеством
тепло
-
ты
, 
накопленной
за
счет
теплопроводности
, 
и
количеством
тепло
-
ты
, 
выделившейся
в
элементарном
объеме
за
счет
внутренних
источников
тепла
. 
В
частном
случае
одномерного
нестационарного
темпера
-
турного
поля
и
отсутствия
объемных
источников
тепла
уравне
-
ние
(13.9) 
принимает
вид
2
2
T
T
a
t
x
∂
∂
=
∂
∂
.
(13.10) 

---

380 
Дифференциальное
уравнение
теплопроводности
имеет
бес
-
конечное
множество
решений
. 
Чтобы
найти
единственное
реше
-
ние
, 
характеризующее
конкретный
процесс
, 
необходимо
задать
краевые
условия
. 
Краевые
 
условия
включают
в
себя
начальное
(
временное
) 
и
граничные
(
пространственные
) 
условия
. 
Начальное
 
краевое
 
условие
необходимо
для
нестационар
-
ного
процесса
и
характеризует
распределение
температуры
в
начальный
момент
времени
: 
(
)
(
)
, , , 0
, , ,
T x y z
f x y z
=
часто
его
принимают
однородным
: 
(
)
0
0
T t
T
=
=
.
(13.11) 
Граничные
 
краевые
 
условия
характеризуют
форму
тела
и
ус
-
ловия
его
теплообмена
с
окружающей
средой
. 
Различают
четыре
 
вида
граничных
краевых
условий
. 
При
 
граничных
 
условиях
 1-
го
 
рода
 
на
поверхности
тела
для
каждого
момента
времени
задается
распределение
темпера
-
туры
(
)
п
п
п
п
,
,
, ,
T
f x y z t
=
в
частном
случае
температура
поверх
-
ности
может
поддерживаться
постоянной
во
времени
, 
такая
гра
-
ница
называется
изотермической
: 
п
const.
T
=
(13.12) 
При
 
граничных
 
условиях
 2-
го
 
рода
 
на
поверхности
тела
для
каждого
момента
времени
задается
плотность
теплового
по
-
тока
(
)
п
п
п
п
,
,
,
q
f x y z t
=
. 
В
частном
случае
плотность
теплового
потока
может
поддерживаться
постоянной
во
времени
, 
напри
-
мер
при
нагревании
металла
в
высокотемпературных
печах
: 
п
const.
q
=
(13.13) 
Частным
случаем
граничного
условия
2-
го
рода
является
адиабатная
граница
, 
теплообмен
на
которой
отсутствует
(
п
0
q
=
), 
например
ось
симметрии
тела
. 

---

381 
При
 
граничных
 
условиях
 3-
го
 
рода
 
на
поверхности
тела
для
каждого
момента
времени
задается
температура
окружаю
-
щей
среды
и
закон
конвективного
теплообмена
между
поверх
-
ностью
тела
и
окружающей
средой
: 
(
)
п
п
с
α
q
T
T
=
−
,
(13.14) 
где
Т
п
, 
Т
с
– 
температуры
соответсвенно
поверхности
тела
и
ок
-
ружающей
среды
; 
α
– 
коэффициент
теплоотдачи
, 
Вт
/(
м
2
·
К
), 
ха
-
рактеризующий
плотность
теплового
потока
при
единичной
разности
температур
между
поверхностью
тела
и
окружающей
средой
. 
В
частном
случае
при
излучении
нагретой
поверхности
в
открытое
пространство
по
закону
Стефана
–
Больцмана
коэф
-
фициент
теплоотдачи
имеет
вид
(
)
(
)
2
2
п
с
п
с
α
σ ε
.
Т
Т
Т
Т
=
+
+
(13.15) 
Граничные
 
условия
 
4-
го
 
рода
 
это
условия
теплообмена
на
границе
контакта
двух
тел
. 
В
частном
случае
идеального
контакта
на
границе
эти
условия
отражают
равенство
плотностей
тепловых
потоков
в
направлении
нормали
к
границе
: 
1
2
1
2
T
T
k
k
n
n
∂
∂
−
= −
∂
∂
.
(13.16) 
Дифференциальное
уравнение
теплопроводности
вместе
с
краевыми
условиями
образуют
краевую
 
задачу
 
теплопровод
-
ности
, 
имеющую
единственное
решение
. 
В
качестве
примера
рассмотрим
одномерную
стационарную
задачу
теплопроводности
плоского
слоя
толщиной
δ
, 
не
ограни
-
ченного
в
направлении
осей
y, z 
и
не
содержащего
внутренних
ис
-
точников
тепла
(q
V
= 0). 
Его
поверхности
x = 0 
и
x = 
δ
поддержива
-
ются
изотермическими
: T(x = 0) = T
1
и
T(x = 
δ
) = T
2
, 
т
.
е
. 
заданы
гра
-
ничные
условия
первого
рода
. 
Температурное
поле
в
этом
случае
зависит
только
от
одной
координаты
, 
и
математическая
формули
-
ровка
краевой
задачи
теплопроводности
имеет
вид

---

382 
2
2
d
0,
d
T
x
=
(
)
(
)
1
2
0
,
δ
T x
T
T x
T
= =
= =
.
(13.17) 
Общее
решение
уравнения
теплопроводности
получается
после
двойного
интегрирования
: 
1
d
d
T
C
x
=
⇒
1
d
d
T
C x
=
⇒
1
d
d
T
C x
=
∫
∫
⇒
1
2
.
T
C x
C
=
+
Постоянные
интегрирования
С
1
и
С
2
находятся
подста
-
новкой
граничных
условий
в
общее
решение
: 
1
1
2
0
;
T
C
C
=
⋅ +
2
1
2
δ
T
C
C
=
⋅ +
и
имеют
вид
1
2
1
2
1
;
δ
T
T
C
C
T
−
= −
=
. 
В
результате
получается
решение
задачи
1
2
1
δ
Т
Т
Т Т
x
−
= −
,
(13.18) 
дающее
линейное
распределение
температуры
по
толщине
слоя
. 
Плотность
теплового
потока
определяется
в
соответствии
с
законом
Фурье
1
2
1
2
d
d
δ
δ
T
T
T
T
T
q
k
k
x
k
−
−
= −
=
=
(13.19) 
и
является
постоянной
. 
Отношение
δ
k  
называется
тепловым
 
сопротивлением
плоского
слоя
.