Mexanika matematika fakulteti

4 §. AJRALUVCHANLIK. KOMPAKTLIK.

1. 
   Ajraluvchanlik.
   

Bu paragrafda biz matematikada eng muhim bo’lgan uchta topologik fazolar sinflari o’rganamiz.

Ta’rif 1.3.X topologik fazoning ixtiyoriy turli ikkita x va у nuqtalarining o’zaro kesishmaydigan atroflari mavjud bo’lsa, bunday topologik fazo Xausdorf fazosi deyiladi, uning topologiyasi esa ajratishning T₂ aksiomasini qanoatlantiruvchi topologiya deyiladi.

Har qanday metrik fazo Xausdorf fazosidir, chunki ixtiyoriy ikkita x,y E X, xty nuqta uchun £ = p(x,y) > 0 deb olsak, В (x, j) va В (у, j) to’plamlar x va у nuqtalarning kesishmaydigan atroflari bo’ladi.

Elementlari ikkitadan ko’p antidiskret topologik fazo Xausdorf bo’lmagan fazoga misol bo’ladi.

Ta’rif 1.4. Agar X topologik fazoning ixtiyoriy ikkita x,y nuqtalari uchun shunday G_x va G_y ochiq to’plamlar mavjud bo’lib, x E G_x, у £ G_x va у E G_y, x £ G_y bo’lsa, X dagi topologiya T_± aksiomani qanoatlantiradi deyiladi.

Agar X topologik fazo T_± aksiomani qanoatlantirib, ixtiyoriy x nuqta va uni saqlamaydigan ixtiyoriy F yopiq to’plamni ajratish mumkin bo’lsa, ya’ni G_x, G_F — ochiq to’plamlar mavjud bo’lib, x E G_x, F c G_F va G_x A G_F = 0 bo’lsa, X topologik fazo topologiyasi T₃aksiomani qanoatlantiradi deyiladi.

Agar X topologik fazo T_± aksiomani qanoatlantirib, undagi ixtiyoriy ikkita kesishmaydigan yopiq to’plamni saqlovchi kesishmaydigan ochiq to’plamlar mavjud bo’lsa, X topologik fazo T₄ aksiomani qanoatlantiradi deyiladi. Odatda bunday topologik fazolar normal fazo ham deb ataladi [2,4].

Teorema 1.6.X topologik fazo Т_± fazo bo’lishi uchun undagi har qanday bir elementli to’plamning yopiq bo’lishi zarur va yetarli.