Mexanika fakulteti

1 - HISOB – GRAFIK ISHI

TOPSHIRIQ S-1.

Mavzu: Tekislikda joylashgan kuchlar sistemasining muvozanati

Mustahkam rama A nuqtasida qoʻzgʻalmas sharnir va B nuqtasida qoʻzgʻaluvchan sharnir yordamida mahkamlangan (S1.0-S1.9-rasmlar).

Unga momenti M=20 N·m juft kuch va 2 ta kuchlar (S-1-jadvaldagi toʻrtta kuchlardan har bir variant uchun talaba shifri boʻyicha ikkitasi tanlab olinadi) ta’sir qiladi. Agar oʻlchamlardagi boʻlsa, A va B tayanchlardagi reaksiya kuchlarini aniqlang.





S1-jadval

Kuchlar
	F1=10 N		F2=20 N		F3=30 N		F4=40 N
Shart-lar raqami	Qoʻyi-lish nuqtasi	1 grad.	Qoʻyi-lish nuqtasi	2 grad.	Qoʻyilish nuqtasi	3 grad.	Qoʻyilish nuqtasi	4 grad.
0	-	-	H	45	K	30	-	-
2	D	60	-	-	-	-	E	30
3	-	-	K	30	E	60	-	-
4	H	60	-	-	D	30	-	-
5	-	-	E	30	-	-	K	45
6	D	45	-	-	H	60	-	-
7	-	-	H	60	-	-	D	30
8	E	30	-	-	-	-	K	60
9	-	-	D	60	E	45	-	-
0	K	30	-	-	-	-	H	60

1-HGI ni bajarish uchun quyidagi nazariy ma’lumotlarni bilish zarur:
1. Qisqacha nazariy ma’lumotlar.

a) Kuchning oʻqdagi proeksiyasi:

Kuchning oʻqdagi proeksiyasi skalyar kattalik boʻlib, kuchning son qiymatini (modulini) kuch vektori bilan oʻqning musbat yoʻnalishi orasidagi burchak kosinusiga boʻlgan koʻpaytmasiga teng (1-rasm):

1-rasm.
vektorning chiziqdagi (oʻqdagi) proyeksiyasi deb, vektorning boshidan va oxiridan tushirilgan perpendikulyar ajratgan biror kesmaning uzunligiga (son qiymatiga ) aytiladi.

Masalan, kuchininng Ox va Oy oʻqlaridagi proyeksiyalari (1-rasm ) pr( )_x = ab va pr( )_y = cd kesmalarga teng boʻlib, quyidagi formulalar orqali aniqlanadi:

F_x=ab=AB cosα , F_y=cd=AB ,

yoki qisqacha

F_x= F , va F_y= F . (1)
b) Kuchning nuqtaga nisbatan momenti:

Faraz qilaylik, tekis jism biror O nuqtasi bilan mahkamlab qoʻyilgan va , kuchlari ta’sirida aylanma harakat qilishi mumkin (2-rasm). Mexanikada ta’sir etayotgan kuchning jism aylanma harakati qanday boʻlishini ifodalaydigan kattalik “kuch momenti” deb ataladi. Boshqacha aytganda, jismning ilgarilanma harakatiga kuch asosiy sabab boʻlsa, aylanma harakatda kuchdan tashqari uning qoʻyilish nuqtasi ham muhim ahamiyatga ega.

2-rasm.

Demak, kuch momenti deb, kuch miqdori va kuch elkasi koʻpaytmasiga teng boʻlgan skalyar miqdorga aytiladi:

M_o( )= +P·h₁ ,

M_o( )= -Q·h₂ .

Musbat (+) va manfiy (-) ishoralarning qoʻyilishiga sabab, berilgan kuchlar tekis jismni O nuqta atrofida ikki xil tomonga, soat mili aylanishi boʻyicha yoki soat mili aylanishiga teskari, aylantirishi mumkin. Nazariy mexanikada xuddi fizika fani kabi “oʻng vint qoidasi” – soat mili aylanishiga teskari harakatni (+), soat mili boʻyicha aylanishni (-) deb qabul qilingan, chunki biz yashayotgan Yer shari ham shimoldan qaraganda oʻz oʻqi atrofida soat mili aylanishiga teskari aylanadi.

Kuch yelkasi esa, aylanish nuqtasi O dan kuchlarning ta’sir chizigʻigacha boʻlgan eng yaqin masofa ekan. Oxirgi tengliklarni umumlashtirib, kuch momentining asosiy formulasiga ega boʻlamiz:

M_o( ) = ± F·h . (2)

Kuch momentining birligi [ N·m ] hisoblanadi. Yuqoridagi tushunchani mustahkamlash uchun quyidagi misolni koʻraylik.

d) Muvozanat tenglamasi:

Agar jism tekislikda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasi ta’sirida muvozanatda boʻlsa, kuchlar sistemasining bosh vektori va bosh momenti M₀ nolga teng boʻlishi lozim (3-rasm):

(3)

3- rasm
Bosh vektori va bosh momentlarning miqdorlari

va


boʻlganligi uchun, (3) shartlarni quyidagi analitik ifodalarga almashtirish mumkin:

(4)

e) Statika masalalarini yechish tartibi:

- Jismga qoʻyilgan bogʻlanishlarni olib tashlab, bogʻlanish reaksiya kuchlari bilan almashtiriladi;

- Dekart koordinata oʻqlari tanlanadi;

- Muvozanat tenglamalari (4) tuziladi;

- Noma’lum reaktsiya kuchlari aniqlanadi;

- Aniqlangan reaktsiya kuchlarining miqdori toʻgʻriligi tekshiriladi.

HGI № 1 ning yechilishi.
Mavzu: “Tekislikda joylashgan ixtiyoriy kuchlar sistemasining muvozanati”.
Mustahkam rama A nuqtasida qoʻzgʻalmas sharnir va B nuqtasidaqoʻzgʻaluvchi sharnir yordamida mahkamlangan. Unga momenti M=20 N·m juft kuch va kuch (S:1-jadvaldagi toʻrtta kuchlardan har bir variant uchun talaba shifri boʻyicha ikkitasi tanlab olinadi) ta’sir qiladi. Agar oʻlchamlardagi

boʻlsa, A va B tayanchlardagi reaktsiya kuchlarini aniqlang.

Kuchlar
	F1=10 N		F2=20 N			F3=30 N			F4=40 N
Shartlar nomeri	Qoʻyilish nuqtasi	1 grad.	Qoʻyilish nuqtasi	2 grad.	Qoʻyilish nuqtasi		3 grad.	Qoʻyilish nuqtasi		4 grad.
30	-	-	-	-	K		60	E		30

4-rasm.
Yechish: 1) Ramani bogʻlanishlardan boʻshatib, A qoʻzgʻalmas tayanchda ikkita X_A va Y_A , B qoʻzgʻaluvchan tayanchda bitta R_B reaksiya kuchlarini qoʻyamiz.

2) Axy koordinata oʻqlarini tanlab olib, tekislikda joylashgan ixtiyoriy kuchlarning muvozanat shartlarini tuzamiz (4-rasm):

<sub>XA – F3 cos α3+ F4cos α4+ RB = 0;

YA – F3 sin α3– F4sin α4 = 0;

RB ·2l – M - F3 cos α3·5l-F4 sin α4·4l +F4cos α4 ·4l= 0;</sub>

3) Son qiymatlarini qoʻyib, 3 noma’lumli 3 ta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

4) Nomalumlarni aniqlash:

uchinchi tenglamadan ;

birinchi tenglamadan = - 105,26 N;

ikkinchi tenglamadan = 46 N.

2-HISOB –GRAFIK ISHI
TOPSHIRIQ – K2

Mavzu: “Qattiq jismning qoʻzgʻalmas oʻq atrofidagi aylanma harakati”

Mexanizm pogʻonali 1,2,3 gʻildiraklardan tashkil topib, ular bir-birlari bilan tasmali yoki tishli uzatma, yoki tishli reyka 4 va unga ip orqali bolangan yuk 5 dan iborat (K2.0-K2.9 rasmlar). Gʻildiraklarning radiuslari tegishlicha quyidagicha: r₁=20 sm, R₁=24 sm; r₂=26 sm, R₂=28 sm; r₃=32 sm, R₃=36 sm. A,B va C nuqtalar gʻildiraklarning toʻgʻinida joylashgan.

Jadvalda mexanizmning yetaklovchi zvenosining harakat qonuni koʻrsatilgan boʻlib, ular (t) –gʻildirakning aylanish qonuni, S₄-reykaning harakat qonuni, (t)-gʻildirakning burchakli tezligi, V-tezlik qonuni (bu yerda -radiandalarda, S-santimetrda, t-sekundlarda).  va  larning musbat yoʻnalishlari soat mili aylanishiga teskari yoʻnalishida, S₄ va S₅ va V₄,V₅ lar uchun pastga yoʻnalishdir. t=2s vaqt uchun K2-jadvalda «aniqlansin» degan ustun ostidagi qiymatlarni toping.

K2.0-rasm	K2.1-rasm
K2.2-rasm	K2.3-rasm

K2.4-rasm	K2.5-rasm
K2.6-rasm	K2.7-rasm
K2.8-rasm	K2.9-rasm

K2-jadval

SHartlar nomeri	Berilgan	Aniqlansin
		Tezliklar	Tezlanishlar
1	1=2t^2-9	V4, 2	2, aC, a5
2	2=7t-3t^2	V5, 3	3, aA, a4
3	3=3t-t^2	V4, 1	1, aB, a5
4	1=5t -2t^2	V5, VB	2, aC, a4
5	2=2(t^2-3t)	V4, 1	1, aC, a5
6	V4=3t^2-8	VA, 3	3, aB, a5
7	S5=2t^2-5t	V4, 2	1, aC, a4
8	3=8t-3t^2	V5, VB	2, aA, a4
9	S4=4(7t-t^2)	VE, VC	1, aA, a5
0	V5=2(t^2-3)	VA, VC	3, aB, a4

2-HGI ni bajarish uchun quyidagi nazariy ma’lumotlarni bilish zarur:
2. Qisqacha nazariy ma’lumotlar

1. 
   Qattiq jismning qoʻzgʻalmas oʻq atrofidagi aylanma harakati
   

Ta’rif. Jism harakati davomida uning ikki nuqtasi qoʻzgʻalmasdan qolsa, jism shu nuqtalarni tutashtiruvchi qoʻzgʻalmas oʻq atrofida aylanma harakat qiladi.

5-rasm

Bu harakatni tekshirish uchun jismning aylanish oʻqidan oʻtuvchi qoʻzgʻalmas bitta tekislik va shu oʻqdan oʻtuvchi jismga mahkamlangan ikkinchi tekislikni olamiz (5-rasm). Bu ikkala tekisliklar orasidagi  burchak jismning istalgan vaqt oraligʻidagi holatini belgilaydi (burchak radian hisobida ifodalanadi). Demak  burchak vaqtning uzuluksiz, bir qiymatli, differentsiallanuvchi funktsiyasi boʻladi:

=(t) (5)

tenglama qattiq jismning qoʻzgʻalmas oʻq atrofidagi aylanma щarakat tenglamasi yoki aylanma harakat qonuni deyiladi.

Jismning aylanma harakat qonuni ma’lum boʻlsa, burchak tezligi va burchak tezlanishini topish mumkin.

Aylanish burchagidan vaqt boʻyicha birinchi tartibli hosila olsak, burchak tezlikka ega boʻlamiz:

1/sek (6)

Burchak tezligidan faqat vaqt boʻyicha birinchi tartibli щosila olsak, yoki aylanish burchagidan vaqt boʻyicha ikkinchi tartibli hosila olsak, tezlanishi kelib chiqadi:

(7)

1/sek²

Jism aylanish oʻqi atrofida bir tekis aylanayotganda burchak tezlik  bilan minutiga aylanishlar soni orasidagi munosabat quyidagicha ifodalanadi.

(8)

6-rasm
6 – rasmdan bilan belgilangan r –radiusli yoy uchun quyidagi munosabat oʻrinli:

yoki (1.4) ga asosan:

(9)
Tezlik vektori traektoriyaga urinma holda jism aylanish tomoniga yoʻnalgan boʻladi. M nuqtaning tezlanishini topish uchun uni urinma va normal tashkil etuvchilarga ajratamiz.

Urinma tuzuvchisi:

(10)

Bu tezlanish tezlik bilan bir chiziqda yotadi.

Normal tuzuvchisi:

aylana uchun

(11)

7-rasm
Bu tezlanish aylanish markaziga qarab yoʻnalgan boʻladi, (7-rasm). Toʻla tezlanish:

(12)
(13)

Demak, qoʻzgʻalmas oʻq atrofida aylanuvchi qattiq jism nuqtalari tezlanishlarining yoʻnalishlari ularning holatiga bogʻliq emas.

Markazga intiluvchi tezlanish hamma vaqt aylanish markaziga qarab yoʻnalgan. Urinma tezlanish esa aylanish markazining tezlanuvchi yoki sekinlanuvchi ekanligiga bogʻliq. Harakat tezlanuvchi boʻlsa, boʻlib, tezlik bilan bir yoʻnalishda boʻladi. Harakat sekinlanuvchi boʻlsa, boʻlib, tezlikka teskari yoʻnaladi.

boʻlsa, jismning aylanish qonuni

(14)

boʻlsa, jismning aylanish qonuni va burchak tezligi quyidagi formulalar bilan ifodalanadi:

(15)

(16)

boʻlsa, tekis tezlanuvchan harakatligini va boʻlishi esa tekis sekinlanuvchan harakatligini koʻrsatadi.
b. Kinematika masalalarini yechish tartibi:
Qoʻzgʻalmas oʻq atrofida aylanuvchi qattiq jism harakatiga doir masalalar asosan quyidagi uch turga boʻlinadi:

-Berilgan harakat qonunidan foydalanib, qattiq jismning burchak tezligi, burchak tezlanishi, biror nuqtasining berilgan vaqtdagi tezligi va tezlanishini toppish;

-Berilgan burchak tezlanishidan foydalanib, jismning burchak tezligini, harakatlanish qonuni, biror nuqtasining tezligi va tezlanishini topish.

-Bir jismning aylanma harakat qonunidan foydalanib ikkinchi jismning aylanma harakatini, burchak tezligi va tezlanishini hamda biror nuqtasining tezligi va tezlanishini topish.

HGI № 2 ning yechilishi.

Mavzu: “Qattiq jismning ilgarilanma va qoʻzgʻalmas oʻq atrofida aylanma harakati”

Mexanizm pogʻonali 1,2,3 gʻildiraklardan tashkil topib, ular bir-biri bilan tasmali yoki tishli uzatma, yoki tishli reyka 4 va unga ip orqali bolangan yuk 5 dan iborat. Gʻildiraklarning radiuslari tegishlicha quyidagicha: r₁=20 sm, R₁=24 sm; r₂=26 sm, R₂=28 sm; r₃=32 sm, R₃=36 sm. A, B va C nuqtalar gʻildiraklarning toʻgʻinida joylashgan.

Jadvalda mexanizmning yetaklovchi zvenosining harakat qonuni koʻrsatilgan boʻlib, ular (t) –gʻildirakning aylanish qonuni, S₄-reykaning harakat qonuni, (t)-gʻildirakning burchakli tezligi, V-tezlik qonuni (bu yerda -radiandalarda, S-santimetrda, t-sekundlarda).  va  larning musbat yoʻnalishlari soat strelkasiga teskari yoʻnalishida, S₄ va S₅ va V₄,V₅ lar uchun pastga yoʻnalishdir. t=2s vaqt uchun K2-jadvalda «aniqlang» degan ustun ostidagi qiymatlarni toping.

Variant raqami	Berilgan	Aniqlansin
		Tezliklar	Tezlanishlar
30	S5=8t^2-10t (sm)	V4, 2	1, aC, a4

8-rasm.
Yechish: 1) Маsala yechimini harakati berilgan jismning kinematik harakteristikalarini aniqlashdan boshlaymiz:

S₅ = 8t² - 10t ;

V₅ = 16t – 10;

t =2 sekundda V₅= 32 - 10 = 22 sm/s ;

V₅ va . Demak 5 yuk vertikal pastga harakat qiladi. Mexanizmning qolgan qismlari ham shu harakatga mos ravishda harakatlanadi.

2) Barcha gʻildiraklarning burchakli tezlik ω va burchakli tezlanishlari ε ni aniqlaymiz:

a) 2- gʻildirakka osilgan 5-yukning tezligi 2- gʻildirak to’g’inidagi B nuqtaning tezligiga teng bo’ladi

V₅ = V_B dan va V_B = dan

= V₅ / = (16t - 10)/28 = 4t/7 – 5/14;

= = 4/7;

b) 1- gʻildirak 2-g’ildirak bilan tasmali uzatma orqali bog’langanligi uchun, ularning A va E nuqtalarning tezliklari teng:

V_A = V_E dan va V_A = dan

= / = 26·(4t/7 – 5/14)/24 = 13t/21 - 65/168;

= = 13/21 ;

d) 3- gʻildirak 1-g’ildirak bilan tishli uzatma bilan bog’langanligi uchun, ularning C nuqtasi umumiy nuqtaligi uchun:

V_C = dan

= / = 20·(13t/21 – 65/168)/36 = 65t/189 – 325/1512;

= = 65/189 ;

t =2 sekundda = 0,851 rad/sek; = 0,619 rad/sek²;

= 0,786 rad/sek; = 0,571 rad/sek²;

= 0,473 rad/sek; = 0,344 rad/sek²;

3) Chiziqli tezlik va chiziqli tezlanishlarni aniqlaymiz:

V₄ =

=

= 15 sm/

sm/