Крутильные колебания прямых валов
и(х, t)
|
и \л) V
|
1
|
о
|
/
|
V
|
|
1 *!■
|
1
|
|
X
dx
|
X
|
Рис. 5.1. Малые крутильные колебания прямого вала
Рассмотрим крутильные колебания прямых валов (рис. 5.1, 5.2).
Примем следующие допущения: колебания малые, депланация материальных сечений отсутствует, справедлив закон Гука для сдвига.
Используя для элемента dx (см. рис. 5.2) принцип Даламбера, получим:
9MKD(x, t) д2ф
Мкр(х, t) + dx + M(x, t)dx-MKр(х, t)-J0—ydx = О
dx 8t
или
5MKJx, /)
кр_
дх
Зчр
- J0—У = -М(х, О- or
Рис. 5.2. Элементы вала и действующие на него силы:
Мкр — внутренний крутящий момент; J0 — погонный массовый момент инерции (кг- м); ф(хД) —угол закручивания сечения стержня; M(x,t) —интенсивность внешнего погонного момента
Выразим крутящий момент Мкр через угол поворота ф. Для этого вычислим угол сдвига у (рис. 5.3):
* гдф/дхл tgy = С——dx = t;
dx
дх
Рис. 5.3. Угол сдвига у и При малых колебаниях угол угол закручивания вала ф
Согласно закону Гука для сдвига имеем
х = Gy = GC,
<3ф
дх ’
где т — касательное напряжение; G — модуль Юнга второго рода (при кручении).
Вычислим Мкр [3, 4]:
M4, = \^ds = \G^^d^d^ = G^\Cds = GJp^,
S S S
где ^ — радиальная координата; ds — элемент поверхности сечения (рис. 5.4).
Таким образом, получено дифференциальное уравнение крутильных колебаний прямолинейного вала:
а/
дх {
Sep
дх
= -М(х, t).
Отметим, что дифференциальное уравнение крутильных колебаний аналогично дифференциальному уравнению продольных колебаний стержня. Составим таблицу соответствия (аналогии) элементов крутильных и продольных колебаний:
Рис. 5.4. Радиальная координата элемента поверхности сечения
Крутильные колебания
|
Продольные колебания
|
(ро, 0. рад
|
и(х, /), м
|
G, Н/м2
|
Е, Н/м2
|
GJpx, Н- м2
|
EFX, Н
|
./0, КГ- м
|
Ро> кг/м
|
|
N(x,t) = EF— дх
|
&2 =J(,(0212
|
2 /2
оэ = /
EF0
|
Метос
4>(x,t) = Yjfi(x)-s((t)
1=1
|
) Фурье
и{х, t) = YjfI(x)-sj(t)
/=1
|
Началънь
9(.v,0) = \|/,(*),
~(^»0) = у2(х) их
|
>ie условия
и(х, 0) = \|/,(дг),
^•(.г,0) = ф2(.г)
ОХ
|
Условие орт
\fi(.x)fj(x)dx = 0 (i * j)
0
|
огоналъности
\fi(x)fj(x)dx = 0 (/*/>
0
|
Колебания однородного вала с диском на конце
Пример
Рассмотрим колебания однородного вала с диском на конце
(Рис- 5.5).
О I Г
GJP, Jo
ныи погонный момент инерции,
GJ,
жесткость вала на кручение
Рис. 5.5. Колебания однород- р ного вала с диском на конце (постоянная по его длине).
Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы имеет вид
од, *2 о.
р
дх4
дг
^ Пусть / — длина вала, J0 — постоян-
Согласно методу Фурье представим решение
в виде
Для форм колебаний f(x) получим дифференциальное уравнение
(5.1)
Г + x2f = о,
где X2 = -q(£> , Х = Х1 — безразмерное собственное значение. GJp
Решение дифференциального уравнения (5.1) ищем в виде
/(*) = Q cos Хх + С2 sin Хх.
Выпишем граничные условия закрепления торцов вала (рис. 5.6):
/(0) = 0,
df , (5.2)
GJp-^~ (/) - J0(o2 f(l) = 0. дх
Из граничных условий (5.2) получаем
Q = О, => j\x) = C2 sin Xxy
GJpC{X cos XI-J0orC2 sin XI = 0.
Так как система не свободная, то движение ее как твердого тела невозможно. Поэтому С2 ф 0, X Ф 0. Следовательно,
GJpXl
У0со2/
Введем безразмерный параметр у:
GJ У0со2/ ’
GJр "| _ Н • м2 • с2 _ кг* м3 • с2 J0co2/[j кгм2м кгм3с2
Итак, трансцендентное уравнение для определения X = со имеет вид
y!=tgL (5.3)
Рис. 5.7. Графическое решение трансцендентного
уравнения (5.3)
Графическое решение этого уравнения представлено на рис. 5.7.
Для численного решения этого уравнения можно рекомендовать метод половинного деления [4].
Контрольные вопросы
Что такое частота колебаний?
Что такое период колебаний?
Дайте определение свободных колебаний.
Что такое форма собственных колебаний?
Охарактеризуйте дифференциальные уравнения продольных колебаний однородного стержня.
Что такое трансцендентное уравнение для определения собственных значений краевой задачи?
Опишите метод решения трансцендентного уравнения для определения собственных значений краевой задачи.
Литература
Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: КомКнига, 2006. 439 с.
Пожалостин А.А., Паншина А.В. Применение принципов классической механики к динамике упругого тела. Современные проблемы механики и ее преподавания в вузах. Доклады IV Всероссийского совещания-семинара заведующих кафедрами и ведущих преподавателей теоретической механики вузов Российской Федерации. Новочеркасск: ЮРГТУ, 2010. С.194-197.
Бабаков ИМ. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004. 592 с.
Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. СПб.: Лань, 2005. 438 с.
Содержание
к dq, 10
Щ r=i 13
/ = о, 14
Л/+ь)М = о- 18
а/ 29
Учебное издание
Пожалостин Алексей Алексеевич
Паншина Алла Викторовна
Продольные и крутильные колебания
однородных стержней и валов
Редактор Л. В. Сивай
Корректор Е.В. Николаева
Компьютерная графика О.В. Левашовой
Художник Я.М. Ильина
Компьютерная верстка О.В. Беляевой
В оформлении использованы шрифты
Студии Артемия Лебедева.
Оригинал-макет подготовлен
в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Подписано в печать 09.02.2016. Формат 60 х 90/16.
Уел. печ. л. 2,25. Тираж 100 окз. Изд. № 517-2016. Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.
e-mail: press@bmstu.ru
www.baumanpress.ru
Отпечатано в типографии МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.
e-mail: baumanprint@gmail.com
2 0 16
Do'stlaringiz bilan baham: |