Метод ортонормированных рядов. Пример

7. ТЕМА: МЕТОД ОРТОНОРМИРОВАННЫХ РЯДОВ. ПРИМЕР
ПЛАН

1. 
   Метод ортонормированных рядов.
   
2. 
   Определение коэффициенты ряда Фурье
   

1. Метод ортонормированных рядов. Рассмотрим, как обычно, гильбертово пространство Н и оператор А, который является положительно определенным на линеале D_А, плотном в Н. Пусть Н_А — пространство, построенное в гл. 10, со скалярным произведением (и, v)_A, которое, как мы знаем, представляет собой расширение скалярного произведения (и, v)_A, определенного первоначально на D_A соотношением
(и, v)_A=(Au, v), ₍₁₎
на все пространство Н_А. будеть показано в функционале
₍₂₎
достигает минимума в Н_А на определенном элементе и₀, однозначно определяемом по элементу f из соотношения


(3)
Элемент и₀, минимизирующий функционал (2) в Н_А, называется обобщенным решением уравнения Au = f. Некоторые свойства этого решения обсуждали. Здесь и несколько эффективных методов нахождения или аппроксимирования этого обобщенного решения.
С этой целью мы будем предполагать, что пространство Н_A сепарабельно. Для этого достаточно—как можно было бы ожи­дать и как подробно доказано, например, в [29],— чтобы пространство Н было сепарабельным. Таким образом, если мы вы­берем в качестве пространства Н пространство L₂(G) — как это очень часто и будет в дальнейшем,— то сепарабельность Н_А также будет обеспечена, поскольку L₂(G) сепарабельно (см. теорему 4.7).
Напомним, что метрическое пространство Р называют сепарабельным, если можно найти не более чем счетное множество его элементов, которое плотно в этом пространстве. В соответствии с теоремой 6.11 в каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует так называемый базис, т. е. не более чем счетная линейно независимая система


₍₄₎
которая полна в этом пространстве, т. е. для любого и любого можно найти положительное целое число i и числа такие что
₍₅₎
Более того, если М—множество, плотное в этом пространстве, то можно построить базис только из элементов этого множества (см. примечание на с. 72). В соответствии с теоремой 6.12 можно также считать, что базис (12.4) ортонормирован в рассматриваемом пространстве.
Итак, пусть (12.4) — ортонормированный базис в Н_A, построенный (если в этом есть необходимость) из элементов линеала D_A. Для элементов этого базиса, таким образом, мы имеем
₍₆₎
Поскольку по предположению (12.4) является ортонормирован- ным базисом в Н_A (т. е. полной ортонормированной системой в Н_А), обобщенное решение u₀ нашей задачи может быть записано в этом пространстве в виде соответствующего ряда Фурье (см. с. 70)


_(7)
где
(8)
Однако для любого и, таким образом, для любого (k=l, 2, ...) выполняется соотношение (3), так что


(9)
2. Коэффициенты ряда Фурье. Коэффициенты ряда Фурье (7) тем самым определяются очень просто как скалярные произведения (в H) правой части f данного уравнения и функций базиса .


Итак, задача решена.
Заметим, что из сходимости ряда (7) в Н_А следует его сходимость также и в Я. А именно, если s_n—п-я частичная сумма , то из (10.70) следует, что
₍₁₀₎


Поскольку { } образует базис в H_А, имеем в Н_A, откуда, согласно (10),
в H (11)
(См. также текст, следующий за уравнением (15).)
Полученный результат можно сформулировать следующим образом.
Теорема 12.1. Пусть А—положительно определенный оператор на линеале D_A, плотном в сепарабельном гильбертовом про­странстве H, и пусть . Далее, пусть ортонор­мированный базис в пространстве Н_А (по поводу Н_А см. гл. 10).
Тогда обобщенное решение и₀ уравнения Аu = f дается рядом
_(12)
где
(13)
( — скалярное произведение в Н). Этот ряд сходится к обобщенному решению u₀ как в Н_А, так и в Н.
Следовательно, согласно (12), решить нашу задачу очень просто: достаточно вычислить коэффициенты ряда Фурье (12). В частности, если H = L₂(G), задача сводится к вычислению интегралов вида


(14)
Читатель может решить, что этим задача нахождения обобщенного решения рассматриваемого уравнения Au = f полностью решена и что дальше развивать теорию в этом направлении не нужно. Однако трудность заключается в том, что в общем случае построить ортонормированный базис в Н_A непросто. Эта задача нетривиальна, даже если не требуется ортонормированности базиса. (При построении базиса трудно удовлетворить требованию полноты, которое входит в его определение; см., в частности, гл. 20 и 25, в которых рассматриваются эти вопросы.) Однако даже если базис найден, его ортогонализация или, наконец, ортонормирование (см. с. 69 и 53) представляет собой, вообще говоря, чрезвычайно трудоемкий процесс и, как правило, с точки зрения численных расчетов едва ли осуществима. Поэтому были разработаны другие методы, не требующие ортонормирования базиса.
Тем не менее построение ортонормированного базиса в некоторых частных случаях (например, для очень простых обыкновенных дифференциальных операторов или дифференциальных операторов в частных производных, рассматриваемых в очень простых областях) может быть выполнено относительно несложно.
Приведем пример.
Пример 12.1. Решим задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике G (0 < х < а, 0 < у < b):
(15)
u =0 на Г, (16)
Выберем Н = L₂ (G). Как обычно, в качестве линеала D_A = выберем множество функции, непрерывных вместе со своими пер­выми и вторыми производными в и удовлетворяющих условию (16). Мы знаем, что это множество плотно в (теорема 8.6). Как будет показано ниже (в гл. 22), оператор А, заданный на D_A правилом , положительно определен на этом линеале. Следовательно, обычным способом можно построить гильбертово пространство (см. гл. 10). В данном слу­чае в качестве базиса в этом пространстве можно выбрать систему функций


(18)

и.т.д.
Процедура перечисления состоит в следующем: образуются группы из тех функций (17), для которых m+n=i, где i принимает последовательно значения 2, 3, ... В каждой из этих групп функции упорядочены в соответствии с убыванием значений первого индекса т, который принимает в каждой группе последовательно значения i -1, i-2, ..., 1. Этим способом получается система функций , s = 1, 2, ....

Как известно,
(19)
и, аналогично
(20)
Поэтому выполняется





(21)

мы имеем

(22)
Следовательно, функции (18) ортогональны в поскольку для любой пары различных функций из этой системы различны либо j и т, либо п и k. Следовательно, согласно (22), функции









и.т.д.
ортонормированы в . Таким образом, система (23) образует ортонормированный базис в .
В соответствии с (12) и (13) решение задачи (15), дается рядом


(24)
где



(25)
и т. д. Принимая во внимание вид функций (18) и (23), можно написать
(26)
где



(27)
и т. д. Выразив этот результат через функции (17), его можно записать также в виде


(28)
где




В соответствии с теоремой 12.1 ряд (28) при любом является сходящимся как в , так и в L₂(G). Таким образом, задача (15), (16) решена.
Если, в частности, f(x, y) = k = const, мы имеем






Следовательно, в этом случае решение имеет вид
(29)
К решению (12.15), (12.16) ведет большое число задач, например некоторые задачи теории потенциала, задача о стационарном распределении температуры в бесконечной призме с заданной нулевой температурой на границе и с интенсивностью внутренних источников тепла, характеризуемой функцией f (х, у), задача о кручении бруса прямоугольного сечения и т. д.