Международный научно-образовательный электронный журнал «образование и наука в XXI веке». Выпуск №10 (том 1)

Задача 21: ABCD – выпуклый четырехугольник. Доказать, что ∠ A + ∠ B ≥ ∠ C – ∠ D. 
Задача 22: Доказать, что a) если две высоты треугольника равны, то он равнобедренный. b) 
если две медианы треугольника равны, то он равнобедренный. 
Задача 23: В треугольнике ABC AB > BC. На продолжении стороны отложен отрезок BD, 
равный AB. Доказать, что ∠ ACD > 90 . 
Задача 24: Существует ли правильный n-угольник, у которого одна диагональ равна сумме 
двух других? 
Задача 25: Доказать, что a) если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то он – 
ромб. b) если диагонали равны, то он – прямоугольник. 
Задача 26: В трапеции одна из диагоналей делится другой пополам. Доказать, что эта 
трапеция является параллелограммом. 
Задача 27: Доказать, что середины сторон четырехугольника образуют параллелограмм. 
Задача 28: Доказать, что диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только 
тогда, когда средние линии равны. 
Задача 29: Доказать, что диагонали четырехугольника равны тогда и только тогда, когда 
средние линии перпендикулярны. 
Задача 30: Доказать, что точка пересечения двух медиан в треугольнике делит каждую из них 
в отношении 2:1. 
Задача 31: Доказать, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке. 
Задача 32: ABCD – параллелограмм, O – точка пересечения его диагоналей. Доказать, что 
SOAB + SOCD = SOAD + SOBC. 

---

129 
Задача 33: Доказать, что радиус вписанной окружности треугольника равен (S – площадь, P 
– периметр). 
Задача 34: Четыре прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой c уложены в 
квадрат со стороной c. 
a) Найти площадь среднего квадратика. 
b) Доказать теорему Пифагора: c² = a² + b². 
Задача 35: Доказать, что любой четырехугольник покрывается кругами, построенными на его 
сторонах как на диаметрах. 
Задача 36: Дан выпуклый четырехугольник. 4 треугольника, на которые он разбивается 
диагоналями, имеют равные площади. Доказать, что четырехугольник является 
параллелограммом.