Международный научно-образовательный электронный журнал «образование и наука в XXI веке». Выпуск №10 (том 1)

Ответ: 32∙31
5
.
6.
Алфавит состоит из трех букв. Каждое «слово» языка содержит любое число букв, но 
не более четырех. Сколько в этом языке существует фраз, содержащих ровно пять 
(непустых) слов? 
Ответ: число слов – 120, число фраз – 120
5
.
7.
 
В алфавите 22 согласные и 10 гласных букв. Сколько существует шестибуквенных 
слов с чередующимися гласными и согласными буквами? Сколько существует 
семибуквенных слов с теми же условиями? 
Ответ: 2∙22
3
∙10
3
; 22
4
∙10
3
 + 10
4
∙22
3
= 
32∙22
3
∙10
3
. 
8.
Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на 5? 
Ответ: 2∙9∙10
4
.
9.
Сколькими способами можно разложить семь разных монет в три кармана? 
Ответ: 
3
7
.
Перестановки. 
1.
 
Флаги многих государств представляют собой полотнища, состоящие из трех 
вертикальных полос различного цвета. Сколько таких трехцветных флагов можно 
составить, имея в распоряжении материал шести цветов? 
Ответ: 6∙5∙4=120. 
2.
 
На полке нужно поставить три пятитомных собрания сочинений так, чтобы все 
пять томов каждого из собраний сочинений стояли друг за другом, хотя и не 
обязательно в порядке следования номеров томов. Сколькими способами это 
можно сделать?
Ответ: 3!∙(5!)
3
=6∙120
3
. 
3.
 
Сколькими способами можно усадить 20 человек за круглым столом, считая 
способы одинаковыми, если их можно получить один из другого движением по 
кругу?
Ответ: = 19! 
4.
 
Сколькими способами можно расставит на шахматной доске восемь ладей так, 
чтобы они не били друг друга?
Ответ: 8! 
Сочетания 
1.
 
Каким числом способов можно выбрать из 30 человек команду из шести человек и 
среди них одного капитана? 
Ответ: 3 562 650. 
2.
 
В прямоугольном городе 10 улиц, идущих в одном направлении, и 20 улиц, им 
перпендикулярных, которые разбили город на квадратные блоки (заметьте, что число 
блоков в каждом направлении на единицу меньше числа улиц). Каким числом 
способов можно кратчайшим путем пройти из одного угла города на
противоположный? 
 
3.
 
На уроке опросили пять из 20 учеников класса. Каждый из опрошенных получил одну 
из четырех отметок:2, 3, 4 или 5. Сколько разных записей могло появиться в журнале?
Ответ: 4
15504
. 
4.
 
Сколькими способами можно представить число 100 в виде упорядоченной суммы 
двух положительных слагаемых?
Ответ: 99. 
Перестановки с повторениями. 
1.
 
Мама каждый день выдает на десерт по одному фрукту. У нее есть три одинаковых 
яблока, пять одинаковых груш, два одинаковых персика и один апельсин. Сколькими 
способами она может выдать эти фрукты за 11 дней?
Ответ: = 27 720. 
2.
 
Каким числом способов можно разложить семь одинаковых монет в три (различных) 
кармана? 
Ответ: 36. 
3.
 
Каким числом способов можно разложить 10 монет, из которых пять одинаковы, а 
остальные пять различны, в пять карманов? 
Ответ: 5
5
. 

---

116 
Игры 
1. 
На столе лежат 20 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди, за один 
ход можно взять со стола 1, 2 или 3 монеты. Выигрывает тот, кто забирает со стола 
последнюю монету. Кто выигрывает при правильной игре? 
Ответ. Второй. 
Опишем выигрышную стратегию второго игрока. Если первый своим ходом взял 
х 
монет, 
то второй должен взять 4-х монет. Следовательно, после каждого хода второго число 
монет, лежащих на столе, будет делиться на 4. Это означает, что первый не сможет забрать 
со стола последнюю монету, т. е. это сделает второй. 
2. 
Есть две кучки камней, в одной из которых 15 камней, а в другой — 20. Двое играют в 
следующую игру: ходят по очереди, за один ход можно взять любое количество камней, но 
только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при 
правильной игре? 
Ответ. Первый. 
Опишем выигрышную стратегию первого игрока. Первым ходом он берет 5 камней из 
кучки, в которой лежит 20 камней. Таким образом, после его хода в каждой кучке лежит 15 
камней. Каждым следующим ходом первый должен брать столько же камней, сколько и 
второй, но только из другой кучки, т. е. после каждого хода первого в двух кучках лежит 
одинаковое количество камней. Это означает, что у первого всегда есть ход, т. е. второй 
игрок проигрывает. 
3. Двое по очереди ставят ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били друг 
друга. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто выигрывает при правильной игре?
Ответ. Второй. 
Заметим, что после каждого хода количество вертикалей и горизонталей, куда можно 
поставить ладью, уменьшается на 1, т. е. игра будет продолжаться ровно 8 ходов и 
последний выигрышный ход сделает второй игрок.