Механическая работа и энергия. Мощность. Закон всемирного тяготения

 Работа

Изменение механического движения и энергии тела происходит в процессе силового взаимодействия этого тела с другими телами. Для количественной характеристики этого процесса в механике вводят понятие работы, совершаемой силой.



Если рассматриваемая сила  постоянна,а тело, к которому она приложена, движется поступательно и прямолинейно, то работой, совершаемой силой  при прохождении телом пути , называют величину

(1.1)

где а - угол между силой  и направлением движения тела.



Работа - скалярная величина. Если вектор силы и вектор перемещений образуют острый угол т.е. , то , если , то , т.е. сила, действующая перпендикулярно к перемещению тела, работы не совершает.

В общем случае тело может двигаться произвольным, достаточно сложным образом (рис.4.2). Выделим элементарный участок пути , на котором силу можно считать постоянной и перемещение прямолинейным. Элементарная работа на этом участке равна

(1.2)

Полная работа на пути определяется интегралом

(1.3)

Консервативные силы. Условие потенциальности силового поля

Силу , действующую на материальную точку, называют консервативной или потенциальной, если работа , совершаемая этой силой при перемещении этой точки из произвольного положения 1 в другое 2, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло:

Изменение направления движения точки вдоль траектории на противоположное вызывает изменение знака консервативной силы, так как величина  меняет знак. Поэтому при перемещении материальной точки вдоль замкнутой траектории , например , работа консервативной силы равна нулю.

Примером консервативных сил могут служить силы всемирного тяготения, силы упругости, силы электростатического взаимодействия заряженных тел. Поле, работа сил которого по перемещению материальной точки вдоль произвольной замкнутой траектории равна нулю, называется потенциальным.

 Мощность

Величина, характеризующая скорость совершения работы, называется мощностью Мощность численно равна отношению  к промежутку времени  за который она совершается.

или в общем случае

,

Подставляя значение  получим

(1.5)

Кинетическая энергия

Рассмотрим случай, когда материальная точка движется из точки 1 в точку 2 под действием приложенных к ней сил (рис.4.4.)

Причем силы, действующие на материальную точку, могут иметь разную природу, т.е. могут быть консервативными и неконсервативными. Уравнение движения в этом случае запишется в виде

(1.6)

где 
Перепишем (4.6) в виде

(1.7)

Умножим скалярно уравнение (4.7) на  и проинтегрируем от точки1 до точки 2, получим:

(1.8)

Учитываем то, что  , и интеграл в правой части выражения (4.8) представляет собой работу всех сил, на участке 1-2, можно записать:

(1.9)

величина

(1.10)

называется кинетической энергией материальной точки. Таким образом, кинетическая энергия материальной точки – это энергия, которой обладает эта точка вследствие своего движения.

Из полученного выражения (4.9) следует, что работа всех сил, действующих на материальную точку на участке траектории 1-2 равна изменению ее кинетической энергии на этом участке.

Потенциальная энергия

Потенциальная энергия - это энергия, обусловленная взаимным расположением тел и характером их взаимодействия. При соответствующих условиях возможно изменение потенциальной энергии, за счет чего совершается работа. Для поднятия тела массой m на высоту  необходимо совершить работу против сил тяготения Р:

,

знак минус перед интегралом, т.к. сила Р направлена в сторону противоположную изменению h.

Проинтегрируем это выражение:

Эта энергия пойдет на увеличение энергии замкнутой системы тело-Земля т.е. численно равна

Считая поверхности Земли , получим

Эта энергия системы тело - Земля и является потенциальной энергиейтела, поднятого на высоту h:

(1.11)