Мазкур ўқув-услубий мажмуа Олий ва ўрта махсус таълим вазирлигининг 016 йил апрелидаги 137-сонли буйруғи билан тасдиқланган ўқув режа ва дастур асосида тайёрланди

n ўлчамли фазода базис ва координаталар.

Таъриф-4. n ўлчамли V фазонинг n та чизиқли эркли векторлари тўплами V нинг базиси деб аталади.

e₁ , e₂ ,...,e_n

Масалан, 1-мисолда кўрилган V (уч ўлчамли) фазода бир
текисликда ётмаган ҳар қандай учта вектор базис ҳосил қилади.
n ўлчамли фазо таърифига мувофиқ, унда n та чизиқли эркли вектор, яъни базис мавжуддир.
Теорема-1. n ўлчамли V чизиқли фазонинг хар бир х векторини базис векторларининг чизиқли комбинацияси орқали ягона тарзда ифодалаш мумкин.

Исбот.
e₁ , e₂ ,...,e_n
векторлари V фазода базис ташкил қилсин.

Буларга V нинг ихтиёрий бир векторини қўшамиз. Энди х, e₁ , e₂ ,..., e_n

векторлар n+1 та бўлди. Шунинг учун, n ўлчамли фазо таърифга мувофиқ улар чизиқли боғлик бўлиши керак, яъни

бундаги _i

₀ x  ₁e₁  ₂e₂  ...  _ne_n  0
ларнинг баъзилари нолга тенг эмас.  ₀
(3)
соннинг нолдан

фарқли экани маълум, чунки акс ҳолда (3) формуладан e₁ , e₂ ,...,e_n

векторларнинг чизиқли боғлик бўлиши келиб чиққан бўлар эди.

3. 
   дан х векторни топамиз:
   






x   ^1 e  ^2 e  ... ^n e .
1 2 n
0 0 0

Биз ҳар бир x  R¹ вектор e , e ,...,e
векторларнинг чизиқли

1 2 n

комбинацияси эканини исбот қилдик.

Энди ҳосил қилинган ифоданинг биргина эканини (ягоналигини) исбот қиламиз. х вектор базис векторлар орқали икки хил ифодаланган деб, яъни:

x  ₁e₁  ₂e₂  ...  _ne_n
ва
x  ₁^e₁  ₂^e₂  ...  _n^e_n

деб фараз килайлик. Буларнинг биринчисидан иккинчисини айириб,

0  (₁  ₁^)x  (₂  ₂^ )e₂  ...  (_n  _n^ )e_n

тенгликни ҳосил қиламиз.
учун, бу тенглик
e₁ , e₂ ,...,e_n
векторлар чизиқли эркли бўлгани

бўлгандагина, яъни

₁  ₁^  ₂  ₂^  ...  _n  _n^  0

₁  ₁^, ₂  ₂^ ,...,_n  _n^

бўлгандагина ўринлидир. х ни базис векторлар орқали ифода этиш биргина эканлиги исбот этилди.

Теорема исботланди.

Таъриф-5. Агар
e₁ , e₂ ,...,e_n
лар n ўлчамли фазода базис бўлиб,

бўлса, у ҳолда ₁ , ₂ ,...,_n

x  ₁e₁  ₂e₂  ...  _ne_n
сонлар х векторнинг

e₁ , e₂ ,...,e_n

базисдаги

(4)

координаталари деб аталади.
1-теоремага мувофиқ, маълум

e₁ , e₂ ,...,e_n базисда ҳар бир вектор

бир қийматли аниқланадиган координаталарга эга.

Агар х вектор
e₁ , e₂ ,...,e_n
базисда
₁ , ₂ ,...,_n
координаталарга, у

вектор эса ₁ , ₂ ,...,_n

бўлса, у ҳолда

координаталарга эга бўлса, яъни агар
x  ₁e₁  ₂e₂  ...  _ne_n
y  ₁e₁  ₂e₂  ...  _ne_n

x  y  (₁  ₁ )e₁  (₂  ₂ )e₂  ...  (_n  _n )e_n ,

яъни х+у вектор ₁  ₁ , ₂  ₂ , ... _n  _n
координаталарга эга бўлади.

Шунга ўхшаш, x
векторлар
₁ , ₂ ,...,_n
координаталарга эгадир.

Шундай қилиб, х ва у векторларни кўшишда уларнинг координаталари қўшилади. х векторни  сонга кўпайтиришда унинг координаталари шу сонга кўпайтирилади.

Фақат ноль векторнинг ҳамма координаталари нолга тенглиги равшандир.

1.Чизиқли фазо

Фазода чизиқ куйидаги усулларда берилиши мумкин:
а) тайин нуктаси ва йуналтирувчи векторининг берилиши билан;
б) турлича иккита нуктасининг берилиши билан;
в) иккита кесишувчи текисликнинг берилиши билан.
т ўғри чизиқ узининг M₀(x₀,y₀,z₀) нуктаси (тўғри чизиқ да ётган ), йуналтирувчи ={m,n,p} вектори билан берилган бўлсин.
тўғри чизиқ нинг ихтиёрий
M (x,y,z) нуктасини олиб, M₀M
векторни хосил киламиз . Бу
ва векторлар коллинеар бўлгани учун:
=t (t R) (1)
Агар = , = деб олсак , чизмадан = - эканлигидан ҳисобга олсак , (1) ни куйидагича ёзиш мумкин:
= +t (2).
Бу (2) тенглама тўғри чизиқ нинг вектор тенгламаси дейилади. М ва М₀ нукталар радиус векторларининг
=xi+yj+zk,
= x₀i+y₀j+z₀ k,
tS= tmi+ tnj + tpk
қийматларини (2) формулага қўямиз ва икки векторнинг тенглик хоссасига кўра
(3)
тенгликларни хосил киламиз . (3) кЎринишдаги тенгламалар системасига тўғри чизиқнинг параметрик тенгламалари дейилади.
(3) тенгламалар системасидан t параметрни топамиз;
.
Бундан
(4)
(4) тенглама тўғри чизиқнинг каноник тенгламаси дейилади.
Хусусий холда , S йуналтирувчи вектор бирлик вектор бўлганда , яъни

бўлса, у холда (4) тенглама

кўринишга эга бўлади.
Декарт координаталар системасида M₁(x₁,y₁,z₁) ва M₂(x₂,y₂,z₂) нуқталар берилган бўлсин . Бу нуқталардан ўтувчи тўғри чизиқ тенгламасини топиш учун векторни чизиб оламиз. Бу вектор ={x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁} га тенгдир. Агар тўғри чизиқ нинг йуналтирувчи векторини = деб олсак, у
холда (4) тенглама куйидаги кўриниш га эга бўлади:
(5)
(5) тенглама М₁ ва М₂ нуқталардан ўтувчи тўғри чизиқ тенгламаси бўлади . Бу тенгламани
(6)
кўринишда хам ёзиш мумкин. (6) икки нукта оркали утувчи тўғри чизиқ нинг параметрик кўринишдаги тенгламасидир.
Кесишувчи иккита текислик тенгламалари системаси
(7)
ни тўғри чизиқ нинг умумий тенгламалари дейилади. (7) дан (4) га ўтиш учун ўзгарувчилардан бири, масалан, z га z=z₀
киймат бериб, системани ечиб x=x₀, y=y₀ ларни топамиз.
Йўналтирувчи векторини берилган текисликларга перпендикуляр бўлган векторларнинг векториал кўпайтмаси сифатида топамиз .
={A₁,B₁,C₁}; ={A₂,B₂,C₂}
=[ , ]; .
У холда (4) га кўра
(8)
Бундан эса параметрик тенгламага осонгина ўтиш мумкин .
Каноник тенгламадан умумий тенгламага ўтиш учун 8 та нукта топиб, (7) га қўйиб ечилади.
Фазода иккита
ва

тўғри чизиқлар берилган бўлсин . Икки тўғри чизиқ орасидаги бурчак деб бу тўғри чизиқларнинг йўналтирувчи векторлари орасидаги бурчакка айтилади.
Тўғри чизиқларнинг йўналтирувчи векторлари мос холда
ва бўлсин. У холда икки тўғри чизиқ орасидаги бурчак икки вектор орасидаги бурчак каби
(9)
формула ёрдамида топилади. (9) формуладан қуйидаги келиб чикади :
бўлса , бўлиб , тўғри чизиқлар перпендикуляр бўлади . бўлса ,

бўлиб , тўғри чизиқлар параллел бўлади .
Фазода берилган
учун :
1) m=0 десак , ={o;n;p} ={1;0;0} бундан
Q ox ёки Q тўғри чизиқни yoz га параллеллиги келиб чикади. Шунингдек n=0 да xoz га, p=0 да xoy га параллел бўлади.
2) m=0, n=0 бўлсин. S={0;0;p} // e₃= {0;0;1} демак, бу холда тўғри чизиқ oz укка параллел . Шунингдек , m=0,p=0 да oy укка , n=0,p=0 да ox укка параллел бўлади .
Таъриф. Фазодаги тайин М₀ нуктадан утган барча тўғри чизиқлар тўплам и М₀ марказли тўғри чизиқлар боғлами деб аталади .
марказли боғлам ушбу
x=x₀+l t , y=y₀+mt , z=z₀+nt
параметрик тенгламалар билан ифодаланади, бу ерда l,m,n боғламдаги ҳар бир тўғри чизиқ учун тайин қийматларга эга.
Фазода М₀ нуктадан фаркли бирор М нукта берилса , шу М нуктадан боғламга тегишли факат битта тўғри чизиқ ўтади.
Таъриф. Агар фазода тайин u тўғри чизиқ берилган бўлса , унга параллел барча тўғри чизиқлар тўплам и параллел тўғри чизиқ лар боғлами деб аталади.
.