Мазкур ўқув-услубий мажмуа Олий ва ўрта махсус таълим вазирлигининг 016 йил апрелидаги 137-сонли буйруғи билан тасдиқланган ўқув режа ва дастур асосида тайёрланди

V. КЕЙСЛАР БАНКИ

1.Бизга дифференциал тенглама берилган бўлсин. Унинг ечими кўринишда бўлади. Ечимнинг графиги

параметрик тенгламаларга эга бўлган регуляр чизиқдир.
2.Текисликда

параметрик тенгламалар билан берилган чизиқ регуляр эмас, чунки у нуқта атрофида регуляр параметрлаш усулига эга эмас.
3.Текисликда

параметрик тенгламалар билан берилган чизиқ умумий чизиқ бўлади, чунки ва нуқталар текисликда устма-уст тушади. Бу умумий чизиқ

тенгламалар билан аниқланган элементар чизиқнинг

формула билан аниқланган локал топологик акслантиришдаги образидир (4-чизма).

4. Бернулли лемнискатаси (3-чизма). Текисликда ҳар биридан берилган ва нуқталаргача бўлган масофаларнинг кўпайтмаси ва нуқталар орасидаги масофа ярмининг квадратига тенг бўлган нуқталар тўплами Бернулли лемнискатаси деб аталади. Бернулли лемнискатаси­нинг умумий чизиқ эканлигини кўрсатамиз. Бунинг учун текисликда ўқи сифатида тўғри чизиқни, ўқи сифатида кесма ўртасидан ўтувчи ва ўқига перпендикуляр тўғри чизиқни олиб, белгилаш киритамиз. Шунда Бернулли лемнискатасига тегишли ихтиёрий нуқта учун

тенглик ўринли бўлади. Бу тенгликни квадратга кўтариб соддалаштириш натижасида, қуйидаги тенгламани ҳосил қиламиз.

Энди формулалар ёрдамида қутб координаталар системасига ўтсак

тенглама ҳосил қиламиз. Энди бу чизиқнинг умумий чизиқ эканлиги

тенгламалар билан аниқланган айлананинг

формула ёрдамида аниқланган локал топологик акслантиришдаги образи Бернулли лемнискатаси билан устма-уст тушишидан келиб чиқади.
5. Ҳар қандай текислик элементар сиртдир, чунки текислик дои­рага гомеоморфдир.
Агар М(х₀,у₀,z₀) текислик нуқтаси, ва векторлар текисликка параллел бўлса, уни
-∞< <+∞, -∞< <+∞
кўринишида параметрлаш мумкин. Бу ерда - нуқта­нинг радиус векторидир.
6. Элементар -соҳада аниқланган узлуксиз функция графиги элементар сиртдир. Сабаби, акслантириш (проекция) гомеоморфизмдир.



Чизма-1

7. Икки ўлчамли сфера S² элементар бўлмаган содда сиртдир. R радиусли сфера S² нинг марказига координаталар бошини жойлаш­тирсак, уни S² тўплам сифатида қарашимиз мумкин. S² нинг сирт эканлигини исботлаш учун унга тегишли бирорта Р ни олайлик.

Р дан фарқли S нуқтани жанубий қутб сифатида, унга диаметрик қарама-қарши бўлган N нуқтани шимолий қутб ҳисоблаб, z ўқини координата бошидан N нуқта орқали ўтказамиз, Оху текислиги эса О нўқтадан ўтувчи ва ОN га перпендикуляр текисликдир.
Бу текислик ва сфера кесишишидан ҳосил бўлган айланани экватор деб атаймиз. Энди u билан 0Q нур ва 0x ўқи орасидаги бурчакни, v билан 0P ва 0Q нурлар орасидаги бурчакни белгилаймиз.
Бу ерда Q - меридианнинг экватор билан кесишиш нуқтасидир, .
Шунда S² нинг NS - меридиан чиқариб ташланган қисми акслан­тириш ёрдамида элементар соҳага гомеоморф акслантири­лади ва

тенгламалар ёрдамида параметрланади.

N



Чизма-2
4) Доиравий цилиндрнинг параметрик тенгламалари

кўринишда бўлади. Бу ерда -∞
Aлбатта цилиндр ҳам элементар сирт эмас.