Maxsus funksiyalar uchun fure almashtirishlari

1.2.Fure almashtirishning xossalari .
Furening sinus va kosinus almashtirishlari.
Faraz qilaylik haqiqiy qiymatli f(x)funksiya Lsinfdan olingan bo’lsin. f(x) funksiyaning Fure almashtirishini kosinus va sinus orqali formulasini yozamiz:


Agar qo’shmcha mulohazani kiritsak ,ya’ni f(x) juft (f(-x)=f(x)) funksiya deb qarasak ikkinchi yig’indi nolga aylanadi va biz f(x) funksiyaning cos almashtirishini olamiz:


formuladan foydalansak,
( (1.2.1)
formulaga ega bo’lamiz. Xuddi shunday usulda
( (1.2.2)
formulaga ega bo’lamiz. Odatda (1.2.1) va (1.2.2) formulalar funksiya uchun mos ravishda Furening kosinus va Furening sinus almashtirishlari deyiladi.
Bizga ma’lumki ixtiyoriy haqiqiy qiymatli f(x)funksiyani ikkita,juft va toq funksiyalar yig’indisi ko’rinishida tasvirlash mumkin.

Funksiyaning bunday ko’rinishini,uning Fure almashtirishida

ko’rinishni oladi. Agar berilgan funksiya kompleks qiymatli bo’lsa, u holda uni
ko’rinishda tasvirlaymiz. Bu funksiyani Fure almashtirishini topishda, Furening cos va sin almashtirishlaridan foydalanamiz.
Misol: Juft funksiyaning Fure almashtirishi, uning Fure cos almashtirishiga tengligiga isbotlang.
Isbot: Faraz qilaylik f(-x)=f(x)bo’lsin. Bu holda uning Fure almashtirishi.

ko’rinishni oladi. Bunda integiralni alohida hisoblaymiz:

=
,
demak funksiya uchun

Bundan esa
(σ
Furening kosinus almashtirishlarini olamiz.
Misol: funksiya uchun Furening sinus almashtirishlarini aniqlang .
Yechim:



.
Fure almashtirishlarining xossalari.
Quyda keltiriladigan xossalar yordamida jadvalda beriladigan funksiyalarning Fure almashtirishini keltirib chiqarish mumkin.