Mavzuning dolzarbligi, maqsadi va vazifalari 2-9

§1.1.da ushbu

(1)

1-tartibli chiziqli tenglamani yechishda Eyler Bernulli metodi bayon rtiladi,bu yerda P(x),Q(x),

§1.1.paragrafning asosiy natijasi, (1) - tenglama yechimini y=u*v, (u=u(x), v=v(x) - noma’lum funksiyalar) ko’rinishda izlab, (1) ni umumiy yechimi uchun ushbu formulani hosil qilishdan iboratdir:

C=const, (2)

§1.2.paragrafda esa (1) tenglamaning yechishning Lagranj usuli (o’zgarmasni variatsiyalash usuli bilan (2) formulani hosil qilish isbotlanadi. Bu bobda tipik misollarni yechish ham ko’rsatiladi.

II-bobning §2.1.paragrafida ushbu Bernulli differensial tenglamasi o’rganiladi:

(3)

Bu yerda,P(x), Q(x),

da berilgan uzluksiz funksiyalar, -biror o’zgarmas haqiqiy son ( ) Agar bo’lsa, (3)dan (1), ya’ni birinchi tartibli chiziqli tenglama hosil bo’ladi, agar bo’lsa, (3)dan

yoki o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama hosil bo’ladi, shu sababdan ham deb faraz qilamiz.

§2.1. paragrafning asosiy natijasi ushbu teoremani isbotlashdan iborat:

Teorema: Agar P(x), Q(x) funksiyalar oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, bo’lsa, u holda sohaning ixtiyoriy olingan nuqtasidan (3) tenglamaning oraliqda aniqlangan bitta integral chizig’I o’tadi. Ravshanki, bo’lganda, (3) tenglama yechimga ega. Bu yechim ham nuqtadan o’tadigan integral chiziqni ifodalaydi, bu yechim (3) tenglamaning umumiy yechimdan hosil bo’lmaydi va u maxsus yechim hisoblanadi.

§2.2 da ushbu Darbu tenglamasi:

(4) bunda,

M(x) va N(x) funksiyalar bir o’lchovli va P(x) shu yoki boshqa o’lchovli bir jinsli funksiyalar.

§2.3.da esa ushbu

(5)

Yakobi differensial tenglamasi bunda

berilgan o’zgarmas sonlardan iborat.

O’rganiladigan(4) va(5) tenglamalarni Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechish usullari o’rganiladi va konkret misollarni yechib ko’rsatiladi.

§2.4.da ushbu Rikkati differensial tenglamasi o’rganiladi:

(6) bunda.

P(x), Q(x) va R(x), -berilgan funksiyalar. Ravshanki, agar R(x)=0 bo’lsa, ushbu Bernulli differensial tenglamasi hosil bo’ladi:

Bu paragrafda ushbu teorema ham isbotlanadi:

Teorema: Agar (6) Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, bu tenglama kvadraturalarda integrallanadi.

Shuningdek, bu paragraf oxirida Bernulli differensial tenglamasiga keltirilib yechiladigan Rikkati tenglamasiga oid misollar ham yechib ko’rsatilgan.

§2.5.da esa fizik masala-argonning sirpanishi haqidagi masala o’rganiladi va bu masalani yechishni Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechish ko’rsatiladi.

Bitiruv malakaviy ishi nihoyasida ishni bajarish jarayonida hosil bo’lgan xulosalar va ishga doir foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati ilova qilinadi.

I - Bob. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar.

1.1. Ta’rif. ushbu

(1)

Ko’rinishdagi tenglama birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi, (1) tenglamada P(x), Q(x) funksiyalar biror oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. (1) ni sohada qaraymiz, bu to’plam oraliqning qanday bo’lishiga qarab tasma (kenglik), va tekisliklardan iborat bo’lishi mumkin.

Bir qator differensial tenglamalar, xususan Bernulli, Rikkati va boshqa tenglamalarni integrallashga keltiriladi.

Ma’lumki, (1) tenglamani integrallashda bir necha metodlar mavjuddir. Bu metodlardan ikkitasini qarab chiqamiz.

§1.1. Eyler Bernulli metodi.

1. 
   tenglamani yechishda bu metodda erkin o’zgaruvchi x ni o’zicha qoldirib, y noma’lum funksiyani esa
   

y=u*v, (1,2) shaklda izlash tavsiya etiladi, bu yerda u va v larning har biri x ning no’malum funksiyasi bo’lib, ulardan biri hozircha ixtiyoriydir: u=u(x), v=v(x),

(1.2) dan hosilani hisoblaymiz

(1.3)

(1.2) va (1.3) ni (1.1) ga qo’ysak

(1.4)

Endi u=u(x) funksiyani shunday tanlaymizki, natijada

(1,5)

Tenglik bajarilsin. (1.5) tenglama esa o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo’lgani uchun, o’zgaruvchilarni ajratib

Bundan esa, integrallash natijasida:

yoki

(1.6)

Biz bu yerda soddaliknuqtai nazaridan ixtiyoriy o’zgarmas sonni kiitmadik.

Endi (1.5) ga asosan, (1,4) tenglama ko’rinishi bunday bo’ladi:

(1.6) tenglik bilan aniqlangan u ning o’rniga ifodasini qo’ysak,

yoki

bundan esa

(C=const), (1.7) (1.6) va (1.7) tengliklarni e’tiborga olib eski o’zgaruvchi y ga (1.2) tenglik bo’yicha qaytsak, natijada (1.1) tenglamaning umumiy integralini quyidagi ko’rinishda hosil qilamiz.

(1.8)

(1.8) umumiy yechimning tuzulishiga qaraganda u ikki kvadraturani talab qiladi.

Agarda (1.8) tenglikdagi kvadraturalarni bajarib, qavsni ochilsa, uning umumy ko’rinishi

bo’ladi. Bundan ko’rinadiki: birinchi tartibli chiziqli tenglamaning umumiy integrali-integrallash natijasida hosil bo’lgan ixtiyoriy o’zgarmasga nisbatan butun chiziqli funksiyadan iboratdir.

Misol. Ushbu chiziqli tenglama integrallansin:

Bu yerda

Eyler Bernulli metodiga muofiq

y=u*v, (1.10)

deb faraz qilsak bundan

Buni va (1.10) almashtirishi berilgan tenglamaga qo’ysak:

yoki v ning oldidagi koeffisentni nolga tenglashtirilsa,

yoki

yoki u(x)=x. (1.12)

(1.12) ga asosan (1.11) ning ko’rinishi

bo’ladi.Bundan esa

(C=const), (1.13)

(1.12) va (1.13) larni (1.10) ga qo’ysak, (1,9) tenglamaning ushbu ko’rinishdagi umumiy integralini hosil qilamiz:

(C=const), (1.14).

§1.2.Lagranj usuli (o’zgarmasni variatsiyalash usuli)

Endi birinchi tartibli chiziqli tenglamani integrallash uchun Lagranj tomonidan taqdim etilgan ixtiyoriy o’zgarmasning variatsiyalash metodini qaraymiz.(1.1) tenglamaga mos birinchi tartibli chiziqli bir jinsli tenglamani

qaraymiz.

(1.15)

Bu tenglamalani o’zgaruvchilarini ajratsak,

bundan

yoki

(1.16)

Bu yerda C ixtiyoriy o’zgarmasdir.

Lagranj metodini mohiyati shundaki, (1.1) tenglamaning umumiy yechimini (1.16) ko’rinishda izlab, bu yerda C o’zgarmasni “x” ning biror no’malum funksiyasi deb: C=c(x) izlashni tavsiya qilinadi:

(1.17) u holda



(1.18)

(1.17) va ( 1.18) ni (1.1) ga qo’ysak,

yoki

bundan esa

C₁=const, (1.19) c(x) uchun topilgan bu ifodani (1.17) ga qo’ysak, Eyler-Bernulli usuli bilan topilgan (1.1) tenglamani umumiy yechimi uchun hosil qilingan natijani hosil qilamiz:

(1.20)

Misol.

Ushbu,

tenglamani Lagranj metodi bilan yechishni qaraymiz.

Yechilishi:

Bir jinsli tenglamani qaraymiz.

Bundan,

Yoki,

Y=Cx;

Agar C=C(x)-no’malum funksiya desak,

Y=C(x)x₁

y va ning ifodalarini berilgan tenglamaga qo’yamiz, bu holda

Dc=2xdx

Demak, C=x²+C_1, (c₁=const)

Natijada,berilgan tenglamaning umumiy yechimi uchun ushbuni hosil qilamiz

yoki

Endi chiziqli tenglamaning ba’zi xususiyatlari bilan tanishamiz. Chiziqli tenglamani to’liq integrallash uchun ikki kvadratura bajarilishi lozim edi. Lekin agarda tenglamaning biror xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, integrallash bitta kvadratura bilan bajariladi. Haqiqatda faraz qilaylik,

y=y₁

1. 
   tenglamaning xususiy yechimi bo’lsin, ya’ni
   

(1.21)

Agarda

(1.22)

Deb faraz qilinsa, (1.1) tenglamaning ko’rinishi

bo’ladi, yoki (1.21) ga asosan

(1.23) bundan,

demak

(1.24),

Buni (1.22) ga qo’yilsa, (1.1) tenglamaning umumiy integrali hosil bo’ladi:

(1.25)

Va bu bitta kvadratura bajarishni talab qiladi.

Demak, (1.1) chiziqli tenglamaning birorta xususiy yechimi ma’lum bo’lgan holda uni integrallash bitta kvadratura bilan bajariladi.

Endi faraz qilaylik, (1.1) tenglamaning ikkita xususiy yechimlari ma’lum bo’lsin. Integrallash bu holda kvadraturasiz bajariladi. Haqiqatda chiziqli tenglama umumiy integralining ko’rinishi

(1.26)

Bo’lgan edi, bunda va

Ma’lum funksiyalar. Faraz qilaylik, y₁ va y₂ xususiy yechimlar C ning C₁ va C₂ qiymatlariga mos kelsin, ya’ni

(1.27)

(1.26) va (1.27) dan

bunda -ixtiyoriy o’zgarmas son, yoki buni y ga nisbatan yechilsa,

(1.28)

Demak, (1.1) chiziqli tenglamaning ikkita xususiy yechimi ma’lum bo’lgan holda, uni integrallash kvadraturasiz bajariladi.

II-bob.

Bernulli differensial tenglamasi va uning tadbiqlari.