Mavzu: Yuqori tartibli differensial tenglamalar 1

Auditoriyada yechish uchun misollar
Quyidagi tenglamalarni yeching:
a) b)
v) g) ( )
d) e)
J: a)
b)
v)
g)
d)
e)

2. Koshi masalasini yeching:

a)
b)
v)
J: a)
b)
v)
3- Mustaqil ish.

1. 
   Quyidagi tenglamani yeching:
   

1. 
   g)
   
2. 
   d)
   

v) e)
J: a)
b)
v)
g)
d)
e)
2. Koshi masalasini yeching:
a)
b)
v)

J: a)

b) v)
O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli chiziqli tenglamalar
1. Ushbu

ko’rinishdagi tenglama tartibli bir jinsli chiziqli deyiladi.
Bu yerda biror oraliqda aniqlangan va uzunliksiz funksialar bo’lib, ular tenglamaning deyiladi.
Agar funksiyalar tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamaning oraliqda aniqlangan chiziqli erkli echimlari bo’lsa, u holda uning umumiy yechimi

ko’rinishda yoziladi.
Chiziqli erkli echimlar deyiladi.
2. Agar tartibli chliziqli bir jinsli differensial tenglamaning koeffisentlari o’zgarmas sonlar bo’lsa, u holda xususiy yechimlar ko’rinishda izlanadi. Bu yerdagi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi deb ataluvchi ushbu

tenglamaning ildizlari bo’ladi.
Xarakteristik tenglama ta ildizlarga ega. Bu ildizlarning xarakteriga ko’ra ularga mos xususiy yechimlar quyidagicha bo’ladi:

1. 
   xarakteristik tenglamaning har bir haqiqiy sodda ildiziga xususiy yechim mos keladi.
   
2. 
   har bir karrali haqiqiy ildizga ta chiziqli erkli yechimlar mos keladi;
   

v) kompleks qo’shma sodda ildizlarning har bir va juftiga ikkita chiziqli erkli va xususiy yechim mos keladi;
g) karraligi ga teng bo’lgan kompleks qo’shma ildizlarning har bir , juftiga ta ushbu chiziqli erkli xususiy yechimlar mos keladi;

Olingan xususiy yechimlar – yechimlarning fundamental sistemasining chiziqli kombinatsiyasi

ni tuzib, o’zgarmas koeffitsentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi hosil qlinadi.
1-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Xarakteristik tenglamani tuzamiz:

uning ildizlari va haqiqiy va oddiy, demak, berilgan tenglamaning xususiy chiziqli erkli yechimlari (fundamental yechimlar sistemasi): va tenglamaning umumiy yechimi esa

bo’ladi.
2-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Xarakteristik tenglamani tuzamiz:

Uning ildizlari haqiqiy va oddiy. Bu ildizlarga ushbu xususiy chiziqli erkli yechimlar mos keladi:

Umumiy yechim quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

3- misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechish. Xarakteristik tenglamani tuzamiz:
,
Uning yechimlari: haqiqiy , kompleks qo’shma ( ). Fundamental yechimlar sistemasini yozamiz:

Umumiy yechim:

4- misol. tenglamaning oshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Yechish. Bu tenglamani xarakteristik tenglamasi k² – k – 2 = 0 quyidagi ildizlarga ega: k₁ = 2, k₂ = - 1 . Demak, umumiy yechim
y = C₁ e^2x + C₂e^-x
ko’rinishida bo’ladi. Uning hosilasi
y’=2C₁e^2x-C₂e^-x
Boshlang’ich shartlarni umumiy yechimga va unung hosilasiga qo’yib, ga nisbatan ushbu tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

bu yerdan Demak, berilgan boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechim quyidagicha bo’ladi:

5-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. xarakteristik tenglama qo’shma- kompleks ildizlarga ega. Bularga mos fundamental yechimlar sistemasi quyidagicha bo’ladi:

Umumiy yechim:

6-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Xarakteristik tenglamani tuzamiz:
bu tenglama karrali ildizlarga ega. Bularga mos fundamental yechimlar sistemasi
ko’rinishga ega bo’ladi. Demak, umumiy yechim

yoki