Mavzu: vektorlarni skalyar kopaytmasi

10-chizma

Vektorlarning chiziqli bog’liqligi

1-ta’rif. Ixtiyoriy vektorlar sistemasi va a₁ , a₂ , a_n haqiqiy sonlar berilgan bo’lsin, u holda
(16)
vektor vektorlarning chiziqli kombinasiyasi deb ataladi, a₁ , a₂ , a_n sonlar bu chiziqli kombinasiyaning koeffisentlari deyiladi.
Xususiy holda, ikki vektorning yig’indisi , ikki vektorning ayirmasi va vektorlarni songa ko’paytmasi ham chiziqli kombinasiyidir.
2-ta’rif. Agar kamida biri noldan farqli a₁ , a₂ , a_n sonlar mavjud bo’lib, chiziqli kombinasiya nol vektor, ya’ni
= (17)
bo'lsa, u holda vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq va (17) munosabat a₁ , a₂ , a_n sonlarning barchasi nolga teng holda bajarilsa, vektorlar chiziqli erkli deb ataladi.
1-teorema. Agar vektorlar sistemasining bir vektori nol vektor bo’lsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq bo’ladi.
Isbot. bo’lsin, u holda ,
a₁ = a₂₌, =a_k-1 = a_k+1 = =a_n =0 sonlar uchun (17) munosabat o’rinli bo’ladi.
Demak 2-ta’rifga ko’ra asosan vektorlar chiziqli bog’liq.
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi: chiziqli erkli vektorlar sistemasi nol nol vektorni o’z ichiga olmaydi.
2-teorema. Agar vektorlar sistemasi chiziqli bo’g’liq bo’lsa, sistemaning kamida bitta vektori uning qolgan vektorlari orqali chiziqli ifodalanadi.
Isbot: vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq bo’lsin, u holda 2-ta’rifga ko’ra kamida bittasi noldan farqli a₁ , a₂ , a_n sonlar mavjud bo’lib, (17) munosabat o’rinli bo’ladi. Aniqlik uchun bo’lsin, u holda (17) munosabatni ga hadma –had bo’lib, vektorni topsak,

tenglikka ega bo’lamiz.
3-teorema. Ikkita vektor chiziqli bog’liq bo’lishi uchun ularning kollinear bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. vektorlar chiziqli bog’liq bo’lsin, u holda kamida biri noldan farqli a₁ , a₂ sonlar mavjud bo’lib,
= (18)
bo'ladi. Aniqlik uchun bo’lsin, u holda (18) munosabatdan belgilashlarni kiritsak, bo’ladi, bundan teoremaga asosan ║ ekani kelib chiqadi.
Yetarliligi. ║ bo’lsin, u holda shunday son mavjudki, yoki . 2-ta’rifga ko’ra , vektorlar chiziqli bo’g’liq.
Bu teoremadan quyidagi xulosaga kelamiz. Yuqorida biz V ning bir to’g’ri chiziqqa parallel bo’lgan barcha vektorlari to’plamini V₁ ning har ikki vektori chiziqli bog’liq bo’lib, uning noldan farqli har bir vektori chiziqli erklidir.
4-teorema. Uch vektor chiziqli bog’liq bo’lishi uchun ularning komplanar bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. vektorlar chiziqli bog’liq bo’lsin, u nolda kamida biri noldan farqli a₁ , a₂ , a₃ haqiqiy sonlar mavjud bo’lib,
= (19)
tenglik bajariladi. Aytaylik, bo’lsin. (19) munosabatdan ga hadma had bo’lib, vektorni topamiz: . Bu tenglikda belgilashlarni kiritib, munosabatni hosil qilish mumkin.
va yo’nalgan kesmalarni qaraymiz. Agar A, B, C nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotsa, va vektorlar kollinear bo’ladi.
Demak, bu holda vektorlar komplanar. A,B,C nuqtalar bitta to’g’ri chiziqda yotmagan holda ular orqali bitta tekislik o’tadi. Vektorlarni qo’shishning uchburchak qoidasidan vektor , vektorlar bilan bir tekislikda yotadi, bundan vektorlarning komplanarligi kelib chiqadi.
Yetarliligi. vektorlar komplanar bo’lsin. Bu vektorlarning har birini A nuqtadan boshlab qo’ysak, , , vektorlar hosil bo’ladi. Agar bu vektorlarning ikkitasi, masalan, , kollinear bo’lsa, 3-teoremaga ko’ra ular chiziqli bog’liq, ya’ni kamida biri noldan farqli, sonlar mavjud bo’lib,
=
u holda
=
munosabatni yozish mumkin, bu munosabatdan vektorlarning chiziqli bog’liqligi kelib chiqadi.
11-chizma
, vektorlar kollinear bo’lmasin (11) chizma. vektorni , vektorlar yo’nalishlariga parallel proyeksiyalasak, ,
lekin ║ , ║ , shuning uchun = , va = bo’lib,
(20)
Bu yerda =pr , = pr (20) tenglikdan
→ vektorlar chiziqli bog’liq.
Bu teoremadan quyidagi natijaga kelamiz. V₂ vektor fazoning nokollinear har ikki vektori chiziqli erkli, har qanday uch vektori chiziqli bog’liq.
Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi.

T a’rif. vektorlarning uzunliklari bilan ular orasidagi burchak kosinusini ko’paytirishni hosil qilingan son bu vektorlarning skalyar ko’paytmasini yoki ( ) ko’rinishda belgilanadi.

Demak, ta’rifga ko’ra (29).
Masalan, va vektorlarning uzunliklari , bo’lib, bu vektorlar orasidagi burchak 120 ͦ bo’lsa, u holda va vektorlarning skalyar ko’paytmasi :.

Natija. Nol vektorning har qanday vektorga skalyar ko’paytmasi nolga teng.
Ikki vektorni skalyar ko’paytirish amali quyidagi xossalarga ega.
1ͦ . Skalyar ko’paytirish o’rin almashtirish qonuniga bo’ysunadi.
=
Isbot. Ta’rifga ko’ra

va
;
kosinus juft funksiya ekanligini e’tiborga olsak, , bundan
= .
2ͦ . Har qanday vektorning o’z-o’ziga skalyar ko’paytmasi bu vektor uzunligining kvadratiga teng:

Isbot. Skalyar ko’paytma ta’rifidan,

ifoda bilan belgilanadi va vektorning skalyar kvadrati deb ataladi.
U holda (30) tenglikdan vektorning uzunligi:

3ͦ . Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi ularning birini uzunligi bilan ikkinchisining birinchisi yo’nalishiga tushirilgan proyeksiyasi ko’paytmasiga teng, ya’ni
( )
Isbot.
=
Bu yerda orthogonal proyeksiya ko’zda turilgan.
4ͦ . Skalyar ko’paytirish skalyar ko’paytuvchiga nisbatan gruppalanish qonuniga bo’ysunadi, ya’ni
, bu yerda
Isbot. Yuqoridagi 1ͦ , 3ͦ xossalarga ko’ra

5ͦ. Ko’paytuvchi vektorlar perpendikulyar bo’lsa, skalyar ko’paytma nolga teng:

Isbot. . Bu holda
6ͦ. Skalyar ko’paytirish taqsimot qonuniga bo’ysunadi, ya’ni har
qanday vektorlar uchun

Isbot. Yuqoridagi 1ͦ. 3 ͦ xossalarga ko’ra

7ͦ. Ortonormallangan bazis uchun

Isbot. Skalyar ko’paytma ta’rifidan

Xususiy holda

Xulosa

Bu kurs ishi analitik geometriya faniga bag’ishlangan bo’lib, unda vektorlar algebrasiga doir bo’lgan ma’lumotlar keltirilgan. Bu kurs ishini yozish davomida vektorlar ustida qo’shish, ayirish, songa ko’paytirish amallari, vektorlarning bog’liqligi haqida, vektorlarning skalyar ko’paytmasi va boshqa ko’plab ma’lumotlarni o’rgandim. Kirish qismida vektorlar haqida umumiy ma’lumotlar keltirdim. Vektorlarga doir misollarni yechish ko’nikmasiga va boshqa yangi bilimlarga ega bo’ldim.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   N.D. Dadajonov. Geometriya (1-qism) Toshkent. 1996
   
2. 
   A. Narmanov. “Analitik geometriya”. Toshkent 2008
   
3. 
   T.Sh. Shodiyev. “Analitik geometriya va chiziqli algebra”. Toshkent. 1984
   
4. 
   Internet sahifalari.