Mavzu: Turg’unlik tushunchasi

1-misol. Ushbu

muxtor sistema

(2)

ko‘rinishidagi yechimga ega. Uch o‘lchamli fazoda (2) tenglamalar vint chiziqni ifodalaydi. Holatlar fazosida (bu yerda tekislik) esa aylanalarni ifodalaydi. (maxsus nuqta) nuqta ham trayektoriya bo‘ladi.

Muxtor sistemalarda (yechim) nuqtaning harakati to‘g‘risida to‘liq ma’lumotga ega bo‘lish uchun trayektoriyada ning oshishiga mos harakat yo‘nalishini ham berish lozim (1-chizma).



_1-chizma

Agar sistemaning trayektoriyasi bo‘lsa, u holda bo‘lib, o‘zining har bir nuqtasida u vektorga urinadi. Chunki vektor, parametrik tenglamasi bilan berilgan chiziqqa urinadi va tenglik o‘rinli bo‘ladi. Boshqacha aytganda, to‘plamning nuqtasiga shu nuqtadan chiqarilgan vektorni mos qo‘yamiz. Demak, (1) muxtor sistemaga da aniqlangan vektor maydon mos keladi. bo‘lsin. Mavjudlik va yagonalik teoremasiga ko‘ra, (1) sistemaning boshlag‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud va yagona. Bu yechimga da trayektoriyasi nuqtadan o‘tuvchi nuqtaning harakati mos keladi. Harakat davomida yechimni belgilaydigan nuqtaning momentdagi tezligi vektor bilan ifodalanadi, ya’ni

.

Umuman olganda holatlar fazosini quyidagicha ta’riflash mumkin.

2-ta’rif. (1) muxtor sistemaning holatlar fazosi deb shunday o‘lchamli fazoga aytiladiki, unda shu sistemaning yechimlari trayektoriyalar bilan, sistemaning o‘zi esa vektor maydon bilan tavsiflanadi. Bunda trayektoriyalar holat trayektoriyalari, vektorlar esa holat tezliklari deb ataladi.

1-teorema. Agar vektor-funksiya (1) sistemaning yechimi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy o‘zgarmas son uchun vektor-funksiya ham (1) sistemaning yechimi bo‘ladi.

Isbot. Teorema shartiga ko‘ra, vektor-funksiya (1) sistemaning yechimi bo‘lgani uchun ayniyat o‘rinli. Bunda ni ga almashtirsak,

hosil bo‘ladi. Bundan

,

kelib chiqadi.■

2-teorema. 1) Muxtor sistemaning ixtiyoriy ikki yechimiga mos keluvchi trayektoriyalari yoki kesishmaydi, yoki ustma-ust tushadi.

2) Aytaylik, funksiya (1) sistemaning boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi bo‘lsin. U holda ixtiyoriy va lar uchun

( )

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikka muxtor sistema yechimining gruppaviy xossasi deyiladi.

Isbot. 1) Aytaylik, va trayektoriyalar umumiy b nuqtaga ega bo‘lsin. U holda shunday va topiladiki, natijada ushbu munosabatlar o‘rinli bo‘ladi. Ko‘rinib turibdiki, funksiya ham (1) sistemaning yechimi bo‘ladi va tengliklar bajariladi. Yagonalik teoremasiga ko‘ra, o‘rinli, ya’ni . Bundan va yechimlar bir xil trayektoriyaga ega ekanligi kelib chiqadi.■

Avtonom bo‘lmagan sistemalar uchun ( ) xossa bajarilmaydi.

1-misol. Avtonom bo‘lmagan ushbu

tenglama ko‘rinishdagi yechimga ega. Ammo ko‘rinishdagi funksiya faqat bo‘lganda uning yechimi bo‘ladi. Berilgan tenglamaning va ko‘rinishdagi har xil yechimlarini qaraylik. Ularning trayektoriyalari da joylashgan bo‘lib, mos ravishda va kesmalardan iborat bo‘ladi. Bu trayektoriyalar har xil bo‘lgani bilan ular kesishadi.