Mavzu: to’plamlar va ular ustida amallar

7.To’plamlarning dekartko’paytmasi

To’plamelementlariningkelishtartibimuhimbo’lganhollarda, matematikadaelementlarningtartiblangannaborlarihaqida gap boradi. Mazkurmasalada biz tartiblanganjuftliklarbilanishko’ramiz.

a va b elementlardantashkiltopgantartiblanganjuftlikni (a, b) bilanbelgilashqabulqilingan, bundaa element juftliklarningbirinchikoordinatasi (komponentasi), b element esabujuftlikningikkinchikoordinatasi (komponentasi) deyiladi.

(a, b) va (c, d) juftliklarda a = c va b = d bo’lgan holdagina bu juftliklar teng bo’ladi.

Ikkita turli to’plamlar elementlaridan ham tartiblangan jutliklar hosil qilish mumkin. Masalan, A = {1, 2, 3} va B = {3, 5} to’plamlarni olamiz va mumkin bo’lgan tartiblangan juftliklarni shunday hosil qilamizki, jutliklarning birinchi komponentasi A to’plamdan, ikkinchi komponentasi esa B to’plamdan tanlab olinsin. Ushbu to’plamga ega bo’lamiz:

{(1,3), (1,5), (2,3), (2,5), (3,3), (3,5)}

Formal xarakterga ega bo’lgan ushbu masalaga konkret ma’no berish mumkin bo’gan barcha ikki xonali sonlarni shunday hosil qilingki,bunda o’nliklar raqami 1,2,3 raqamlardan tanlab olinadi,birliklar raqami esa 3 yoki 5 raqami bo’lishi mumkin.

Ta’rif. A va B to’plamlarning Dekart ko’paytmasi deb birinchi komponentasi A to’plamga,ikkinchi komponentasi B to’plamga tegishli bo’lgan juftliklar to’plamiga aytiladi.

A´B = {(x,y)/, xÎA, yÎB}

A va B to’plamlarningDekartko’paytmasi A´B kabibelgilanadi.

Dekartko’paytmanitopishdaqo’llaniladiganamalto’plamlarningDekartko’paytirishdeyiladi.

Ta’rif. A₁, A₂, …, A_nto’plamlarningDekartko’paytmasi deb uzunligi n bo’lganshundaykortejlarto’plamigaaytiladiki,bundakortejningbirinchikomponentasi A₁to’plamga,ikkinchikomponentasi A₂to’plamga ,…, n-komponentasi A_nto’plamgategishlibo’ladi.

A₁, A₂, …, A_nto’plamlarningDekartko’paytmasi A₁x A₂ x … x A_nkabibelgilanadi.

A va B to’plamlarcheklibo’lib, unchako’pbo’lmaganelementlarnio’zichigaolsa, ularningDekartko’paytmasinitopishqiyinemas.Koordinatato’g’richizig’i – buundasanoqboshi, uzunlikbirligivamusbatyo’nalishberilganto’g’richiziqdir.

Ox to’g’richiziqabssissalaro’qi,Oyesaordinatalaro’qi,umumuysanoqboshigavaaynanbirxiluzunlikbirligigaegabo’lgankoordinatao’qlariyasagantekislikkoordinatatekisligideyiladi.(4-rasm).

Koordinatalartekisligida A va B to’plamlarningDekartko’paytmasinitasvirlaymiz, bunda:

1. 
   A = {1,2,3}, B = {3,5};
   
2. 
   A = {1,2,3}, B = [3,5];
   
3. 
   A [1,3] B = [3,5];
   
4. 
   A = R, B = [3,5];
   
5. 
   A = R, B = R.
   

1-holda berilganto’plamlarcheklivaunchakattabo’lmagansjndagielementlarnio’zichigaoladi, shuninguchunularningDekartko’paytmasininghammaelementlarinisanabko’rsatishmumkin: AxB = {(1, 3), (1, 5) (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5)}.

Koordinatao’qlariniyasaymizva Ox o’qda A to’plamelementlarini, Oy o’qda B to’plamelementlarinibelgilaymiz.So’ngra A ´ B to’plamdagiharbirsonlarjuftliginikoordinatatekisligidaginuqtalarbilantasvirlaymiz.

2-holda to’plamlarningDekartko’paytmasielementlarinisanabko’rsatishningimkoniyo’q, chunki B to’plamcheksizto’plamdir.

BiroqbuDekartko’paytmanihosilqilishjarayonininamoyishqilishmumkin. Harbirjuftlikdabirinchikomponentayoki 1,yoki 2,yoki 3 ikkinchikomponentaesa [3,5] oraliqdanolinganhaqiqiysonlardir.Birinchikomponentasi 1 sonibo’lgan , ikkinchikomponentasiesa 3 dan 5 gachaqiymatlariniketma-ketqabulqilganbarchajuftliklar PM kesmanuqtalaribilantasvirlanadi;birinchikomponentasi 2 bo’lgan , ikkinchikomponentasi [3,5] oraliqdagihammahaqiqiyqiymatlarniqabulqiluvchibarchajuftliklar KL kesmanuqtalaribilantasvirlanadi;birinchikomponentasi 3 sonibo’lgan,ikkinchikomponentasi [3,5] oraliqdagiixtiyoriyxaqiqiysonniqabulqiluvchijuftliklaresa SQ kesmanuqtalaribilantasvirlanadi.

4-holda A to’plambarchahaqiqiysonlardantashkiltopgan, ya’ni A ´ B to’plamelementlarinitasvirlovchinuqtalarningabssissasihammahaqiqiyqiymatlarniketma-ketqabulqiladi, buvaqtdaordinatasifatida [3,5] oraliqdagisonlarolinadi.Bundaynuqtalarto’plamipolosahosilqiladi.