Mavzu: To’plam tushinchasi, to’plam ustida amallar, to’ldruvchi to’plam

Mavzu: To’plam tushinchasi, to’plam ustida amallar, to’ldruvchi to’plam

TO'PLAMLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR

Tayanch iboralar:To'plam, to'plam osti, bo'sh to'plam, chekli va cheksiz to'plamlar, birlashma, kesishma, ayirma, to'ldiruvchi to'plam osti, universal to'plam , sonli to'plamlar, to'plamni o'zaro kesishmaydigan to'plam ostilarga ajratish.

"To'plam" tushunchasi-matematika kursining asosiy tushunchalaridan biridir. (Matematikada asosiy tushunchalar deganda ta'riflanmaydigan tushunchalar tushuniladi. Masalan, maktab kursidan ma'lumki, geometriyaning asosiy tushunchalari quyidagilar hisoblanadi: nuqta, to'g'ri chiziq, tekislik va masofa).To'plam tushunchasini faqatgina misol orqali tushuntirish mumkin. Misol, birinchi kurs talabalari to'plami, Buxoroda yashovchilar to'plami, jismning molekulalar to'plami, fermer xo’jaligidagi qo'ylar to'plami, tekislikdagi nuqtalar to'plami va hokazo. Odamlar bularga bolaligidan o'rganib qolgani uchun ularni osongina qabul qiladi. 1- sinf matematika kitobida bola turli xil tasvirdagi to'plamni ko'radi: turli xil hayvonlar to'plami, koptoklar, kitoblar va boshqa ob'ektlar to'plami. U bularni sanaydi va taqqoslaydi: Bir to'plamda ob'ektlar soni ko'p, ikkinchisida kam va bolada to'plam tushunchasi xaqida aniq tasavvur hosil bo'ladi ( to'plam termini ishlatilmasa ham).

Matematikada ob'ektlar to'plami (sonlar, nuqtalar, funktsiyalar va hokazo) haqida gapirilganda bu ob'ektlarning bir butunligi tushuniladi. To'plam nazariyasining asoschisi nemis matematigi Geogr Kantor (1845­1918) bu fikrni quyidagicha izohlaydi: "to'plam" deganda biz bir-biridan farq qiluvchi qandaydir aniq predmetlar, ya'ni ob'ektlarning ongimizda bir butun shaklda mujassamlashuvini tushunamiz.

Hayotda uchraydigan ba'zi so'zlar to'plam ma'nosida ishlatiladi. Masalan, "yig'ilish" , "poda", "sbor", "kollektsiya" va hokazolar shular jumlasidandir. To'plamni tuzuvchi turli tabiat ob'ektlari (odamlar, uylar, kitoblar, geometrik figuralar, sonlar va hokazorlar)ga uning elementlari deyiladi. Masalan, 3 soni natural son to'plamining elementi hisoblanadi, May oyi yildagi oylar to'plamining elementidir. To'plam bilan uning elementi o'rtasidagi munosabatni "tegishli" hamda "tegishli emas" so'zlari orqali ifodalash mumkin. Misol, 3 soni natural sonlar to'plamiga tegishli , -2 soni natural sonlar to'plamiga tegishli emas.

To'plamlar katta lotin alifbosi harflari A,B,C,D...bilan, to'plam elementlari esa kichik lotin harflari a,b,c... bilan belgilanadi. "Tegishli"

so'zi ^£ belgi bilan, "tegishli emas" so'zi esa ^£ belgi bilan almashtiriladi. Agar "a ob'ekt biror A to'plamning elementi" bo'lsa, uni quyidagicha belgilaymiz: a^£A. Bu yozuv quyidagicha o'qiladi: "a element A to'plamga tegishli".

Agar "a element Ato'plamga tegishli emas" bo'lsa, quyidagicha yoziladi.

a^£ A .

Misol, agar A- juft natural sonlar to'plami bo'lsa, quyidagi misollar to'g'ri bo'ladi:

16£A; 328£A; 17 ^£ A ; 11 ^£ A.

Elementlari soniga qarab to'plamlar chekli va cheksiz to'plamlarga bo'linadi. Elementlar soni chekli bo'lsa,- chekli to'plam, elementlari soni cheksiz bo'lsa, cheksiz to'plam deb aytiladi.

1. 
   kursda o'rganiladigan predmetlar to'plami, auditoriyadagi talabalar to'plami, soch tolalari to'plami- chekli to'plam; doira ustidagi nuqtalar to'plami, natural sonlar to'plami - cheksiz to'plamga misol bo'ladi.
   

To'plam bitta elementdan iborat bo'lishi ham mumkin. Masalan "nur" so'zidagi unli harflar to'plami. Bu to'plam 1 ta elementdan, ya'ni "u" harfidan iborat.

Agar , to'plamning birorta ham elementi bo'lmasa, bunday to'plam bo'sh to'plam deyiladi. Bo'sh to'plam 0 deb belgilanadi.Masalan, oydagi odamlar to'plami, uchburchakdagi diagonallar to'plami, x +1=0 tenglama haqiqiy ildizlari to'plami bo’sh to’plamdir.

To'plamning elementlari to'plamlar ham bo'lishi mumkin. Masalan, maktabdagi sinflar to'plami. Bu to'plam elementlari bo'lgan sinflar o'z navbatida o'quvchilar to'plamidir. Lekin o'quvchilar maktabdagi sinflar to'plamining elementlari bo'lmaydi.

II.To'plamlarning berilish usullari To'plam asosan ikki usulda beriladi:

1. 
   Elementlarni bevosita keltirish yoki sanash yordamida beriladi. Agar a, b,c - A to'plamning turli ob'ektlar belgilari bo'lsa, A to'plam quyidagicha yoziladi: A={a,b,c} va quyidagicha o'qiladi "A to'plam a,b,c elementlardan iborat".
   

Bu usul chekli to'plamlarda qo'llaniladi, lekin bu shart bilan birga elementlar soni to'plamda ko'p bo'lmasligi kerak.

2. 
   Elementlarning xarakteristik xossasiga qarab beriladi.
   

Masalan, A natural sonlar to'plami 6 dan kichik. Bu to'plam ikkinchi usulda berilgan : hamma A to'plam elementlarining xarakteristik xossasi ko'rsatilgan, ya'ni natural son bo'lish va 6 sonidan kichik bo'lishi asosida.

A to'plam elementlarini 1-usulda quyidagicha yozish mumkin:

A={ 1,2,3,4,5 }

To'plam elementining ayrim xarakteristik xossasi ko'rsatilgan bo'lsa ,uni quyidagicha ifodalaymiz: qavsda element belgisi yoziladi, keyin vertikal chiziq o'tkaziladi, so'ng to'plam elementlarining xossasi yoziladi. Masalan: 6 dan kichik bo'lgan A natural sonlar to'plami quyidagicha yoziladi: A={x / x ^£ N, x<6} bu erda N- natural sonlar

to'plami. To'plam cheksiz bo'lganda ikkinchi usuldan foydalaniladi, Masalan : markazi 0 nuqtada r radiusli aylanada yotuvchi M nuqtalarning A to'plami quyidagicha yozish mumkin:

A={M / | OM| =r}

TENG TO'PLAMLAR.

Ta'rif : Agar ikki to'plam bir xil elementlardan iborat bo'lsa, bunday to'plamlarga teng to'plamlar deyiladi. Masalan: A={3,5,7,9} va B={7,3,9,5} to'plamlar bir xil elementlardan iborat, shuning uchun ular teng to'plamlardir .

Teng to'plamlar tushunchasi bilan quyidagi hol bog'langan: bitta to'plamning o'zi turli xarakterli xossalari orqali berilishi mumkin. Masalan : A={1,2,3,4,5} to'plamni x<6 tengsizlikning echimi bo'ladigan natural sonlar to'plami ko'rinishida , 1 va 5 sonlari orasida yotuvchi barcha butun sonlar ko'rinishida ham berilishi mumkin.

Misollar: 1) A={1,2,3,4}

B={ VT,V4,V9,VT6 }

A va B to'plamlar teng, ya'ni A=B

2) C={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},

D - bir xonali sonlar to'plami, C=D

To'plamlarning tengligi quyidagi uch xossani qanoatlantiradi :

1. 
   Har qanday A uchun , A=A o'rinlidir ( refleksivlik)
   
2. 
   Ixtiyoriy ikkita A va B to'plamlar uchun , agar A=B bo'lsa , u holda B=A (simmetriklik )
   
3. 
   Ixtiyoriy uchta A,B,C to'plamlar uchun , agar A=B va B=C bo'lsa , u holda A=C bo'ladi (tranzitivlik ).
   

SONLI TO'PLAMLAR

Turli xil tabiat predmetlari (harflar, nuqtalar, tenglama va hokazo) to'plam elementlari bo'lishi mumkin. Matematikada elementlari matematik ob'ektlardan (sonlar va hokazo) iborat to'plamlar asosiy rol o'ynaydi.

Elementlari faqat sonlardan iborat bo'lgan to'plamga sonli to'plam deyiladi.

Sonli to'plamlar quyidagicha belgilanadi:

1. 
   Natural sonlar to'plami - N
   
2. 
   Manfiy bo'lmagan butun sonlar to'plami- Zo
   
3. 
   Butun sonlar to'plami- Z
   
4. 
   Ratsional sonlar to'plami- Q
   
5. 
   Haqiqiy sonlar to'plami- R
   
6. 
   {x/x^e R va a

^{6 6} y//////////\ ^

a b

7. 
   {x/x^e R va a

""X

8. 
   {x/x^e R va a

a _b

TO'PLAM OSTI TUSHUNCHASI

24 soni bo'luvchilari to'plami A={1,2,3,4,6,8,12,24} va 8 soni

bo'luvchilari to'plami B={1,2,4,8} bo'lsin.

Bu to'plamlarni solishtirganda B to'plam elementlari A to'plam elementlarining bir qismi ekanligini ko'ramiz. B to'plam A to'plamning qism to'plami bo'ladi.

Agar B to'plamning har bir elementi A to'plamning elementidan iborat bo'lsa, B to'plamga A to'plamning to'plam ostisi deyiladi. U quyidagicha belgilanadi: B ^ A yoki A ^ B

Misollar:

1. 
   B - fakultet talabalari to'plami A - institut talabalari to'plami
   

B ^ A ekanligini ko'rish mumkin.

2. 
   M-uchburchaklar to'plami
   

N- to'g'ri burchakli uchburchaklar to'plami bo'lsin. Har qanday to'g'ri burchakli uchburchak , uchburchak bo'ladi , shuning uchun N ^ M

3. 
   N-Natural sonlar to'plami
   

Z-butun sonlar to'plami , ko'rinib turibdiki N ^ Z

To'plam osti ta'rifiga asosan , har bir to'plam o’zining to'plam ostisi bo'la oladi: A. Bundan tashqari, bo'sh to'plam ixtiyoriy A to'plamning

to'plam ostisidir: 0 <= A

Har qanday A to'plam uchun to'plam ostisining ikkita turini ko'rsatish mumkin:

1. 
   A va 0 xosmas to'plam ostisi deyiladi
   
2. 
   A ning qolgan to'plam ostilari xos to'plam ostilari deb aytiladi.
   

Masalan: A={m,n,p} to'plam oltita xos to'plam ostiga ega {m},{n},{p}, {m,n},{m,p}, {n,p}. Ikkita xosmas to'plam ostiga ega: {m,n,p}, 0.

To'plam osti tushunchasini biz ko'p ishlatamiz. O'zbek tilida gapdagi so'zlar to'plamining turli xil to'plam ostilarini ko'rib chiqamiz: ot, sifat, son, fe'l va hokazolar. Geografiya va tarixda mamlakatlar, shaharlar va hokazo to'plamlarning to'plam ostilarini o'rganamiz.

To'plam osti tushunchasi matematikada keng qo'llanadi. O'n ichidagi sonlar to'plami natural sonlar to'plamining to'plam ostisidir, o'z navbatida buni butun sonlar to'plamining to'plam ostisi sifatida ham qarash mumkin. Romb, kvadrat, to'g'ri to'rtburchaklar parallelogrammning turli xil to'plam ostilaridir.

To'plam osti quyidagi asosiy xossalarga ega:

1. 
   xossa: Agar B ^ A va A ^ B bo'lsa, u holda A=B bo'ladi.
   

Bu xossadan ko'pincha to'plamlar tengligini isbotlashda foydalaniladi, ya'ni agar A to'plamning har bir elementi B to'plamning elementi bo'lsa, va aksincha, B to'plamning har bir elementi A to'plamning elementi bo'lsa, u holda ular teng bo'ladi.

2. 
   xossa: Agar A ^ B va B ^ C bo'lsa, u holda A ^ C bo'ladi (tranzitivlik)
   

Haqiqatdan ham , agar A to'plamning har bir elementi B to'plamining elementidan iborat bo'lsa, va B to'plamning har bir elementi C to'plamning elementidan iborat bo'lsa, u holda, A to'plamning har bir elementi C to'plamning ham elementi bo'ladi.

EYLER-VENN DIAGRAMMALARI

To'plam , to'plam osti tushunchalari, matematik tushunchalar va geometrik figuralarni aniqlashda qo'llaniladi. Geometrik figuralar deb istalgan nuqtalar to'plamiga aytiladi. Shunday qilib, kesma, nur, tug'ri chiziq, uchburchak, aylana, kub va hokazolar geometrik figuralardir. Agar F₁ figura , F₂ figuraning to'plam ostisi bo'lsa, u holda F1 figura F₂ ning qismi bo’ladi.

To'plam va ular orasidagi munosabatni chizmada ko'rsatish uchun geometrik figuralar yordamida chiziladi. Masalan, A to'plam B to'plamning to'plam ostisi ekanligini ko'rsatmoqchi bo'lsak, quyidagicha chizamiz:

Bunday shakllar orqali tasvirlashga EYLER-VENN diagrammalari deyiladi . L.Eyler (1707-1783 yy) shvetsariyalik matematik, Peterburg fanlar Akademiyasi a'zosi. Djon Venn (1834-1923 yy) ingliz matematigi. To'plamlar orasidagi munosabatlar, ular ustida amallarni ko'rsatganda ushbu diagrammalardan foydalaniladi.

Ikkita turlicha to’plamlar o’zaro quyidagicha munosabatlarda bo’lishi mumkin.

asosiy tushunchalaridan biridir. (Matematikada asosiy tushunchalar deganda ta'riflanmaydigan tushunchalar tushuniladi. Masalan, maktab kursidan ma'lumki, geometriyaning asosiy tushunchalari quyidagilar hisoblanadi: nuqta, to'g'ri chiziq, tekislik va masofa).To'plam tushunchasini faqatgina misol orqali tushuntirish mumkin. Misol, birinchi kurs talabalari to'plami, Buxoroda yashovchilar to'plami, jismning molekulalar to'plami, fermer xo’jaligidagi qo'ylar to'plami, tekislikdagi nuqtalar to'plami va hokazo. Odamlar bularga bolaligidan o'rganib qolgani uchun ularni osongina qabul qiladi. 1- sinf matematika kitobida bola turli xil tasvirdagi to'plamni ko'radi: turli xil hayvonlar to'plami, koptoklar, kitoblar va boshqa ob'ektlar to'plami. U bularni sanaydi va taqqoslaydi: Bir to'plamda ob'ektlar soni ko'p, ikkinchisida kam va bolada to'plam

1. 
   
   
   
   
   2) To’plamlar umumiy elementga ega bo’lmasligi mumkin. Bu hol diagrammada quyidagicha tasvirlanadi.
   To’plamlar umumiy elementlarga ega bo’lishi mumkin. Bu hol EYLER-VENN diagrammasida quyidagicha tasvirlanadi
   

3) Bir to’plam ikkinchisining to’plam ostisi bo’lishi mumkin.

4. 
   Ikki to’plam ustma-ust tushishi mumkin.
   

UNIVERSIAL TO'PLAM

Ba'zan aynan bir olingan to'plamning to'plam ostilarini qarashga to'g'ri keladi. Bunday to'plamga universial to'plam deb aytiladi. Bu to'plam J harfi bilan belgilanadi, Eyler-Venn diagrammalarida universial to'plam to'g'ri to'rtburchak bilan, to'plam ostilari esa doira bilan tasvirlanadi.

Misol: A-oliygohdagi birinchi kurs talabalari to'plami.

B- shu oliygohdagi a'lochi talabalar to'plami C- oliygohdagi sportchi talabalar to'plami.

Oliygohdagi barcha talabalar to'plamini universal to'plam deb olamiz, unda A^J, B^ J, C^J. Bu misolda J - to’plam diagrammada to’g’ri to’rtburchak shaklida tasvirlanib, uning to’plam ostilari doiralar bilan quyidagicha tasvirlanishi mumkun.

Maktab matematika kursida qaraladigan sonlar to’plami orasida haqiqiy sonlar to’plami universial to’plam vazifasini bajaradi.(Tekshirib ko’ring).

TO'PLAMLARNING KESISHMASI VA UNING XOSSALARI.

Ikkita to'plam berilgan bo'lsin: A={a;b;c;d} va B={c;d;e}.A va B to'plamga tegishli bo'lgan umumiy elementlardan iborat yangi P to'plamni tuzamiz. P={c;d} . P to'plam A va B to'plamlarning kesishmasidan iborat.

Ikki to'plamning umumiy elementlaridan tashkil topgan uchinchi to'plamga to'plamlarning kesishmasi deb aytiladi. A ⁿ B deb belgilanadi. Bu erda ⁿ simvoli to'plamlar kesishmasining belgisidir. A ⁿ B to'plamning har qanday x elementi "x ^e A" va "x^e B" xossasiga ega, shunga ko'ra to'plamlar kesishmasini quyidagicha yozish mumkin: A n B={x/xe A va xe B}

Agar A va В to'plamlar umumiy elementga ega bo'lmasa, u holda bu to'plamlar kesishmaydi va A ^ B= 0 deb yoziladi. Masalan, bir xonali va ikki xonali natural sonlar to'plami kesishmaydi.

Agar A va В to'plamlar kamida bitta umumiy elementga ega bo'lsa, bu to'plamlar kesishmasi 0 to'plam bo'lmaydi va A r\ В ^ 0 yoziladi.

Eyler-Venn diagrammasida to'plamlar kesishmasi quyidagicha ifodalanadi:

To'plamlar kesishmasining xossalari:

1. 
   Istalgan A va B to'plamlar uchun to'plamlar kesishmasi kommutativdir, ya'ni A n B=B n A
   
2. 
   Ixtiyoriy A,B,C to'plamlar uchun to'plamlar kesishmasi assotsiativdir.
   

(A n B) n C = A n (B n C)

Bu xossa Aⁿ B ⁿ C ifodani qavssiz yozishga imkon beradi, shuningdek, istalgan sonli to'plam kesishmasini topishda ham xossadan keng foydalaniladi.

Isboti: To'plam osti munosabatining 1- xossasidan foydalanamiz, ya'ni "Agar B ^ A va A ^ B bo'lsa, u holda A=B bo'ladi. x^e (A ⁿ B)ⁿ C bo'lsin, kesishma ta'rifiga asosan x ^e Aⁿ B va x^eC; yana bir marotaba to'plamlar kesishmasi ta'rifini qo'llab x e A va xeB, xeC yoki xe A, xeB va xeC ni hosil qilamiz. Bundan xeA va xeBnC, bundan xe An (BnC).Demak, (A n B) n C to'plamning har qanday elementi A n (B n C) to'plamining ham elementi bo'ladi, to'plam osti ta'rifiga ko'ra (A ⁿ B)ⁿ C ^ A ⁿ (B ⁿ C). Xuddi shunga o'xshash A ⁿ (B ⁿ C) ^ (A ⁿ B)ⁿ C ni ham ko'rsatish mumkin. Yuqorida aytilgan to'plam osti munosabati xossasiga ko'ra to'plamlar kesishmasining assotsiativlik xossasi tasdiqlanadi: (A ⁿ B) ⁿ C

= A n (B n C)

3. 
   xossa: Agar A ^ B bo'lsa, u holda A ⁿ B=A. Haqiqatdan ham , agar A­B to'plamning to'plam ostisi bo'lsa, bu to'plamlar orasidagi munosabat Eyler - Venn doirasida quyidagicha tasvirlanadi.
   

A va B ga tegishli elementlar A to'plamning elementlari hisoblanadi, ya'ni A n B=A.

4. 
   xossa: Istalgan A to'plam uchun quyidagi yozuv o’rinli:
   

A^A=A; A^ 0=0; A^J=A; Jn0=0.

TO'PLAMLAR BIRLASHMASI VA UNING XOSSALARI.

Ikki to'plamdan yangi to'plam hosil qilishning yana bir usulini ko'rib chiqamiz.

Ta'rif: A va B to'plamlarning barcha elementlaridan tuzilgan to'plamga to'plamlarning birlashmasi deb aytiladi . A va B to'plamlar birlashmasi A ^ B kabi belgilanadi, bu erda ^ simvoli birlashma belgisidir.

Masalan: 1) A={m,n,p,k,l} va B={p,r,s,n} to'plamlarning birlashmasi A^ B={m,n,p,k,l,r,s} dan iborat.

2. 
   A- biror sinfdagi voleybol to'garagiga qatnashuvchi o'quvchilar to'plami: B- shu sinfdagi matematika to'garagiga qatnashuvchi
   

o'quvchilar to'plami. A ^ B to'plamga voleybol yoki matematika to'garagiga qatnashuvchi o'quvchilar kiradi. Bular orasida faqat matematika to'garagiga qatnashuvchi, yoki faqat voleybol to'garagiga qatnashuvchi, yo bo'lmasa, ham voleybol, ham matematika to'garagiga qatnashuvchi o'quvchilar bo'lishi mumkin.

A ^ B to'plamning ixtiyoriy x elementi "x e A yoki xeB" xossaga ega. Ta'rifga asosan to'plamlar birlashmasini quyidagicha yozish mumkin:

A ^ B={x/xe A yoki xe B}

Eyler-Venn diagrammalarida A ^u B quyidagicha tasvirlanadi:

Birlashma amalining xossalari:

1. 
   xossa: To'plamlarning birlashmasi kommutativlik xossasiga ega:
   

A u B=B u A

2. 
   xossa: Ixtiyoriy A,B,C to'plamlarning birlashmasi assotsiativlik
   

xossasiga ega :

(A u B) u C= A u (B u C)

Bu xossa ham kesishma amaliga o'xshash (A^u B)^u C ifodani qavssiz yozish mumkinligini ko'rsatadi, ya'ni A u B u C shaklda yozish mumkin. Isbot: x^e (A ^u B)^u C bo'lsin, ta'rifga asosan, x ^e A ^u B yoki x^e C, bu erdan xe A, yoki xe B yoki xe C. To’plamlar birlashmasi ta’rifiga ko’ra xe A u (B u C)

Demak, (A u B) u C to'plamining har bir elementi A ^u (B ^u C)to'plamining ham elementi bo'lyapti, to'plam osti munosabati ta'rifiga ko'ra

(A u B) u C c A u (B u C) (1)

Xuddi shunday teskarisini ham isbotlash mumkin , ya'ni A u (B u C) c (A u B) u C (2)

Bu (1) va (2) munosabatlarga to'plam ostining 1-xossasini qo'llasak, to'plamlarning tengligi kelib chiqadi, ya'ni (A ^u B)^u C= A ^u (B ^u C)

3. 
   xossa: Agar B ^c A bo'lsa, unda A ^u B=A bo’ladi.
   

Misol: 1) A=Z ; B=N; Z u N=Z 2)A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

B={2,4,6,8}, BcA , AuB=A

4. 
   xossa: Istalgan A, B va C to'plamlar uchun quyidagi tengliklar o'rinlidir:
   

1. 
   A u (B n C)=(A u B) n (A u C)
   
2. 
   A n (B u C)=(AnB) u (An C).
   

Bu xossalar distributivlik xossasi deb aytiladi.

Isbot: x^e Aⁿ(B ^u C)bo'lsin. To’plamlar kesishmasi ta’rifiga ko’ra x ^e A va xeBuC. To’plamlar birlashmasi ta’rifini qo’llab xeA va xeB yoki x^e A va x^e C hosil bo’ladi. To’plamlar kesishmasi ta’rifiga ko’ra xe An B yoki xe A n C. To’plamlar birlashmasi ta’rifini qo’llab x^e (AⁿB) ^u (Aⁿ C). To’plam osti munosabati ta’rifiga ko’ra

A n (B u C) c (AnB) u (An C).

Xuddi shunday ko'rsatish mumkinki,

(A n B) u (A n C) c A n (B u C). (2)

To'plam osti munosabatining 1-xossasiga ko'ra

A n (B u C)=(A n B) u (A n C) bo'ladi.

5. 
   xossa: Ixtiyoriy A to'plam uchun quyidagi tengliklar o'rinli:
   

A^A=A; A^0=A; A^J=J; J^0=J. TO'PLAMLARNING AYIRMASI VA UNING XOSSALARI.

Ta'rif: A va B toplamlarning ayirmasi deb, A to'plamning B to'plamga kirmaydigan elementlar to'plamiga aytiladi.

To'plamlar ayirmasi A\B simvoli bilan belgilanadi, ayrim kitoblarda A-B kabi belgilanadi.

Misol: A={a,b,c,d} B={c,d,e,f} To'plamlar ayirmasi A\B={a,b} A\B to'plamining istalgan x elementi "x tegishli A va tegishli emas B" xossasiga ega bo'lgani uchun A va B to'plamlar ayirmasini quyidagicha yozish mumkin:

A\B={x/x e A va x ^£ B}Eyler - Venn diagrammalarida to'plamlarning ayirmasi quyidagicha tasvirlanadi:

Misol:A={a,b,c,d,e} va B={c,d,e,f} bo'lsin. A/B={a,b} ekanligi ma'lum. B va A to'plamlar ayirmasini topamiz: B/A={f} A/B va B/A to'plamlar birlashmasi (A/B ) ^u ( B/A) = {a,b,f} (1)

ko'rinishda bo'ladi. Endi A u B va A n B ni topamiz.

A ^u B ={a,b,c,d,e,f} A ⁿ B ={c,d,e} bu to'plamlar ayirmasini topamiz : (A u B)/(A n B )={a,b,f} (2)

(1) va (2) ni solishtirib quyidagi tenglikka ega bo'lamiz:

(A/B) u (B/A)= (A u b)/(A n B )

Ta'rif: Ikkita A va B hamda B va A to'plamlar ayirmalarining birlashmasiga simmetrik ayirma deyiladi. U quyidagicha belgilanadi:

A A B=(A/B) u (B/A)

A,B,C to'plamlar uchun quyidagi tenglik o'rinli:

1. 
   A/ (B n C) = (A/B) u (A/C)
   
2. 
   A/ (B u C) = (A/B) n (A/C) = (A/B)/C
   

TO'LDIRUVCHI TO'PLAM OSTI TUSHUNCHASI VA UNING XOSSALARI.

Ta'rif: B to'plam A to'plamning to'plam ostisi bo'lsin.A

to'plamining B ga kirmaydigan elementlar to'plamiga B to'plamini A to'plamiga to'ldiruvchi to'plam ostisi deb aytiladi va B’_A belgilanadi. A-biror sinfdagi o'quvchilar to'plami , B- shu sinfdagi qizlar to'plami bo'lsin B’_A -shu sinfdagi o'g'il bolalar to'plamidan iborat bo'ladi. B’_A - to'ldiruvchi to'plam osti Eyler-Venn diagrammalarida quyidagicha tasvirlanadi:

Xossalari:

1°(A u B)'=A' n B'

2°(a n b)'=A' u B'

Xossalarning isbotlari o’quvchilarga mustaqil beriladi.

TO'PLAMLARNI O'ZARO KESISHMAYDIGAN SINFLARGA AJRATISH

To'plamlarni o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajratish tushunchasi matematikada, jumladan, boshlang'ich sinf darsliklarida ham o'z ahamiyatiga ega Bu tushunchaga ta'rif berishdan oldin quyidagi misollarni tahlil qilamiz:

N-natural sonlar to'plami

A-juft natural sonlar to'plami B- toq natural sonlar to'plami bo'lsin.

Ma'lumki, natural sonlar toq va juft natural sonlarga bo'linadi.Bundan kelib chiqadiki, A ^ N va B ^ N.

Bu to'plam ostilar quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

1. 
   A^ 0,B^ 0
   
2. 
   Umumiy elementga ega emas: A ^ B= 0
   
3. 
   
   
   
   В
   
   N
   AUB=N ( chizmaga qarang)
   

To'plamlarni o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajratish tushunchasiga nafaqat matematikada, balki hayotda ham ko'plab misollar keltirish mumkin. Masalan: Yer yuzi xalqlarini qanday belgilariga ko'ra sinflarga ajratish mumkin? Yer yuzi aholisini biror to'plam sifatida qarasak, ularni quyidagi belgilariga ko'ra sinflarga ajratish mumkin:

-irqlariga ko'ra;

-tillariga ko'ra;

-jinslariga ko'ra va hokazo.

TA'RIF: Berilgan M to'plam o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajratilgan deb aytiladi, agar quyidagi shartlar bajarilsa:

1) Hech biror to'plam osti bo'sh bo'lmasa, ya'ni Mi^ 0 bunda i=( 1,... ,k) 2) Istalgan ikkita to'plam osti umumiy elementga ega bo'lmasa, ya'ni Mi ^ Mj =0, i^j

3)Barcha to'plam ostilari birlashganda M to'plamni tashkil etsa, ya'ni M₁ U M₂ U M₃ U ....U M_k = M

Agar berilgan to'plamning har bir elementi bitta va faqat bitta qism to'plamga tushsa, hamma ajratilgan qism to'plamlar birlashmasi butun to'plam bilan mos tushsa, u holda berilan to'plam kesishmaydigan qism to'plamlarga ajratilgan deyiladi.

Agar 1) X₁,X₂ ,...,X_n qism to'plamlar juft-jufti bilan o'zaro kesishmasa; 2) X₁ , X₂ ,...,X_n qism to'plamlarning birlashmasi X to'plam bilan mos tushsa, X to'plam X₁, X₂ ,...,X_n sinflarga ajratilgan hisoblanadi.

Masalan, Uchburchaklarning X to'plamini uchta sinfga ajratish mumkin: O'tkir burchakli, o'tmas burchakli, to'g'ri burchakli

uchburchaklar. Haqiqatdan ham ajratilgan qism to'plamlar juft-jufti bilan kesishmaydi va ularning birlashmasi X to'plamni tashkil etadi.

a) To'plamni unda berilgan 1,2 va 3 ta xossasiga ko'ra sinflarga ajratish mumkin. Buni quyidagi misollarda ko'ramiz:

M- natural sonlar to'plamida "3 ga bo'linish" xossasi berilgan bo'lsin. Bu xossaga ko'ra to'plam ikkita o'zaro kesishmaydigan sinflarga bo'linadi. A₁- 3ga bo'linadigan sonlar to'plami A₂- 3 ga bo'linmaydigan sonlar to'plami.

Bu to'plamlar to'plamni sinflarga bo'lish ta'rifidagi shartlarni qanoatlantiradi, ya'ni

1. 
   Ai^ 0;A₂^ 0
   
2. 
   Ai^ A₂ =0
   
3. 
   A1UA2=N
   

Demak, agar to'plamda elementlarning biror xossasi berilgan bo'lsa, bu xossaga ko'ra to'plam ikkita o'zaro kesishmaydigan sinflarga bo'linadi.

b) To'plam elementlarining ikkita xossasiga ko'ra uni sinflarga bo'lish. Quyidagi misolni qaraymiz.

1) M-uchburchaklar to'plamini " teng yonli bo'lish" va "to'g'ri burchakli bo'lish" xossasiga ko'ra qanday sinflarga ajratish mumkin?

Bu xossalarni qanoatlantiruvchi to'plamlarni Eyler-Venn diagrammasida tasvirlaylik, natijada quyidagi sinflar hosil bo'ladi:

1. 
   teng yonli,to'g'ri burchak bo'lmagan uchburchaklar to'plami;
   
2. 
   to'g'ri burchakli,teng yonli bo'lmagan uchburchaklar to'plami;
   
3. 
   teng yonli va to'g'ri burchakli uchburchaklar to'plami;
   
4. 
   teng yonli ham emas, to'g'ri burchakli ham bo'lmagan uchbur­chaklar to'plami.
   

2-Misol:Natural sonlar to'plami elementlari uchun " 2 ga karrali" va "5 ga karrali"xossalari berilgan.Bu xossalarga ko'ra natural sonlar to'plami qanday sinflarga ajraladi? " 2ga karrali" va "5 ga karrali" xossalariga natural sonlar to'plami quyidagi 4 ta sinfga ajraladi:

1. 
   - 2 ga karrali, 5 ga karrali bo'lmagan sonlar to'plami.
   
2. 
   - 5ga karrali, 2 ga karrali bo'lmagan sonlar to'plami.
   
3. 
   -5 ga va 2 ga karrali bo'lgan natural sonlar to'plami.
   
4. 
   -5 ga ham 2 ga ham karrali bo'lmagan natural sonlar to'plami.
   

3. 
   -Misol: Uchburchaklar to'plami elementlari orasida quyidagi 2 ta xossa berilgan:" O'tkir burchakli bo'lish", "O'tmas burchakli bo'lish", shu xossalarga ko'ra uchburchaklar to'plami qanday sinflarga bo'linadi?
   

Bu xossalarga ko'ra uchburchaklar to'plami 3 ta

1. 
   o'tkir burchakli uchburchaklar
   
2. 
   o'tmas burchakli uchburchaklar
   

c ) o'tkir va o'tmas burchakli bo'lmagan uchburchaklar to'plamiga ajraladi.

3. 
   -misol:Natural sonlar to'plamida 3 ta xossa:"2ga karrali"; "3 ga karrali";" 5ga karrali" bo'lish xosalari berilgan bo'lsa, to'plam qanday to'plam ostilarga ajraladi?
   

Bu xossalarga ko'ra natural sonlar to'plami 8 ta o'zaro kesishmaydigan to'plam ostilarga ajraladi:

A -to'plam deb 2 ga karrali sonlar to'plamini, B to'plam deb 3 ga karrali sonlar to'plamini , C to'plam deb 5 ga karrali sonlar to'plamini olsak, u holda ular juft-juftlari bilan kesishib quyidagi 8 ta o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajraladi:

1. 
   2 ga ,3 ga,5 ga karrali bo'lgan sonlar.
   
2. 
   2 ga,3 ga karrali bo'lib, 5 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
3. 
   3 ga,5 ga karrali bo'lib, 2 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
4. 
   2 ga, 5 ga karrali bo'lib, 3 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
5. 
   2ga karrali bo'lib, 3 ga, 5 ga karrali bo'lmagan sonlar
   
6. 
   3 ga karrali bo'lib, 2 ga,5 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
7. 
   5 ga karrali bo'lib, 2 ga ,3 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
8. 
   2 ga,3ga, 5ga karrali bo'lmagan sonlar.
   

To'plamlarni sinflarga ajratish tushunchasi haqida boshlang'ich sinf

o'quvchilariga ham ma'lumot berish mumkin: Masalan, o’zbek

alifbosidagi harflar to'plami unli va undosh sinflarga ajraladi.

Unli va undosh harflar birlashib, alfavitni tashkil qiladi. Boshlang'ich sinf matematika kursida to'plamlarni sinflarga ajratish bo'yicha misollar keltiring.

MISOL VA MASALALAR

1. 
   Quyidagi yozuvlar to’g'rimi?
   

1. 
   12e N v) 0£ N d) 0,48£ N g) 5,4 £ Z
   
2. 
   1e N g)-12£N e) -13 £ N z) 3.2e Q
   

2. 
   18; 225; 317; -130; 18?;-16? sonlari qaysi to'plamga tegishli ? ^e belgidan foydalanib yozing.
   
3. 
   U- tekislikdagi ko’pburchaklar to'plami .
   

a) oltiburchak b) parallelogram v) uchburchak g) kesma d) doira e) paralellopipedlar U to'plamiga tegishlimi?

4. 
   Quyidagi yozuvlarni o'qing va har bir to'plam elementlarini ko'rsating? A={x/xe N,x<7} K={x/x e Z,-4

F={x/xe Z, x<3} L={x/x e Z, -4

5. 
   Quyidagi to'plamlarni son o'qida ko'rsating :
   

A={x/x>3,2} D={x/-2,5

B={x/x<4} E={x/ -4

C={x/x<-7} K={x/-12,9

6. 
   Har bir tenglamaning echimlar to'plamini toping. Qaysi tenglama echimlar to'plami bo'sh to'plam bo'ladi?
   

1. 
   4x+5=4(x-7) c) 12(3+2x) =84
   
2. 
   2(x-5) =3x
   

7. 
   Quyidagi to'plamlar ichida teng to'plamlarni toping?
   

A={x/xe N, 2

B={ x/xe N, 1

C={x/x e N, 2

D={x/x e N, 1

E={x/xe N, 1

F={x/xe N, 1

K={3;4} L={1,2,3,4,}

8. 
   M={21,54,153,171,234} to'plam berilgan . Bu to'plamning quyidagi to'plam ostilarini tuzing: a) 7 ga karrali sonlar; b) 9 ga karrali sonlar; v) 5 ga karrali bo'lmagan sonlar; g) 4 ga karrali sonlar;
   
9. 
   A- 5 ga karrali ikki xonali sonlar to'plami
   

B - 10 ga karrali ikki xonali sonlar to'plami bo'lsa , A ^ B yoki B^A bo'ladimi? Nima uchun?

10. 
    B={a,b,c,d} to'plamning barcha to'plam ostilarini tuzing.
    
11. 
    A- 3 ga karrali sonlar to'plami, B- 8 ga karrali sonlar to'plami, C- 4ga karrali sonlar to'plami bo'lsin, 15 e (A ^ B) ^ C - yozuv to'g'rimi? Eyler doirasida ko'rsating?
    
12. 
    A={a,b,c,d,f,e} B={d,e,f,k,n,m} C={m,n,l,t} to'plamlar uchun A ^ B ^ C, A ^ B ^ C, (A ^ B) ^ (A ^ C) to'plamlarni toping
    
13. 
    Quyidagi geometrik figuralar to'plami berilgan bo'lsin:
    

S- teng yonli uchburchaklar to'plami

Y- to'g'ri burchakli uchburchaklar to'plami

P- tomoni 5 sm.dan bo'lgan uchburchaklar to'plami. Bu to'plamlarni Eyler-Venn diagrammalarida tasvirlang. S ^ Y ^ P hamda S ^ Y ^ P

to'plamlari qanday uchburchaklardan tuzilgan?

14. 
    D={0,2,5,4,7,8,12,15} to'plamni to'rtta o'zaro kesishmaydigan to'plam ostilariga ajrating.
    
15. 
    To'rtburchaklar to'plamini "to'g'ri to'rtburchak bo'lish" va "romb bo'lish" xossalariga asosan qanday sinflarga bo'lish mumkin?
    
16. 
    Natural sonlar to'plamida quyidagi uchta xossa berilgan. "2 ga karrali", "5 ga karrali" va "6 ga karrali" shu uchta xossaga ko'ra natural sonlar to'plami qanday sinflarga bo'linadi?
    
17. 
    Tub sonlar to'plamida shunday ikkita xossani aytingki , bu xossalarga ko'ra tub sonlar to'plami o'zaro kesishmaydigan uchta sinfga bo'linsin?
    

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:

1 .Л.П.Стойлова, А.М.Пишкало. Бошлангич математика курси асослари. Тошкент, «Укитувчи», 1991.

1. 
   Л.П.Стойлова, Н.Н.Лаврова, Задачник практикум по математики. М. «Просвещение»,1985.
   
2. 
   Р.Иброхимов. Математикадан масалалар туплами. Тошкент. «У китувчи», 1995.
   
3. 
   Н.Я.Виленкин, А.М.Пишкало. Математика. М. «Просвещение», 1977
   
4. 
   Н.Я.Виленкин. Рассказы о множествах. М.1962
   
5. 
   Л.А.Колужнин. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. М. «Просвещение»,1978.
   
6. 
   Ф.М.Косимов, П.Ёкубов. Тупламлар назарияси элементлари. Бухоро. 1991.
   

MAVZU: TO'PLAMLARNING DEKART KO'PAYTMASI.

KORTEJLAR.

REJA:

1. 
   Ikki to'plamning dekart ko'paytmasi.
   
2. 
   Kortejlar haqida tushuncha.
   
3. 
   Bir necha to'plamlarning dekart ko'paytmasi.
   
4. 
   To'plamlarning dekart ko'paytmasining boshlang'ich matematika kursida tutgan o'rni.
   

TAYANCH IBORALAR: Dekart ko'paytma, kortejlar, juftliklar,

komponentlar, dekart ko’paytma xossalari.

Ikki to'plamning dekart ko'paytmasi ta'rifini berishdan oldin tartiblangan juftlik tushunchasi bilan tanishib chiqishimiz kerak. Buning uchun 42 sonini olib ko'raylik. Bu son 4 va 2 raqamlari yordamida yoziladi. Bu raqamlar tartiblangan holda oldin 4 raqami , so'ngra 2 soni yoziladi. Agar ularning o'rinlari almashtirilsa , u holda boshqa son 24 soni hosil bo'ladi. Demak, (4,2) bu tartiblangan juftlikdir. Umuman x va y sonlaridan iborat tartiblangan juftlikni (x,y) deb belgilaymiz. 33 sonida 2 ta bir xil raqam qatnashayapti, Bu raqamlar (3,3) tartiblangan juftlikni ifodalaydi. Shu qatordagi tartiblangan juftlikda son takrorlanib kelishi ham mumkin. Tartiblangan juftliklarni faqat sonlardangina emas, balki istalgan to'plam elementlaridan tuzish mumkin. X-to'plam berilgan bo'lsin. x va y- lar shu to'plamning elementlari. (x,y)ga tartiblangan juftlik deb aytiladi. x-ga bu juftlikning birinchi komponenti (koordinatasi) , y - ga bu juftlikning ikkinchi komponenti (koordinatasi) deb aytiladi.

Faqat va faqatgina x₁=x₂ va y₁=y₂ bo'lganda (x₁,y₁) va (x₂,y₂)

tartiblangan juftliklar ustma ust tushuvchi juftliklar deb aytiladi. Shuning uchun x ^ ybo’lganda (x,y) va (y,x) juftliklar turlicha juftliklardir.

Masalan: X={a,b,c} to'plam elementlaridan 9 ta tartiblangan juftliklarni tuzish mumkin: (a,a), (a,b),(a,c), (b,b),(b,a), (b,c), (c,a), (c,b),(c,c). Tartiblangan juftlik tushunchasi yanada tushunarliroq bo'lishi uchun bu juftlik komponentlarini turli to'plamlardan olish etarli. Masalan, x element X to'plamdan ( to'plamning elementi istalgan ob'ekt bo'lishi mumkin) y element Y to'plamdan olinsa, tushunish oson bo'ladi. X={a,b,c,d}, Y={4,5} to'plamlar berilgan bo'lsa, bu to'plamlarning elementlaridan foydalanib juftliklar to'plamini tuzish talab qilinsa- ki, bu

juftliklarning birinchi komponenti X to'plamdan, 2- komponenti Y to'plamdan tashkil topsin:

{ (a,4), (a,5), (b,4), (b,5), (c,4), (c,5), (d,4), (d,5)}.

Bu to'plamga berilgan X va Y to'plamlarning dekart ko'paytmasi deb aytiladi va XxY kabi belgilanadi. Umuman olganda X va Y to'plamlarning dekart ko'paytmasi deb , shunday (x,y) juftliklar to'plamiga aytiladi, bu juftliklarning birinchi komponenti X to'plamdan , ikkinchi komponenti Y to'plamdan olingan bo'lsa ya'ni:

XxY={(x,y)/ x ^e X va ye Y}.

Agar X va Y to'plamlar ustma- ust tushsa ya'ni X=Y bo'lsa , u holda XxX to'plam , shunday (x,y) juftliklar to'plamidan iboratki, x^e X, y^e X.Masalan, X={m,n,p} u holda X =XxX={(m,m), (m,n), (m,p), (n,m), (n,n), (n,p), (p,m), (p,n), (p,p)}.

Istalgan X to'plam uchun Xx0=0xX=0 o'rinli.

To'plamlarning dekart ko'paytmasi kommutativlik va assotsiativlik xossalariga ega emas:

1. 
   Agar X ^ Y bo'lsa, u holda XxY ^ YxX
   
2. 
   Agar X,Y,Z^ 0 bo'lsa , u holda (XxY)x Z^Xx(YxZ)
   

Haqiqatdan ham, XxY to'plam o'z ichiga shunday (x,y) juftliklarni olganki, x^e X, y^e Y, lekin YxX to'plam esa (y,x) ko'rinishidagi juftliklarni o'z ichiga olgan bo'lib, y^e Y, x^eX. X^Y da (x,y) va (y,x) tartiblangan juftliklar turlicha juftliklardir.

Shuning uchun X ^ Y da XxY, YxX to'plamlar turlichadir. Ikki chekli to'plam dekart ko'paytmasi elementlarini jadval usulida berish mumkin.

Bu jadvalda vertikal bo'yicha X to'plam elementlari gorizontal bo'yicha Y to'plam elementlari yoziladi. XxY to'plam elementlari esa bu qatorlar kesishmasida yoziladi. To’plamlar cheksiz bo’lgan taqdirda ularning dekart ko’paytmasini to’g’ri burchakli dekart koordinata sistemasida tasvirlash qulaydir.

KORTEJLAR HAQIDA TUSHUNCHA

Xi,X₂, X_n to'plamlar berilgan bo'lsin. Quyidagicha elementlarni

to'playmiz: X₁ to'plamdan qandaydir a₁ element, X₂ to'plamdan a₂ elementni va hokazo X_n to'plamdan a_n elementni olib bu elementlarni

tartib raqamlari o'sib borish tartibida joylashtiramiz: (a₁,a₂, a_n)

tartiblangan "n-lik"ni hosil qildik, mana shu tartiblangan "n-lik"ga

"kortej" deb aytiladi. "Kortej" so'zi frantsuzcha so'z bo'lib, "tantanali tizilish" degan ma'noni bildiradi. n-soniga kortejning uzunligi

ai,a₂,^.a_n elementlar kortejning komponentlari deb aytiladi. X_bX₂, X_n

to'plamlar umumiy elementlariga , hatto ustma-ust tushishlari mumkin. Kortejning komponentlari turli obyektlar bo’lishi mumkin. Masalan: "paxta" so'zi uzunligi 5-ga teng bo'lgan "kortej" bo'lib, bu so'zda kortej komponentlari harflardan tuzilgan. “Parallelogramning diagonallari bir nuqtada kesishadi” - jumla kortej tashkil qiladi, bu kortejning uzunligi 5ga teng bo’lib, uning komponentlari so’zlardan iborat.

Agar (a₁,a₂,^,a_n) va (bbb₂,...,b_m) ikkita kortejlar bir xil uzunlikka , ya'ni n=m, kortejlar mos komponentlari o'zaro bir xil bo'lsa, ya'ni a₁=b₁, a₂=b₂ va hokazo a_n=b_n bo'lsa , u holda bunday kortejlar teng kortejlar deb aytiladi.

Masalan: (a,b,c) va (a,b,c) kortejlar teng kortejlar. (a,b,c) va (b,a,c) yoki (a,b,c) va (a,b,c,d) kortejlar teng kortejlar emas.

BIR NECHTA TO'PLAMLARNING DEKART KO'PAYTMASI. Kortej tushunchasidan foydalanib, n- ta to'plam dekart ko'paytmasi ta'rifini berish mumkin A_bA₂,....A_n - n ta to'plam berilgan bo'lsin. Bu to'plam elementlaridan uzunligi n ga teng bo'lgan kortejlarni tuzamiz. Bu kortej larning birinchi komponenti A₁ to'plamga, ikkinchisi A₂ to'plamga va hokazo. n - si A_n to'plamda yotadi. Kortejlarning bunday ko'rinishiga A₁,A₂, ...A_n to'plamlarning dekart ko'paytmasi deb aytiladi va u

A₁x xA_n deb belgilanadi. Masalan, A₁={ 1,2}, A₂={3,4}, A₃={5,6}

to'plamlar berilgan. Bu to'plamlarning dekart ko'paytmasi A₁xA₂xA₃ ni toping.

A1xA2xA3= {(1,3,5), (1,3,6), (1,4,5), (1,4,6), (2,3,5), (2,3,6), (2,4,5), (2,4,6)}

Boshlang'ich sinflarda o'quvchilar quyidagi masalani echadilar: "1,2, va3 raqamlaridan foydalanib, mumkin bo'lgan barcha ikki xonali sonlarni yozing". Bir ko'rib chiqish bilan o'quvchilar quyidagi tushunchaga ega bo'ladilar:

11	12	13
21	22	23
31	32	33

Hosil bo'lgan har bir sonning yozuvi son bilan , ikkita raqamdan iborat, bunda ularning kelish tartibi muhimdir. Masalan, 12 va 21 sonlari hosil qilingan , bular 1 va 2 raqamlaridan tuzilgan.

To'plam elementlarining kelish tartibi muhim bo'lgan hamda, matematikada elementlarning tartiblangan juftliklari haqida gap boradi.

Mazkur masalada biz tartiblangan juftliklar bilan ish ko'ramiz. Masalan,11, 22, 33 sonlarni "(1,1), (2,2), (3,3)" tartiblangan juftliklar sifatida qarash mumkin.

Boshlang'ich sinflarda mana shunday masalalar ko'p uchraydi.

NAZORAT UCHUN SAVOLLAR:

1. 
   Tartiblangan juftlik tushunchasini izohlang.
   
2. 
   Ikki to'plamning dekart ko'paytmasi deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Kortej nima?
   
4. 
   Bir necha to'plamlarning dekart ko'paytmasi deb nimaga aytiladi?
   
5. 
   To'plamlar dekart ko'paytmasi tushunchasining boshlang'ich sinf matematika kursida tutgan o'rni nimada?
   

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:

1 .Н.Я.Виленкин, А.М.Пишкало. Математика-М. «Просвещение», 1977.

1. 
   А.А.Столяр, Л.П.Лелчук. Математика-Минск.1975.
   
2. 
   Ф.Я.Варпаховский. А.С.Солодовников. Алгебра. МГЗПИ.1974.
   
3. 
   Н.Худойбердиев. Математика. Тошкент, «Укитувчи», 1980.
   
4. 
   Л.П.Стойлова, А.М.Пишкало. Бошлангич математика курси асослари. Тошкент. «Укитувчи», 1991.
   

MAVZU : KOMBINATORIKA, YIG’INDI VA KO'PAYTMA

QOIDALARI

R E J A

1. 
   Kombinatorika fani nimani o'rganadi?
   
2. 
   Kombinatorikaning yig'indi qoidasi.
   
3. 
   Kobinatorikaning ko'paytma qoidasi.
   
4. 
   Boshlang'ich sinf matematikasida kombinatorika fanining tutgan o'rni. TAYANCH TUSHUNCHALAR VA TAYANCH IB ORAL AR: Kombinatorik masalalar. Yig'indi va ko'paytma qoidalari.
   

Hayotda shunday masalalar uchraydiki, unda u yoki bu to'plamning qandaydir qism to'plamlarini ajratishga to'g'ri keladi. Masalan, agronomning yerlar orasidan eng mahsuldor yerni tanlash masalasi, tikuvchining sifatli mahsulotlar ishlab chiqarishi uchun yaxshi materialni tanlash masalasi, ofitserlarning soldatlar orasidan naryadlarni tanlashi, quruvchining mustahkam bino qurishi uchun qurilish materiallaridan oqilona foydalanishi, shaxmatchining yurishlardan yaxshi yurishni tanlashi , shofyorning manzilga etishi uchun barcha yo'llardan eng yaqinini tanlashi va hokazo . Bunday ko'rinishdagi masalalarda yer, material, ish , yurish u yoki bu kombinatsiyalardan foydalaniladi. Bunday ko'rinishdagi masalalarga kombinatorik masalalar deyiladi.

Matematikaning kombinatorik masalalari bilan shug'ullanuvchi bo'limiga kombinatorika fani deyiladi. Kombinatorika masalalari

birinchi marta ehtimollik nazariyasi vujudga kelishi munosabati bilan XVI - XVII asrlarda qaraldi. Kombinatorikada chekli to'plamlar, ularni to'plam ostilari, akslantirishlar, chekli to'plam elementlaridan tuzilgan kortejlar o'rganiladi. Shuning uchun kombinatorikani chekli to'plamlar nazariyasi qismi deb tushunish mumkin. Ko'pgina kombinatorik masalalarni echish asosan 2 ta qoida: yig'indi va ko'paytma qoidalariga asoslangan. Kombinatorikaning yig'indi qoidasi chekli to'plamlar birlashmasidagi elementlar sonini, ko'paytma qoidasi esa chekli to'plamlar dekart ko'paytmasidagi elementlar sonini topishdan iborat.

Shu qoidalar bilan tanishamiz.

Chekli A to'plam elementlari sonini n(A) deb belgilaylik. n ta elementdan iborat bo’lgan to'plamni n - tartibli to'plam deb ataymiz. Masalan, Agar A= {a,b,c,d,e,f} bo'lsa, u holda n(A)=6 , shuning uchun A to'plamni 6- tartibli to'plam deymiz.

A to'plam m ta elementdan tuzilgan bo'lsin: B to'plam esa n ta

elementdan tuzilgan bo'lsin . AUB to'plami nechta elementdan tashkil topgan? Bu masalaga hech ikkilanmasdan bu to'plamlar orasida ikki holni ko'rish mumkin:

1. 
   A va В to'plamlar kesishmasi 0 to’plamdan iborat;
   
2. 
   A va В to'plamlar o'zaro kesishmasi 0 to’plamdan iborat emas.
   

Agarda A va B to'plamlar kesishmasa, u holda AUB to'plami "m+n" ta elementga ega bo'ladi.

Misol: 1) A= {a,b,c,d} B={e,f,k} AUB= {a,b,c,d,e,f,k} n(A)=4 , n(B)=3 , A^B=0 , n(AUB)=7

3. 
   A={oq, ko'k, qora}
   

B={qizil, sariq}

n(A)=3 , n(B)=2 , AnB=0 , n(AUB) =5

4. 
   A=4 ta olma
   

B=6 ta anor, hamma meva nechta ?

n(A)=4 , n(B)=6 , A^B=0 , n(AUB)=10 shu qoidaga asoslanib boshlang'ich sinflarda masala va misollar tushuntiriladi.

2. 
   Agar A va В to'plamlar kesishsa, (A ^B ^ 0) u holda to'plamlar birlashmasidagi elementlar soni har bir to'plam elementlar soni yig'indisi bilan , shu to'plamlar kesishmasidagi elementlar sonining ayirmasiga teng: n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A n B)
   

Misol: 1) A={a,b,c,d,e} B={d,e,f,g} to'plamlar berilgan bo'lsin . Bunda: n(A)=5 , n(B)=4 Bu to'plamlar birlashmasini tuzsak:

AUB={a,b,c,d,e,f,g} yoki n(AUB)=7 n(Aⁿ B )=2 Demak ,(5+4)-2=7

5. 
   Ingliz va nemis tillarini o'rganayotgan 100 o'quvchidan ingliz tilini 85 ta , nemis tilini 45 ta o'quvchi o'rganadi. Qancha o'quvchi ikkala tilni ham o'rganadi?
   

n(A)=85 talaba ingliz tilini o'rganuvchi n(B) = 45 talaba nemis tilini o'rganuvchi n(AUB)=100 ta talaba n(AUB)= n(A)+n(B)- n(A n B )

100= (85+45)-X X=(85+45)-100=30 ta

Agar to'plam 3 ta bo'lsa , quyidagi yig'indi qoidasi o'rinli : n(AUBUC)= n(A) + n(B)+ n(C) - n(A n B)- n(A n C) - n(B n C) + n(A n B n C )

Misol: A={a,b,c,d,e,f,g} B={a,e,g,l,k,o} C={a,b,d,f,o}

n(A)=7 , n(B)=6 , n(c)=5 , n(A n B)=3 n(A n C)=4 n(B n C)=2

n(A n B n C )=1

n(AUBUC)=7+6+5-2-3-4+1=10

2. 
   Kombinatorikaning ikkinchi qoidasi, berilgan chekli to'plamlar elementlaridan tuzilgan kortejlar sonini topishdan iborat .
   

Shunday masalani qaraylik.

A={ai, a₂ ,...,a_m }va B= {bi, b₂, ...,b_n} to'plamlaridan nechta (a_k;bi) ko'rinishdagi juftlik elementlarini tuzish mumkin?

Bu elementlarni jadval ko'rinishida yozamiz:

(a1 b1), (a1 b₂), (a1 Ьз) ,...,(a1 bn)

(a₂ b1), (a2 b2), (a2 Ьз),. .. ,(a2 bn)

(a3 b1), (a3 b2), (a3 Ьз),. .. ,(a3 bn) ^(am ^b1^{), (a}m ^b2^{), (a}m ^ЬзХ - • • ^,(am ^bn⁾

bu erdan shu narsa ko'rinadiki , bu juftliklar m ta qator , har bir qator n ta elementdan iborat bo'ladi. Demak, umumiy juftliklar sonini mn ga teng .

Shunday qilib , m- tartibli A to'plam , n - tartibli B to'plam elementlaridan mn ta tartiblangan juftlikni tuzish mumkin.

Bunday tartiblangan juftliklar to'plamini A va B to'plamlar dekart ko'paytmasi deb aytgan edik. Shuning uchun quyidagi yozuv o'rinli: n(AxB)=n(A)xn(B) (1)

Ko'paytma qoidasining umumiy holi :

n(A₁ xA₂xA₃x xA_n)=n(A₁ )xn(A₂)x xn(A_n) (2)

ni ham isbotlash mumkin.

Kombinatorikada (1) ni quyidagicha ta'riflash mumkin:

Agar a elementni m usulda, b elementni n usulda tanlash mumkin bo'lsa, u holda (a;b) tartiblangan juftlikni mn usulda tanlash mumkin. Masala: A qishloqdan B qishloqqa 3 ta yo'l olib boradi. B qishloqdan C qishloqqa esa 2 ta yo'l olib boradi.A qishloqdan B qishloqni bosib o'tib C ga necha usulda borish mumkin?

Yechish: A va B orasidagi yo'lni 1,2,3 sonlari bilan belgilaymiz. B va C qishloqlar orasidagi yo'lni a,b deb belgilaymiz.

2 a

A

1

3

C
U holda ko'paytma qoidasiga asosan 3 x 2=6 usulda A dan C ga B ni bosib o'tish mumkin: (1;a), (1;b), (2;a), (2;b), (3;a), (3;b)

Misol: A={a,b,c,d} B={m,f} to'plamlar berilgan. Berilgan to'plamlarning Dekart ko'paytmasi n (AxB)=n(A)xn(B) qancha elementni o'z ichiga oladi? Bu masalani quyidagicha ishlaymiz: n(AxB)=n(A)xn(B) n(A)=4 n(B)=2 n(A)xn(B)=4 2=8

1. 
   Boshlang'ich sinf matematikasida kombinatorika fani asosiy o'rin tutadi, chunki ayrim kombinatorik misollar boshlang'ich sinfdanoq echiladi
   

1- sinf darsligidagi quyidagi misolga qaraymiz: Bog'da 5 tup olma bor edi, yana 3 tup olma ekishdi. Bog'dagi olmalar necha tup bo'ldi?

Bu masalani o'quvchi 5+3=8 tarzida echadi.

Ushbu masalani kombinatorik masalalarni echish , ya'ni yig'indi qoidasi tarzida bajarsak, quyidagicha bo'ladi.

A- bog'dagi 5 tup olma

B-yana ekilgan 3 tup olma

AUB- bog'dagi olmalarning necha tupligi

Misol: 10 m chit va 10 m satin sotib olishdi. 12 m matoni ishlatishdi. Necha metr mato qoldi?

Bu masalani yig'indi qoidasiga oid ekanligini tekshiramiz.

A-10m chit

B-10 m satin

C-12 m mato ishlatilgani

(AUB)\C necha metr mato qoldi?

Boshlang'ich sinf o'quvchisiga bu tarzda tushuntirish ancha murakkab bo'lganligi uchun , buni ularga ushbu misol tarzida o'rgatamiz: (10+10)-12=8 (m) - mato qoldi.

Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, hayotdagi juda ko'p masalalar u yoki bu variantlar (kombinatsiyalar)ni qo'llab echiladi, boshqacha qilib aytganda, qulay imkoniyatlardan foydalanib echilar ekan , kombinatorika fani keng qo’llanishga ega. Bu fanning dastlabki tushunchalari boshlang'ich sinflardanoq o'rganiladi, shu sababli, bo'lajak boshlang'ich sinf o'qituvchilari kombinatorika bo'yicha ma'lum bilim , malaka va ko'nikmalarga ega bo'lishi kerak.

Nazorat savollari:

1. 
   Kombinatorika fani nimani o'rganadi?
   
2. 
   Kombinatorikaning yig'indi qoidasi nima?
   
3. 
   Kombinatorikaning ko'paytma qoidasi nima?
   

5. 
   Kombinatorik masalalarning boshlang'ich sinf matematika kursidagi o'mini aytib bering?
   

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:

1 .Н.Я.Виленкин, А.М.Пишкало. Математика-М. «Просвещение», 1977.

2. 
   А.А.Столяр, Л.П.Лелчук. Математика-Минск.1975.
   
3. 
   Н.Я.Виленкин. Индукция. Комбинаторика. М. «Просвещение». 1976.
   
4. 
   А.Худойберганов. Математика. Т. «Укитувчи», 1980.
   
5. 
   Р.Иброхимов. Математикадан масалалар туплами. Т.
   

«У китувчи», 1995.

MAVZU: O'RINLASHTIRISH VA O'RINALMASHTIRISHLAR. Reja:

1. 
   Elementlari takrorlanuvchi o'rinlashtirishlar.
   
2. 
   O'rinalmashtirishlar.
   
3. 
   Elementlari takrorlanmaydigan o'rinlashtirishlar
   

Tayanch tushuncha va tayanch iboralar: Elementlari takrorlanuvchi o'rinlashtirishlar,elementlari takrorlanmaydigan o'rinlashtirishlar, o'rin almashtirishlar, faktorial.

Quyidagi masalani qaraymiz: m-tartibli X to'plamdan uzunligi k ga teng qilib tuzilgan kortejlar soni topilsin.

Bu umumiy masalani echishdan oldin 4-tartibli X={ a,b,c,d} to'plamdan nechta uzunligi 2 ga teng bo'lgan kortejlarni tuzish mumkinligini qaraylik.Mumkin bo'lgan barcha juftliklar quyidagilar :

(a;a); (a;b); (a;c); (a;d);

(b;a); (b;b); (b;c); (b;d);

(c;a) (c;b); (c;c) ; (c;d);

(d;a); (d;b); (d;c); (d;d). demak ,bular 16 ta ekan.

Endi yuqoridagi umumiy masalani echaylik.X to'plam m-tartibli to'plam ekan, n(X)=m dir . Bu masalani echish uchun k dona X to'plamdan iborat to'plamlar dekart ko'paytmasidagi elementlar sonini topaylik.Dekart ko'paytmasi qoidasiga asosan:

n(XxXxXx xX)=n(X)- n(X) ■ n(X)- n(X) ■ n(X)

n(X)=m. Demak ,bu elementlar soni k dona m o'z-o'zining ko'paytmasiga

teng , ya'ni n(XxXxXx xX)=m mm.. ,.m=m^k

Shunday qilib, m -tartibli X to'plamdan uzunligi k ga teng bo'lgan kortejlar soni m^k ga teng

TA'RIF: m- tartibli to'plam elementlaridan ,uzunligi k ga teng qilib tuzilgan kortejlarga, m elementdan k tadan qilib tuzilgan elementlari takrorlanuvchi o'rinlashtirishlar deb aytiladi.Ularning soni esa A^k_m deb belgilanadi .

(A^k_m - frantsuzcha " arrangement"- o'rinlashtirish)

Demak ,

A^km = m^k

Misol: X = { 1,2,3,4,5 } to'plam elementlaridan nechta 2 xonali sonlarni

2 2

tuzish mumkin. A ₅=5 =25

Yuqoridagi elementlari takrorlanuvchi o'rinlashtirishlar formulasi quyidagi masalani echishga olib keladi :

" m- tartibli to'plam X dagi barcha to'plam ostilari soni nimaga teng ?" X to'plam elementlarini nomerlaymiz: X={x_b x₂,x₃,...,x_m} Har qanday A ^ X to'plam uzunligi m ga teng va faqat Ova 1 dan iborat kortej orqali ifodalash mumkin.Agar A to'plamda element mavjud bo'lsa o'sha yerda 1,mavjud bo'lmasa, 0 ni yozamiz:

Masalan: X={x_b x₂, x₃, X4} bo'lsa, A^X, A={ x₂,x4} ni (0,1,0,1) kortej sifatida tasvirlaymiz. Bu paytda yuqoridagi masalamiz," {0;1} to'plam elementlaridan tuzilgan uzunligi m ga teng kortejlar sonini topish" ga keladi.(l) formulaga asosan,bunday ko'rinishdagi kortejlar soni 2^m ga teng bo'ladi .

Misol: X= {a,b,c } to'plam -2 =8 ta to'plam ostiga ega.

TA'RIF : Agar X to'plam elementlari qanday dir tartibda nomerlangan bo'lsa , u holda bunday X-chekli to'plamga tartiblangan to'plam deb aytiladi.

Tartiblangan to'plam tushunchasi kortejlar tushunchasining xususiy holidir. Kortej larda elementlar takrorlanishi mumkin , lekin tartiblangan to'plamda elementlar takrorlanmaydi. Masalan: (a;b, a;c, b;d ) - korteji

tartiblangan to'plam bo'la olmaydi. (a, b , c, d , e , f ) - bu tartiblangan to'plamdir.

Biror bir to'plam elementlarini bir necha usulda tartiblash mumkin. Masalan: Talabalar to'plamini, viloyatlar bo'yicha, bo'ylariga qarab, alfavitga qarab va hakazo , tartibda joylashtirish mumkin.

X to'plam m-tartibli to'plam bo'lsin. Bu to'plam elementlarini necha usulda tartiblash mumkin?

X={xi, x₂, x₃,.x_m} - to'plamdagi xi elementlarni m usulda joylashtirish mumkin, x₂ elementni esa ( m-1) usulda joylashtirish mumkin , .va xokazo xm element faqatgina 1 marta tanlanadi, u holda ko'paytma

qoidasiga asosan , tartiblab chiqish soni m(m-1) ■ 1 ga teng.

1 dan m gacha bo'lgan sonlar ko'paytmasiga m! (faktorial) deb aytiladi.

Masalan: 3!= 1 ■ 2 ■ 3= 6

TA'RIF: m- tartibli tartiblangan to'plamga m elementdan iborat elementlari takrorlanmaydigan o'rin almashtirishlar deb aytiladi. Uning elementlar soni P_m deb belgilanadi. (P_m- frantsuzcha- " permutation" - o’rin almashtirish degan ma’noni anglatadi).

Demak, P_m=m(m-1)- 21=m! (2)

Yuqoridagi (2) formula elementlari takrorlanmaydigan o'rin almashtirishlar sonini topish formulasidir. Bundan tashqari elementlari takrorlanuvchi o'rin almashtirishlar formulasi mavjud: n=ni+n₂+n₃+....+n_k bo'lganda ,

Pn(ni,n2... .nk)= n!/ (ni!n2 !^nk!) (3)

3. 
   Shunday masalani qaraylik: m - tartibli X to'plamda nechta tartiblangan k elementli to'plamni tuzish mumkin?
   

X={x_bx₂,x₃,...x_m} Bu to'plamdan k elementli tartiblangan to'plamlarni

tuzaylik: (x_b x₂,.. .xk); (x_bx₂,.. .x^xk+O ( x_b x₂,.. ,x_mx_m+1)

Bu erda x₁ ni m marta x₂ ni (m-1) marta, x₃ ni (m-2 ) marta va h .k. z.

x_k ni (m-k+1)marta tanlash mumkin.

Demak, m- elementli X to'plamdan k elementli qilib tuzilgan tartiblangan to'plamlar soni:

m(m-1)-... (m-k+1) ga teng bo’ladi.

TA'RIF: m- elementli X to'plamdan k elementli qilib tuzilgan tartiblangan to'plamga m elementdan k tadan qilib tuzilgan elementlari takrorlanmaydigan o'rinlashtirishlar deb aytiladi.

Ularning soni A^km deb belgilanadi.

Demak, A^k_m = m(m-1)(m-2)-... (m-k+1)

Yoki

A^k_m =m! /(m-k)! (4)

m=k da A^m_m=P_m= m!, bundan 0!=1 deb shartlashib olingan. Misol:{a,b,c,d} to'plam elementlaridan 3 tadan qilib tuzilgan tartiblangan to'plamlar sonini toping.

A³4=4!/(4-3)!=24

Garchand boshlang'ich sinflarda o'rinlashtirish hamda o'rin almashtirish terminlari ishlatilmasa hamki bu tushunchaga dahldor masalalar, topshiriqlar boshlang'ich sinf darsliklaridan o'rin olgan. Masalan:1) 3,4 , 5 , 6 . raqamlaridan foydalanib nechta uch xonali , nechta ikki xonali sonlarni tuzish mumkin?

2) 2, 3,4 sonlarini o'rnini necha usulda almashtirish mumkin va hakazo. N A Z O R A T S A V O L L A R I:

1. 
   Elementlari takrorlanuvchi o'rinlashtirishlar ta'rifini keltiring.
   
2. 
   Qanday to'plamlarga tartiblangan to'plamlar deyiladi?
   
3. 
   Elementlari takrorlanmaydigan o'rin almashtirishlar deb nimaga aytiladi?
   
4. 
   Elementlari takrorlanmaydigan o'rinlashtirishlar ta'rifini keltiring.
   

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:

1 .Н.Я.Виленкин, А.М.Пишкало. Математика-М. «Просвещение», 1977.

2. 
   А.А.Столяр, Л.П.Лелчук. Математика-Минск.1975.
   
3. 
   Н.Я.Виленкин. Индукция. Комбинаторика. М. «Просвещение». 1976.
   
4. 
   А.Худойберганов. Математика. Т. «Укитувчи», 1980.
   
5. 
   Р.Иброхимов. Математикадан масалалар туплами. Т.
   

«У китувчи», 1995.