Mavzu: Tekislikda va fazoda Dekard koordinatalar sistemasi

Mavzu: Tekislikda va fazoda Dekard koordinatalar sistemasi.Ikki nuqta orasidagi masofa.Kesmani berilgan nisbatda bo’lish .Skalyar va vektorlar. Vektorlar ustida chiziqli amallar.Kollenear va komplanar vektorlar . Vektorni komponentlari bo’yicha yoyish.

Reja:

1. 
   Dekard koordinatalar sistemasi.
   
2. 
   Ikki nuqta orasidagi masofa.
   
3. 
   Kesmani berilgan nisbatda bo’lish .
   
   
   

Analitik geometriya fani turli egri chiqlarni amaliyotda geometrik masalalarni yechishda zarurot tug`dirganligi natijasida kelib chiqqan fan. Bu maqsad natijasida koordinata metodi yuzaga kelgi.

Bunda asosiy - hisoblash, yordamchisi –yasash.Yatijada masalalarni yechimini analitik geometriya metodi kamroq tadqiqot qilishga olib krladi. Koordinata metodi qadimgi grek matematiklarini mehnati natijasidir. 17 asrning birinchi yarmida koordinata metodi sistematik ravishda Ferma va Dekarta ishlarida ko`rinadi.

Nuqtaning koordinatalari shunday kattalikki, u shu nuqtani qayerda joylashganini aniqlaydi. M nuqtaning biror-bir XX to`g`ri chiziqda yotsin, u holda nuqtani joylashishini bitta nuqta bilan yozish mumkin. XX to`g`ri chiziqda bosh 0 nuqtani tanlaymiz, OM kesmani o`lchaymiz, masalan santimetrda. Biz x musbat yoki manfiy soniga ega bo`lamiz. OM kesmani qaysi tomoniga yo`naltirilganiga qarab x soni M nuqtaning koordinatasi bo`ladi. Shunday qilib x koordinata bosh 0 nuqtani qayerdan olinishga ,musbat yo`nalishni qanday tanlashga va kesmani qanday birlik masshtab bilan olishga bog`liq.

Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo‟lib, bu sistemada Ox o‟qini N nuqtada kesib o‟tuvchi ixtiyoriy 1 to‟g‟ri chiziq berilgan bo‟lsin. Ox o‟qini N nuqta atrofida soat strelkasi harakatiga teskari yo‟nalishda l to‟g‟ri chiziq bilan ustma-ust tushguncha aylantirishdan hosil bo‟lgan ) 2  (0  burchak l to‟g‟ri chiziq bilan Ox o‟qi orasidagi burchak deyiladi. Agar 1 to‟g‟ri chiziq Ox o‟qiga parallel bo‟lsa, u holda bu to‟g‟ri chiziq bilan Ox o‟qi orasidagi burchak nolga teng deb hisoblanadi. Dastlab / 2   holni qaraymiz. burchak va l to‟g‟ri chiziqning Oy o‟q bilanAgar l to‟g‟ri chiziq Ox o‟q orasidagi kesishish nuqtasining ordinatasi v ma`lum bo‟lsa, u holda l to‟g‟ri chiziq tekislikda bir qiymati aniqlangan bo‟ladi. M(x,y) to‟g‟ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo‟lsin. U holda m BM xe y b e xi y b i        (1)   2   1  ( ) ( ) Vektor l to‟g‟ri chiziqda yotadi va / 2   bo‟lgani uchun tangensning ta`rifidan x y b tg    (2) (2) dan k tg desak, b kx y (4) kelib chiqadi. Shunday qilib l to‟g‟ri chiziqning ixtiyoriy M(x,y) nuqtasining koordinatalari (4) tenglamani qanoatlantiradi. m  1,    bo‟lganligi uchun 1m  bo‟ladi. Demak, b kx y tenglama l to‟g‟ri chiziqning tenglamasidir.  tgk miqdorni l to‟g‟ri chiziqning burchak koeffisiyenti, (4) tenglamaga esa to‟g‟ri chiziqning burchak

koeffisiyentli tenglamasi deyiladi. v soni to‟g‟ri chiziqning Oy o‟qidan ajratgan kesmaning miqdorini anglatadi. Agar to‟g‟ri chiziq Ox o‟qiga parallel bo‟lsa burchak koeffisiyent nolga teng ( 0  tgk ) bo‟lib uning tenglamasi y=b (5) dan iborat bo‟ladi. Agar / 2   bo‟lsa to‟g‟ri chiziq Oy o‟qiga parallel bo‟lib, uning burchak koeffisiyentli tenglama bilan berib bo‟lmaydi. Uning tenglamasi x=a (6) dan iborat bo‟lib, a to‟g‟ri chiziqning Ox o‟qidan ajratgan kesmaning miqdorini bildiradi.

Ikki nuqta orasidagi masofa

Teorema. Tekislikning istalgan ikkita va nuqtalari orasidagi masofa

(8.3)

formula bilan topiladi.

Isboti. va nuqtalardan , o‘qlariga mos ravishda , perpendikular tushiramiz va , to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtasini bilan belgilaymiz (4-shakl). nuqta koordinataga ega bo‘ladi.

Bundan

kelib chiqadi. U holda to‘g‘ri burchakli uchburchak bo‘lgani uchun Pifagor teoremasiga ko‘ra

.

Misol

va nuqtalar orasidagi masofani topamiz:

(u.b).

Kesmani berilgan nisbatda bo‘lish

Teorema. Agar nuqta va nuqtalar bilan chegaralangan kesmani nisbatda bo‘lsa, u holda bu nuqtaning koordinatalari

(2.1.4)

formulalar bilan topiladi.

Isboti. to‘g‘ri chiziq o‘qqa perpendikular bo‘lmasin. nuqtalardan o‘qqa perpendikularlar tushiramiz va ularning o‘q bilan kesishish nuqtalarini mos ravishda bilan belgilaymiz (5-shakl).

E lementar geometriyaning parallel to‘g‘ri chiziqlar orasidagi kesmalarning proporsionalligi haqidagi teoremasiga asosan topamiz:

,

bu yerda

va sonlar bir xil ishorali ( da ular musbat, da ular manfiy)

bo‘lgani uchun .

Bundan

Agar to‘g‘ri chiziq o‘qqa perpendikular bo‘lsa, u holda bo‘ladi va (2.1.4) formulaning birinchisi ayniyatga aylanadi.

(2.1.4) formulaning ikkinchisi shu kabi isbotlanadi.

(2.1.4) tenglikdan da quyidagi natija kelib chiqadi.

1-Natija. Agar va tekislikning ikkita ixtiyoriy nuqtasi, – kesmaning o‘rtasi bo‘lsa, u holda

(2.1.5)

bo‘ladi.

Misol

va nuqtalarni tutashtiruvchi kesmani nisbatda bo‘luvchi nuqtaning koordinatalarini topamiz. Masalaning shartiga ko‘ra nuqta kesmaning boshi, nuqta uning oxiri bo‘lsin. nuqtani (8.4) formulalar bilan topamiz: