Mavzu: Tebranishlar nazariyasi. Chiziqli bir o’lchamli tebranishlar. Tebranish tenglamasi. Turg’un muvozanat holati. Molekulaning tebranishi Reja

Molekulaning tebranma holati
Molekulalarning ichki harakatining atomlarnikidan yana bir muhim farqi va oʼziga xos tomoni shundan iboratki atomlarni oʼzaro bogʼlab turuvchi kimyoviy bogʼlar elastiklik (qaytar tabiatga ega boʼlgan deformatsiyalanuvchanlik) xossasiga ega. Bu xossa aylanma harakat qilayotan molekulaning noqattiq rotator tabatining asosini tashqil qilgan edi, yaьni tez aylanma harakat qilayotgan molekulada markazdan qochirma kuchlar paydo boʼlishi tufayli uning inertsiya momenti kattalashar edi. Xuddi aylanma harakatni oʼrganishni boshlagan holimiz kabi, tebranma harakatni ham ikki atomli molekulalar misolida boshlaymiz. Oʼzaro maʼlum kimyoviy moyillikka ega boʼlgan atomlar bir-biriga yaqinlashganda ular oʼrtasida tortilish kuchi paydo boʼladi. Bu yaqinlashishning sababi oʼzaro bogʼlanayotgan atomlar yadrolarining ularga tegishli boʼlgan elektronlarga tortilishidir. Bu taʼsir elektrostatik va kvantmexanik tabiatga ega. Lekin kimyoviy bogʼ vositasida bogʼlanayotgan atomlarning oʼzaro yaqinlashuvi cheksiz davom etavermaydi. Masofa bogʼ uzunligiga tenglashgach bogʼlanayotgan turli yadrolar va ularga tegishli elektronlar, oʼrtasida mos ravishda itarilish kuchlari paydo boʼladi. Tortilish kuchi ham itarilish kuchi ham potentsiallik xossasiga yaʼni ishga aylanuvchanlik tabiatiga ega boʼlganligi uchun ularning algebraik yigʼindisi minimal boʼlgan holat ikki atomli molekulaning eng kichik energiyasiga toʼgʼri keladi. Har bir atomning ogʼirlik markazi C ga nisbatan holatini r₁ va r₂ orqali belgilab r₁+r₂= r, m₁r₁=m₂r₂,
r₁ r₂

m₁ c m₂

m₁ va m₂ nuqtalarining harakat tenglamasi esa Nyuton qonuniga binoan


koʼrinishida yozilishi mumkin. Tenglamalarni qoʼshsak
; kelib chiqadi.

Bu yerda µ-tebranayotgan molekulaning keltirilgan massasi.

Oxirgi tenglama massasi µ va tebranish chastotasi boʼlgan garmonik ostsilyatorning harakat tenglamasidir. Klassik fizika nuqtai nazaridan koʼrinib turibdiki, garmonik ostsillyatorning energiyasi re ga nisbatan siljish (r-r_e) ning kvadratiga toʼgʼri proportsional holda uzluksiz ortib boradi. Lekin biz bilamizki tebranayotgan ikki atomli molekula mikroobʼekt boʼlganligi uchun u kvant-mexanik qonunlarga boʼysunadi. Shuning uchun uning tebranma harakat energiyasini Shredinger tenglamasi asosida topish maqsadga muvofiq boʼladi.
Аgar sistemaning harakati fazoda roʼy berayotgan boʼlsa yechilishi kerak boʼlgan Shredinger tenglamasi quyidagicha yozilar edi.

Lekin ikki atomli sistemada tebranish faqat uning atomlarini faqat oʼzaro bogʼlovchi x oʼqi boʼyicha roʼy beradi. Shu sababdan yuqoridagi tenglama quyidagi ancha sodda koʼrinishga oʼtadi.

Bu tenglamani yechayotgan paytda molekulaning potentsial energiyasini deb qabul qilinadi va yechilishi lozim boʼlgan tenglama quyidagi koʼrinishga oʼtadi.

u(r) V u(r)
a б V
4
3
2 4
1 3
V_o o 2
1

r_e r r_o

Garmonik (a) va angarmonik (b) ostsillyatorning potentsial egrilari, energetik pogʼonalari va sxematik tebranma spektrlari formuladagi υ-tebranish kvant soni deyiladi. U molekulaning diskret energetik pogʼonalarining oʼzaro nisbiy joylashishini koʼrsatadi va 0,1,2,3 kabi butun son qiymatlarini qabul qiladi. Garmonik ostsillyatorning tebranma energetik pogʼonalari bir-biridan teng uzoqliklarda turgan energetik pogʼonalar majmuidan iborat. Bunday ostsillyator uchun tanlash qoidasi DV =±1 ga teng, yaʼni tebranma oʼtishlar bevosita ostin va ustun holda turgan energetik pogʼonalar oʼrtasida roʼy berishi mumkin – shunday oʼtishlar real ehtimollikka ega. Oddiy garmonik ostsillyator uchun atomlar orasidan masofaning tebranish davomida oʼzgarishi r-r_e=a sin2pnt formulasi bilan ifodalanar edi; bu yerdagi har xil energetik pogʼonalar uchun masofa (r-r_e) ning oʼzgarishi tebranish amplitudasining oʼzgarishi bilan bogʼliq. Boshqacha qilib aytsak, rasmdan koʼrinadiki garmonik ostsillyatorning energiyasi E₁dan E₂ga va E₂ dan E₃ga oʼzgarganda (E1e)ning oʼzgarishi asosida tebranish amplitudasining oʼzgarishi yotadi.
formulada chastota Gts larda ifodalangan.
Tebranish chastotasi ν ni toʼlqin soni hisobida ifodalash uchun uni С=3•10¹⁰ sm/s, ga boʼlish kerak.
_см-1
Kvant mexanik usulda topilgan.

ifodadagi V oʼrniga O qoʼyilsa Е_тебр¹О ligi kelib chiqadi.

V₀ – nulinchi tebranish chastotasi.
– nulinchi tebranish energiyasi deyiladi. Uning mavjudligi hatto absolyut nulь temperaturada ham yadrolarning oʼz, muvozanat holatiga nisbatan xususiy tebranishi toʼxtamasligini koʼrsatadi. Bu esa harakat materiyaning yashash shakllaridan (mavjudlik atributlaridan) biri ekanligini tasdiqlaydi.

Bu kattalik kimyoviy bogʼning faqat kuch doimiyligiga va keltirilgan massaning qiymatiga bogʼliq boʼlib har bir bogʼ yoki 2 atomli molekula uchun oʼziga xosdir.
Nulinchi tebranish energiyasining mavjudligi kvant mexaniq usulni tatbiq qilishning natijasi boʼlib sistema energiyasining diskret ravishda oʼzgarishidan kelib chiqadi. Klassik mexaniraga binoan energiya nulьdan boshlab uzluksiz ravishda ortib boradi. Nulinchi energiyaning mavjudligi tajribalar asosida ishonarli ravishda tasdiqlangan.
Yana shu narsani alohida taʼkidlash lozimki, muhokama qilinayotgan tebranishlar IQ – soxada namoyon boʼlishi uchun tebranayotgan 2 atomli molekula doimiy dipolь momentiga ega boʼlishi, yaʼni geteroyadroli boʼlishi kerak, chunki tebranish vaqtida mavjud dipolь momenti µ_о=e^.L ning oʼzgarishi tufayli molekula IQ – sohaga xos tashqi elektromagnit maydoni bilan energiya almasha oladi va yoki yutilish, yoki chiqarilish spektri namoyon boʼladi. Doimiy dipol momentiga ega boʼlmagan H2, N2, O2 kabi gomoyadroli molekulalar garchi IQ – sohaga toʼgʼri keluvchi chastotalar bilan tebransalarda shu sohaga toʼgʼri keluvchi nur maydoni bilan faol ravishda energiya almashaolmaydilar.
Harakati (yoki muvozanat holati) tekshirilayotgan moddiy nuqtalar yoki jismlar sistemasini, mexanik sistema deb ataladi. Agar mexanik sistemani tashkil etuvchi nuqta (jism)larning o`zaro ta`sirlari mavjud bo`lsa, u holda har bir nuqta (jism)ning holati, qolgan barcha nuqta (jism)larning holatiga uzviy bog`liq bo`ladi. Bunga klassik misol tarzida quyosh sistemasini olishimiz mumkin bo`lib, undagi barcha jismlar (Quyosh, planetalar va kometalar) o`zaro tortilish kuchlari orqali bog`langanlar.


274 shakl.
Mexanik sistemaga ta`sir etuvchi -aktiv kuchlar va <sub>k</sub>-reaktsiya kuchlarini, -tashqi va -ichki kuchlarga ajratib yuboramiz (bu erdagi e - exterior, tashqi va i -interior, ichki so`zlarning birinchi harflaridan iborat). Berilgan mexanik sistemaga kirmagan jismlarning sistema nuqtalariga ta`sir kuchlari, tashqi kuchlar deb ataladi. Sistemani tashkil etuvchi nuqta yoki jismlarning o`zaro ta`sir kuchlari ichki kuchlar deb ataladi. Bunday ajratishlik shartli bo`lib, mexanik sistemani tanlab olishimizga bog`liq bo`ladi. Masalan, agar Quyosh sistemasini tanlab olsak, u holda er bilan Quyoshning o`zaro tortilish kuchlari ichki kuchlar hisoblanadi; agar er bilan Oyni bitta sistema deb qabul qilsak, Quyoshning tortilish kuchi endi tashqi kuch hisoblanadi. Ichki kuchlar quyidagi xossalarga ega bo`ladilar:
1. Mexanik sistemaning barcha ichki kuchlarining geometrik yig`indisi (bosh vektori) nolga teng bo`ladi. Dinamikaning uchinchi qonuniga asosan, ixtiyoriy olingan ikkita nuqtaning (274 shakl) o`zaro ta`sir va aks ta`sir kuchlari, bir to`g`ri chiziqda yotib, son qiymatlari teng, yo`nalishlari esa qarama-qarshi bo`ladi, shu sababli , -larning geometrik yig`indisi nolga teng bo`ladi. Xuddi shunday natijani ixtiyoriy olingan har bir ikkita nuqta uchun yozishimiz mumkin, demak: =0
2. Mexanik sistemaning barcha ichki kuchlarining ixtiyoriy markazga yoki o`qqa nisbatan olingan momentlarining yig`indisi (bosh momenti) nolga teng bo`ladi. Haqiqatdan ham, 274 shakldan ko`rinib turibdiki, agar ixtiyoriy olingan O nuqtaga nisbatan momentlarning yig`indisi m<sub>O</sub>( )Hm<sub>O</sub>( )h0 bo`ladi. Xuddi shunday natijani ixtiyoriy o`qqa nisbatan olingan momentlar uchun ham isbot qilish mumkin, shu sababli mexanik sistema uchun;  <sub>O</sub>( )=0 yoki  <sub>x</sub>( )=0
Lekin yuqoridagilarga asosan, ichki kuchlar o`zaro muvozanatlashib, mexanik sistemaning harakatiga ta`sir qilmas ekan deb hisoblamaslik lozim, chunki bu kuchlar sistemaning turli nuqtalariga qo`yilgan bo`lib, shu nuqtalarning nisbiy harakatlariga ta`sir qilishi mumkin. Agar sistema absolyut qattiq jismdan iborat bo`lsa, u holda ichki kuchlarning yig`indisi o`zaro muvozanatlashgan bo`ladi. Yuqorida aniqlangan natijalarga asosan, shuni tahkidlab o`tish lozim ekanki, bir jinsli og`irlik kuchi maydonidagi qattiq jismning og`irlik markazi va massalar markazining o`rni bir joyda bo`lar ekan. Lekin, massalar markazi og`irlik markazidan mazmunan farqli bo`lib, u o`zining o`rnini har qanday kuch maydonida (masalan, markaziy tortilish maydonida) ham saqlab qoladi va massalarni tarqalganlik xarakteristikasi, faqat qattiq jism uchungina o`rinli bo`lib qolmasdan, ixtiyoriy mexanik sistema uchun ham o`rinlidir. Tekshirilayotgan sistema bilan tashqi jismlar (tashqi muhit) orasida energiya almashishning sifat jihatdan turlicha bo'lgan uchta mumkin bo'lgan usuli mavjud ish bajarish, issiqlik almashish va modda almashish yoki ko'pincha aytilganidek massa almashish yo'llari. Bu haqda biz energiyaning saqlanishva aylanish qonunning ifodalanishda iborat bo'lgan termodinamikaning birinchi qonunida to’liqroq gapiramiz. Shunga e'tibor berish kerakki, umumiy holda sistemaning to’liq energiyasini turli energiya ko'rinishlari aniq qiymatlarini yig’indisi sifatida faqat shartli ravishda qarash mumkin. Mana, masalan, muhitdagi elektromagnit maydon energiyasini sistema ichki energiyasini bir qismi deb hisoblash va mustaqil energiya turiga ajratish mumkin. Jism elastik deformatsiya energiyasini sistema potensial energiyasining bir qismi deb hisoblash va uning ichki energiyasining qismi deyish ham mumkin.

Xulosa
Matematik fizika tenglamalari fani klassik mexanika, fizika, gidrodinamika, akustika va boshqa sohalarda sodir bo'ladigan jarayoniarning matematik modellarini yaratish va bu masalalarni yechish usullarini qurish bilan uzviy bog'liq. Bu modellashtirish muayyan jarayonlarni ifodalovchi fizikaviy kattaliklar asosida tenglamalarni keltirib chiqarish bilan xarakterlanadi. Kvant mexanikasi, atom va yadro fizikasi, qattiq jismlar nazariyasi, elementar zarralar fizikasi kabi sohalarning rivojlanishi matematik tadqiqotlarning asosini tashkil etadi. Mexanika va fizikaning ko'plab masalalari xususiy hosilali differensial tenglamalami tadqiq etishga keladi. Shuning uchun xususiy hosilali differensial tenglamalar fani matematik fizikaning zamonaviy holatini o'rganish va tushunish uchun zarur bo'lgan boshlanghch bilimlarni beradi. Mexanika, fizika, texnika va boshqa sohalarda uchraydigan turli jarayonlar matematik fizika tenglamalari orqali ifodalanadi. Fanning maqsadi matematik fizikaning klassik tenglamalari deb ataluvchi to‘lqin, Laplas, hamda issiqlik tarqalish tenglamalarini tekshirish va ularga qo‘yiladigan asosiy masalalarni yechishdan iborat. Matematik fizika tenglamalari hozirgi zamon matematikasining muhim sohalaridandir. Matematik fizika tenglamalari faniga bag'ishlangan darsliklar, o‘quv qollanmalar ingliz, rus va boshqa tillarda ko‘plab nashr qilingan. Bu adabiyotlarning nazariy qismi bilan misol va masalalarga oid bo'limlari orasida biroz tafovut borligi seziladi. Hozirgi davr talabiga javob beradigan yuqori malakali mutaxassislar tayyorlash, ularning nazariy va amaliy masalalarni chuqur o'zlashtirishiga ko‘maklashuvchi o'zbek tilida yozilgan darsliklar, o‘quv qo'llanmalar yaratish muhim ahamiyatga ega.