Mavzu: Sonli tengsizliklarni darajaga ko’tarish

Kelgusi rejalar (tahlil, o‘zgarishlar)

O’qituvchi o’z faoliyatining tahlili asosida yoki hamkasblarining dars tahlili asosida keyingi darslariga o‘zgartirishlar kiritadi va rejalashtiradi.

Asosiy tushunchalar:
Sonli tengsizliklarni darajaga ko’tarish. Darajaga ko’tarishning xossalari. 

Darsning rejasi:
1	Darsning tashkiliy qismi;	2 daqiqa
2	O’tilgan mavzularni takrorlash	3 daqiqa
3	Matematik loto	5 daqiqa
4	Yangi mavzu bayoni;	10 daqiqa
5	Misollar yechish;	15 daqiqa
6	Matematik diktant	5 daqiqa
7	Dars yakuni	3 daqiqa
8	Vazifa	2 daqiqa

Darsning borishi:
Agar a>b>0 va n natural son bo’lsa, u holda aⁿ>bⁿ bo’lishi kelib chiqadi.
Shartga ko’ra a>0, b>0. N ta bir xil a>b tengsizlikni hadlab ko’paytirib, hosil qilamiz: aⁿ>bⁿ.
1-masala. (0,43)⁵ va sonlarini taqqoslang.
0,001 gacha aniqlik bilan 0,428 bo’lgani uchun 0,43 > bo’ladi. Shuning uchun (0,43)⁵ va .
Chap va o’ng qismlari musbat bo;lgan tengsizlikni istalgan ratsional darajaga ko’tarish mumkin:
Agar a>b>0, r>0 bo’lsa, u holda
> (1)
bo’ladi;
agar a>b>0, r<0 bo’lsa, u holda
< (2)
bo’ladi.
1-xossani isbotlaymiz.
Avval (1) xossaning r bo’lganda to’g’riligini, keyin esa umumiy hol uchun
r bo’lganda to’g’riligini isbotlaymiz.

1. 
   Aytaylik, r bo’lsin, bunda n- birdan katta natural son, a>0, b>0. Shartga ko’ra a>b. > ekanligini isbotlash kerak. Faraz qilaylik, bu noto’g’ri, ya’ni bo’lsin. U holda bu tengsizlikni n natural darajaga ko’tarib, ni hosil qilamiz, bu esa shartga zid. Demak, dan > ekanligi kelib chiqadi.
   
2. 
   Aytaylik, bo’lsin, bunda m va n – natural sonlar. U holda shartdan, isbot qilganimizga ko’ra > ekanligi kelib chiqadi. Bu tengsizlikni m natural darajaga ko’tarib, hosil qilamiz.:
   

> .
asalan, > , chunki 5 > 3; > , chunki 2 < 4; chunki 7 > 6.
Endi (2) xossani isbotlaymiz.
Agar r < 0 bo’lsa, u holda –r > 0 bo’ladi. (1) xossaga ko’ra shartdan ekanligi kelib chiqadi. Bu tengsizlikning ikkala qismini musbat songa ko’paytirib, ni hosil qilamiz, ya’ni
Masalan, , chunki 0,7 > 0,6; , chunki 13 < 15; , chunki 8 > 7 .
Oliy matematika kursida (1) xossa istalgan musbat r haqiqiy son uchun, (2) xossa esa istalgan manfiy r haqiqiy son uchun to’g’ri ekanligi isbotlanadi. Masalan,
> , chunki > ; > , chunki > .
Qat’iy tengsizliklarni (> yoki < belgili) darajaga ko’tarishning qarab o’tilgan xossalari noqat’iy tengsizliklar ( yoki belgili) uchun ham to’g’ri bo’lishini ta’kidlab o’tamiz.
Shunday qilib, agar tengsizlikning ikkala qismi musbat bo’lsa, u holda uni musbat darajaga ko’targanda tengsizlik belgisi saqlanadi, manfiy darajaga ko’targanda esa tengsizlik belgisi qarama-qarshisiga o’zgaradi.
Qat’iy tengsizliklar uchun > va < belgilari, noqat’iy tengsizliklar yoki belgilari qrama-qarshi belgilar bo’lishini eslatib o’tamiz.
2-masala. Sonlarni taqqoslang:
1) va ; 2) va .
1. <1 va >1 bo’lgani uchun < bo’ladi.
Bu tengsizlikni manfiy ( darajaga ko’tarib, hosil qilamiz: > .
2. Darajalarning xossalarini taqqoslaymiz. 0,857 … bo’lgani uchun . 0,86 bo’ladi. Bu tengsizlikni musbat darajaga ko’tarin, quyidagini hosil qilamiz:
< .
Uyga vazifa:
Ko’rildi:

Talaba: Erkinjonov Sunnatullo